MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrle 22083
Description: An alternative expression for the set of polynomials, as the smallest subalgebra of the set of power series that contains all the variable generators. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrle.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrle.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrle.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
opsrle.q < = (lt‘𝑅)
opsrle.c 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
opsrle.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
opsrle.l = (le‘𝑂)
opsrle.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
Assertion
Ref Expression
opsrle (𝜑 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑧,𝑤,𝐷   𝑤,,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐵(𝑧,𝑤,)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   𝐷(𝑥,𝑦,)   𝑅()   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   < (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   𝑇()   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,)

Proof of Theorem opsrle
StepHypRef Expression
1 opsrle.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrle.o . . . . 5 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
3 opsrle.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
4 opsrle.q . . . . 5 < = (lt‘𝑅)
5 opsrle.c . . . . 5 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
6 opsrle.d . . . . 5 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 eqid 2735 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))}
8 simprl 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝐼 ∈ V)
9 simprr 773 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑅 ∈ V)
10 opsrle.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11opsrval 22082 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))}⟩))
1312fveq2d 6911 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (le‘𝑂) = (le‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))}⟩)))
14 opsrle.l . . 3 = (le‘𝑂)
151ovexi 7465 . . . 4 𝑆 ∈ V
163fvexi 6921 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
1716, 16xpex 7772 . . . . 5 (𝐵 × 𝐵) ∈ V
18 vex 3482 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
19 vex 3482 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
2018, 19prss 4825 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
2120anbi1i 624 . . . . . . 7 (((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦)) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦)))
2221opabbii 5215 . . . . . 6 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))}
23 opabssxp 5781 . . . . . 6 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} ⊆ (𝐵 × 𝐵)
2422, 23eqsstrri 4031 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} ⊆ (𝐵 × 𝐵)
2517, 24ssexi 5328 . . . 4 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} ∈ V
26 pleid 17413 . . . . 5 le = Slot (le‘ndx)
2726setsid 17242 . . . 4 ((𝑆 ∈ V ∧ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} ∈ V) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} = (le‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))}⟩)))
2815, 25, 27mp2an 692 . . 3 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} = (le‘(𝑆 sSet ⟨(le‘ndx), {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))}⟩))
2913, 14, 283eqtr4g 2800 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))})
30 reldmopsr 22081 . . . . . . . . . 10 Rel dom ordPwSer
3130ovprc 7469 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 ordPwSer 𝑅) = ∅)
3231adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐼 ordPwSer 𝑅) = ∅)
3332fveq1d 6909 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇) = (∅‘𝑇))
342, 33eqtrid 2787 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑂 = (∅‘𝑇))
35 0fv 6951 . . . . . 6 (∅‘𝑇) = ∅
3634, 35eqtrdi 2791 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑂 = ∅)
3736fveq2d 6911 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (le‘𝑂) = (le‘∅))
3826str0 17223 . . . 4 ∅ = (le‘∅)
3937, 14, 383eqtr4g 2800 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → = ∅)
40 reldmpsr 21952 . . . . . . . . . . 11 Rel dom mPwSer
4140ovprc 7469 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
4241adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐼 mPwSer 𝑅) = ∅)
431, 42eqtrid 2787 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑆 = ∅)
4443fveq2d 6911 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (Base‘𝑆) = (Base‘∅))
45 base0 17250 . . . . . . 7 ∅ = (Base‘∅)
4644, 3, 453eqtr4g 2800 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝐵 = ∅)
4746xpeq2d 5719 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐵 × 𝐵) = (𝐵 × ∅))
48 xp0 6180 . . . . 5 (𝐵 × ∅) = ∅
4947, 48eqtrdi 2791 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐵 × 𝐵) = ∅)
50 sseq0 4409 . . . 4 (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} ⊆ (𝐵 × 𝐵) ∧ (𝐵 × 𝐵) = ∅) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} = ∅)
5124, 49, 50sylancr 587 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} = ∅)
5239, 51eqtr4d 2778 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))})
5329, 52pm2.61dan 813 1 (𝜑 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧𝐷 ((𝑥𝑧) < (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  {cpr 4633  cop 4637   class class class wbr 5148  {copab 5210   × cxp 5687  ccnv 5688  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984  cn 12264  0cn0 12524   sSet csts 17197  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  lecple 17305  ltcplt 18366   mPwSer cmps 21942   <bag cltb 21945   ordPwSer copws 21946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-dec 12732  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ple 17318  df-psr 21947  df-opsr 21951
This theorem is referenced by:  opsrval2  22084  opsrtoslem1  22097
  Copyright terms: Public domain W3C validator