MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrle 21940
Description: An alternative expression for the set of polynomials, as the smallest subalgebra of the set of power series that contains all the variable generators. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrle.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrle.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
opsrle.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
opsrle.q < = (ltβ€˜π‘…)
opsrle.c 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
opsrle.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
opsrle.l ≀ = (leβ€˜π‘‚)
opsrle.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
Assertion
Ref Expression
opsrle (πœ‘ β†’ ≀ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   𝑧,𝑀,𝐷   𝑀,β„Ž,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐼   𝑀,𝑅,π‘₯,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑇,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐡(𝑧,𝑀,β„Ž)   𝐢(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   𝐷(π‘₯,𝑦,β„Ž)   𝑅(β„Ž)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   < (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   𝑇(β„Ž)   ≀ (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)

Proof of Theorem opsrle
StepHypRef Expression
1 opsrle.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrle.o . . . . 5 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
3 opsrle.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
4 opsrle.q . . . . 5 < = (ltβ€˜π‘…)
5 opsrle.c . . . . 5 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
6 opsrle.d . . . . 5 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
7 eqid 2726 . . . . 5 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}
8 simprl 768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝐼 ∈ V)
9 simprr 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑅 ∈ V)
10 opsrle.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
1110adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11opsrval 21939 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}⟩))
1312fveq2d 6888 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜(𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}⟩)))
14 opsrle.l . . 3 ≀ = (leβ€˜π‘‚)
151ovexi 7438 . . . 4 𝑆 ∈ V
163fvexi 6898 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
1716, 16xpex 7736 . . . . 5 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V
18 vex 3472 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
19 vex 3472 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
2018, 19prss 4818 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡)
2120anbi1i 623 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦)) ↔ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦)))
2221opabbii 5208 . . . . . 6 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}
23 opabssxp 5761 . . . . . 6 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡)
2422, 23eqsstrri 4012 . . . . 5 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡)
2517, 24ssexi 5315 . . . 4 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} ∈ V
26 pleid 17319 . . . . 5 le = Slot (leβ€˜ndx)
2726setsid 17148 . . . 4 ((𝑆 ∈ V ∧ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} ∈ V) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} = (leβ€˜(𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}⟩)))
2815, 25, 27mp2an 689 . . 3 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} = (leβ€˜(𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}⟩))
2913, 14, 283eqtr4g 2791 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ ≀ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))})
30 reldmopsr 21938 . . . . . . . . . 10 Rel dom ordPwSer
3130ovprc 7442 . . . . . . . . 9 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐼 ordPwSer 𝑅) = βˆ…)
3231adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (𝐼 ordPwSer 𝑅) = βˆ…)
3332fveq1d 6886 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡) = (βˆ…β€˜π‘‡))
342, 33eqtrid 2778 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑂 = (βˆ…β€˜π‘‡))
35 0fv 6928 . . . . . 6 (βˆ…β€˜π‘‡) = βˆ…
3634, 35eqtrdi 2782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑂 = βˆ…)
3736fveq2d 6888 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜βˆ…))
3826str0 17129 . . . 4 βˆ… = (leβ€˜βˆ…)
3937, 14, 383eqtr4g 2791 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ ≀ = βˆ…)
40 reldmpsr 21804 . . . . . . . . . . 11 Rel dom mPwSer
4140ovprc 7442 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = βˆ…)
4241adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = βˆ…)
431, 42eqtrid 2778 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑆 = βˆ…)
4443fveq2d 6888 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜βˆ…))
45 base0 17156 . . . . . . 7 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
4644, 3, 453eqtr4g 2791 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝐡 = βˆ…)
4746xpeq2d 5699 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = (𝐡 Γ— βˆ…))
48 xp0 6150 . . . . 5 (𝐡 Γ— βˆ…) = βˆ…
4947, 48eqtrdi 2782 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆ…)
50 sseq0 4394 . . . 4 (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆ…) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} = βˆ…)
5124, 49, 50sylancr 586 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} = βˆ…)
5239, 51eqtr4d 2769 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ ≀ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))})
5329, 52pm2.61dan 810 1 (πœ‘ β†’ ≀ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141  {copab 5203   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473   sSet csts 17103  ndxcnx 17133  Basecbs 17151  lecple 17211  ltcplt 18271   mPwSer cmps 21794   <bag cltb 21797   ordPwSer copws 21798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-dec 12679  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ple 17224  df-psr 21799  df-opsr 21803
This theorem is referenced by:  opsrval2  21941  opsrtoslem1  21954
  Copyright terms: Public domain W3C validator