MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrle 21985
Description: An alternative expression for the set of polynomials, as the smallest subalgebra of the set of power series that contains all the variable generators. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrle.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrle.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
opsrle.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
opsrle.q < = (ltβ€˜π‘…)
opsrle.c 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
opsrle.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
opsrle.l ≀ = (leβ€˜π‘‚)
opsrle.t (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
Assertion
Ref Expression
opsrle (πœ‘ β†’ ≀ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   𝑧,𝑀,𝐷   𝑀,β„Ž,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐼   𝑀,𝑅,π‘₯,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝑇,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(β„Ž)   𝐡(𝑧,𝑀,β„Ž)   𝐢(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   𝐷(π‘₯,𝑦,β„Ž)   𝑅(β„Ž)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   < (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   𝑇(β„Ž)   ≀ (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,β„Ž)

Proof of Theorem opsrle
StepHypRef Expression
1 opsrle.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrle.o . . . . 5 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡)
3 opsrle.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
4 opsrle.q . . . . 5 < = (ltβ€˜π‘…)
5 opsrle.c . . . . 5 𝐢 = (𝑇 <bag 𝐼)
6 opsrle.d . . . . 5 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
7 eqid 2728 . . . . 5 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}
8 simprl 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝐼 ∈ V)
9 simprr 772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑅 ∈ V)
10 opsrle.t . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
1110adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑇 βŠ† (𝐼 Γ— 𝐼))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11opsrval 21984 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑂 = (𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}⟩))
1312fveq2d 6901 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜(𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}⟩)))
14 opsrle.l . . 3 ≀ = (leβ€˜π‘‚)
151ovexi 7454 . . . 4 𝑆 ∈ V
163fvexi 6911 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
1716, 16xpex 7755 . . . . 5 (𝐡 Γ— 𝐡) ∈ V
18 vex 3475 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
19 vex 3475 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
2018, 19prss 4824 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ↔ {π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡)
2120anbi1i 623 . . . . . . 7 (((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦)) ↔ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦)))
2221opabbii 5215 . . . . . 6 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}
23 opabssxp 5770 . . . . . 6 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡)
2422, 23eqsstrri 4015 . . . . 5 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡)
2517, 24ssexi 5322 . . . 4 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} ∈ V
26 pleid 17348 . . . . 5 le = Slot (leβ€˜ndx)
2726setsid 17177 . . . 4 ((𝑆 ∈ V ∧ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} ∈ V) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} = (leβ€˜(𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}⟩)))
2815, 25, 27mp2an 691 . . 3 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} = (leβ€˜(𝑆 sSet ⟨(leβ€˜ndx), {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))}⟩))
2913, 14, 283eqtr4g 2793 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ ≀ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))})
30 reldmopsr 21983 . . . . . . . . . 10 Rel dom ordPwSer
3130ovprc 7458 . . . . . . . . 9 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐼 ordPwSer 𝑅) = βˆ…)
3231adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (𝐼 ordPwSer 𝑅) = βˆ…)
3332fveq1d 6899 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ ((𝐼 ordPwSer 𝑅)β€˜π‘‡) = (βˆ…β€˜π‘‡))
342, 33eqtrid 2780 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑂 = (βˆ…β€˜π‘‡))
35 0fv 6941 . . . . . 6 (βˆ…β€˜π‘‡) = βˆ…
3634, 35eqtrdi 2784 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑂 = βˆ…)
3736fveq2d 6901 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜βˆ…))
3826str0 17158 . . . 4 βˆ… = (leβ€˜βˆ…)
3937, 14, 383eqtr4g 2793 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ ≀ = βˆ…)
40 reldmpsr 21847 . . . . . . . . . . 11 Rel dom mPwSer
4140ovprc 7458 . . . . . . . . . 10 (Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = βˆ…)
4241adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (𝐼 mPwSer 𝑅) = βˆ…)
431, 42eqtrid 2780 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝑆 = βˆ…)
4443fveq2d 6901 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜βˆ…))
45 base0 17185 . . . . . . 7 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
4644, 3, 453eqtr4g 2793 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ 𝐡 = βˆ…)
4746xpeq2d 5708 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = (𝐡 Γ— βˆ…))
48 xp0 6162 . . . . 5 (𝐡 Γ— βˆ…) = βˆ…
4947, 48eqtrdi 2784 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆ…)
50 sseq0 4400 . . . 4 (({⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} βŠ† (𝐡 Γ— 𝐡) ∧ (𝐡 Γ— 𝐡) = βˆ…) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} = βˆ…)
5124, 49, 50sylancr 586 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))} = βˆ…)
5239, 51eqtr4d 2771 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) β†’ ≀ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))})
5329, 52pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ ≀ = {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ({π‘₯, 𝑦} βŠ† 𝐡 ∧ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐷 ((π‘₯β€˜π‘§) < (π‘¦β€˜π‘§) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 (𝑀𝐢𝑧 β†’ (π‘₯β€˜π‘€) = (π‘¦β€˜π‘€))) ∨ π‘₯ = 𝑦))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  {crab 3429  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5148  {copab 5210   Γ— cxp 5676  β—‘ccnv 5677   β€œ cima 5681  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑m cmap 8845  Fincfn 8964  β„•cn 12243  β„•0cn0 12503   sSet csts 17132  ndxcnx 17162  Basecbs 17180  lecple 17240  ltcplt 18300   mPwSer cmps 21837   <bag cltb 21840   ordPwSer copws 21841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-dec 12709  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ple 17253  df-psr 21842  df-opsr 21846
This theorem is referenced by:  opsrval2  21986  opsrtoslem1  21999
  Copyright terms: Public domain W3C validator