MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrbaslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrbaslem 20250
Description: Get a component of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrbas.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrbas.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrbas.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrbaslem.1 𝐸 = Slot 𝑁
opsrbaslem.2 𝑁 ∈ ℕ
opsrbaslem.3 𝑁 < 10
Assertion
Ref Expression
opsrbaslem (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝐸𝑂))

Proof of Theorem opsrbaslem
StepHypRef Expression
1 opsrbas.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrbas.o . . . . 5 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
3 eqid 2819 . . . . 5 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
4 simprl 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝐼 ∈ V)
5 simprr 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑅 ∈ V)
6 opsrbas.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
76adantr 483 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
81, 2, 3, 4, 5, 7opsrval2 20249 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
98fveq2d 6667 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸𝑂) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩)))
10 opsrbaslem.1 . . . . 5 𝐸 = Slot 𝑁
11 opsrbaslem.2 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ
1210, 11ndxid 16501 . . . 4 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
1311nnrei 11639 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℝ
14 opsrbaslem.3 . . . . . 6 𝑁 < 10
1513, 14ltneii 10745 . . . . 5 𝑁10
1610, 11ndxarg 16500 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) = 𝑁
17 plendx 16658 . . . . . 6 (le‘ndx) = 10
1816, 17neeq12i 3080 . . . . 5 ((𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 𝑁10)
1915, 18mpbir 233 . . . 4 (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
2012, 19setsnid 16531 . . 3 (𝐸𝑆) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
219, 20syl6reqr 2873 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸𝑆) = (𝐸𝑂))
22 0fv 6702 . . . . . . 7 (∅‘𝑇) = ∅
2322eqcomi 2828 . . . . . 6 ∅ = (∅‘𝑇)
24 reldmpsr 20133 . . . . . . 7 Rel dom mPwSer
2524ovprc 7186 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
26 reldmopsr 20246 . . . . . . . 8 Rel dom ordPwSer
2726ovprc 7186 . . . . . . 7 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 ordPwSer 𝑅) = ∅)
2827fveq1d 6665 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇) = (∅‘𝑇))
2923, 25, 283eqtr4a 2880 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
3029adantl 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
3130, 1, 23eqtr4g 2879 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑆 = 𝑂)
3231fveq2d 6667 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸𝑆) = (𝐸𝑂))
3321, 32pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝐸𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  wne 3014  Vcvv 3493  wss 3934  c0 4289  cop 4565   class class class wbr 5057   × cxp 5546  cfv 6348  (class class class)co 7148  0cc0 10529  1c1 10530   < clt 10667  cn 11630  cdc 12090  ndxcnx 16472   sSet csts 16473  Slot cslot 16474  lecple 16564   mPwSer cmps 20123   ordPwSer copws 20127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-dec 12091  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ple 16577  df-psr 20128  df-opsr 20132
This theorem is referenced by:  opsrbas  20251  opsrplusg  20252  opsrmulr  20253  opsrvsca  20254  opsrsca  20255
  Copyright terms: Public domain W3C validator