MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrbaslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrbaslem 21372
Description: Get a component of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Revised by AV, 1-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrbas.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrbas.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
opsrbas.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
opsrbaslem.1 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
opsrbaslem.2 (πΈβ€˜ndx) β‰  (leβ€˜ndx)
Assertion
Ref Expression
opsrbaslem (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘†) = (πΈβ€˜π‘‚))

Proof of Theorem opsrbaslem
StepHypRef Expression
1 opsrbaslem.1 . . . 4 𝐸 = Slot (πΈβ€˜ndx)
2 opsrbaslem.2 . . . 4 (πΈβ€˜ndx) β‰  (leβ€˜ndx)
31, 2setsnid 17016 . . 3 (πΈβ€˜π‘†) = (πΈβ€˜(𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), (leβ€˜π‘‚)⟩))
4 opsrbas.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5 opsrbas.o . . . . 5 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
6 eqid 2738 . . . . 5 (leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜π‘‚)
7 simprl 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝐼 ∈ V)
8 simprr 772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑅 ∈ V)
9 opsrbas.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
109adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
114, 5, 6, 7, 8, 10opsrval2 21371 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), (leβ€˜π‘‚)⟩))
1211fveq2d 6842 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (πΈβ€˜π‘‚) = (πΈβ€˜(𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), (leβ€˜π‘‚)⟩)))
133, 12eqtr4id 2797 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (πΈβ€˜π‘†) = (πΈβ€˜π‘‚))
14 0fv 6882 . . . . . . 7 (βˆ…β€˜π‘‡) = βˆ…
1514eqcomi 2747 . . . . . 6 βˆ… = (βˆ…β€˜π‘‡)
16 reldmpsr 21239 . . . . . . 7 Rel dom mPwSer
1716ovprc 7388 . . . . . 6 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = βˆ…)
18 reldmopsr 21368 . . . . . . . 8 Rel dom ordPwSer
1918ovprc 7388 . . . . . . 7 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐼 ordPwSer 𝑅) = βˆ…)
2019fveq1d 6840 . . . . . 6 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡) = (βˆ…β€˜π‘‡))
2115, 17, 203eqtr4a 2804 . . . . 5 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡))
2221, 4, 53eqtr4g 2803 . . . 4 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ 𝑆 = 𝑂)
2322fveq2d 6842 . . 3 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (πΈβ€˜π‘†) = (πΈβ€˜π‘‚))
2423adantl 483 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (πΈβ€˜π‘†) = (πΈβ€˜π‘‚))
2513, 24pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘†) = (πΈβ€˜π‘‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942  Vcvv 3444   βŠ† wss 3909  βˆ…c0 4281  βŸ¨cop 4591   Γ— cxp 5629  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350   sSet csts 16970  Slot cslot 16988  ndxcnx 17000  lecple 17075   mPwSer cmps 21229   ordPwSer copws 21233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-ltxr 11128  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-dec 12552  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ple 17088  df-psr 21234  df-opsr 21238
This theorem is referenced by:  opsrbas  21374  opsrplusg  21376  opsrmulr  21378  opsrvsca  21380  opsrsca  21382
  Copyright terms: Public domain W3C validator