MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrbaslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrbaslem 19800
Description: Get a component of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrbas.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrbas.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrbas.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrbaslem.1 𝐸 = Slot 𝑁
opsrbaslem.2 𝑁 ∈ ℕ
opsrbaslem.3 𝑁 < 10
Assertion
Ref Expression
opsrbaslem (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝐸𝑂))

Proof of Theorem opsrbaslem
StepHypRef Expression
1 opsrbas.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrbas.o . . . . 5 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
3 eqid 2799 . . . . 5 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
4 simprl 788 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝐼 ∈ V)
5 simprr 790 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑅 ∈ V)
6 opsrbas.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
76adantr 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
81, 2, 3, 4, 5, 7opsrval2 19799 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
98fveq2d 6415 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸𝑂) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩)))
10 opsrbaslem.1 . . . . 5 𝐸 = Slot 𝑁
11 opsrbaslem.2 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ
1210, 11ndxid 16210 . . . 4 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
1311nnrei 11322 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℝ
14 opsrbaslem.3 . . . . . 6 𝑁 < 10
1513, 14ltneii 10440 . . . . 5 𝑁10
1610, 11ndxarg 16209 . . . . . 6 (𝐸‘ndx) = 𝑁
17 plendx 16368 . . . . . 6 (le‘ndx) = 10
1816, 17neeq12i 3037 . . . . 5 ((𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 𝑁10)
1915, 18mpbir 223 . . . 4 (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
2012, 19setsnid 16240 . . 3 (𝐸𝑆) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
219, 20syl6reqr 2852 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸𝑆) = (𝐸𝑂))
22 0fv 6451 . . . . . . 7 (∅‘𝑇) = ∅
2322eqcomi 2808 . . . . . 6 ∅ = (∅‘𝑇)
24 reldmpsr 19684 . . . . . . 7 Rel dom mPwSer
2524ovprc 6915 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
26 reldmopsr 19796 . . . . . . . 8 Rel dom ordPwSer
2726ovprc 6915 . . . . . . 7 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 ordPwSer 𝑅) = ∅)
2827fveq1d 6413 . . . . . 6 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇) = (∅‘𝑇))
2923, 25, 283eqtr4a 2859 . . . . 5 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
3029adantl 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
3130, 1, 23eqtr4g 2858 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑆 = 𝑂)
3231fveq2d 6415 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸𝑆) = (𝐸𝑂))
3321, 32pm2.61dan 848 1 (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝐸𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  Vcvv 3385  wss 3769  c0 4115  cop 4374   class class class wbr 4843   × cxp 5310  cfv 6101  (class class class)co 6878  0cc0 10224  1c1 10225   < clt 10363  cn 11312  cdc 11783  ndxcnx 16181   sSet csts 16182  Slot cslot 16183  lecple 16274   mPwSer cmps 19674   ordPwSer copws 19678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-ltxr 10368  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-dec 11784  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ple 16287  df-psr 19679  df-opsr 19683
This theorem is referenced by:  opsrbas  19801  opsrplusg  19802  opsrmulr  19803  opsrvsca  19804  opsrsca  19805
  Copyright terms: Public domain W3C validator