Theorem opsrbaslem 19800

Description: Get a component of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrbas.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrbas.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrbas.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrbaslem.1	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
opsrbaslem.2	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
opsrbaslem.3	⊢ 𝑁 < ;10

Assertion

Ref	Expression
opsrbaslem	⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))

Proof of Theorem opsrbaslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrbas.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		opsrbas.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
3		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
4		simprl 788	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝐼 ∈ V)
5		simprr 790	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑅 ∈ V)
6		opsrbas.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
7	6	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	opsrval2 19799	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
9	8	fveq2d 6415	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩)))
10		opsrbaslem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
11		opsrbaslem.2	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
12	10, 11	ndxid 16210	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
13	11	nnrei 11322	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
14		opsrbaslem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 < ;10
15	13, 14	ltneii 10440	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ≠ ;10
16	10, 11	ndxarg 16209	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
17		plendx 16368	. . . . . 6 ⊢ (le‘ndx) = ;10
18	16, 17	neeq12i 3037	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ ;10)
19	15, 18	mpbir 223	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (le‘ndx)
20	12, 19	setsnid 16240	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
21	9, 20	syl6reqr 2852	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))
22		0fv 6451	. . . . . . 7 ⊢ (∅‘𝑇) = ∅
23	22	eqcomi 2808	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (∅‘𝑇)
24		reldmpsr 19684	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom mPwSer
25	24	ovprc 6915	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
26		reldmopsr 19796	. . . . . . . 8 ⊢ Rel dom ordPwSer
27	26	ovprc 6915	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 ordPwSer 𝑅) = ∅)
28	27	fveq1d 6413	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇) = (∅‘𝑇))
29	23, 25, 28	3eqtr4a 2859	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
30	29	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇))
31	30, 1, 2	3eqtr4g 2858	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑆 = 𝑂)
32	31	fveq2d 6415	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))
33	21, 32	pm2.61dan 848	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝐸‘𝑂))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  Vcvv 3385   ⊆ wss 3769  ∅c0 4115  ⟨cop 4374   class class class wbr 4843   × cxp 5310  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  0cc0 10224  1c1 10225   < clt 10363  ℕcn 11312  ;cdc 11783  ndxcnx 16181   sSet csts 16182  Slot cslot 16183  lecple 16274   mPwSer cmps 19674   ordPwSer copws 19678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-ltxr 10368  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-dec 11784  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ple 16287  df-psr 19679  df-opsr 19683

This theorem is referenced by:  opsrbas  19801  opsrplusg  19802  opsrmulr  19803  opsrvsca  19804  opsrsca  19805