Theorem reldmmpo 7480

Description: The domain of an operation defined by maps-to notation is a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngop.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
reldmmpo	⊢ Rel dom 𝐹

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem reldmmpo

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmoprab 7453	. 2 ⊢ Rel dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
2		rngop.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
3		df-mpo 7351	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
4	2, 3	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
5	4	dmeqi 5843	. . 3 ⊢ dom 𝐹 = dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
6	5	releqi 5717	. 2 ⊢ (Rel dom 𝐹 ↔ Rel dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)})
7	1, 6	mpbir 231	1 ⊢ Rel dom 𝐹

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  dom cdm 5614  Rel wrel 5619  {coprab 7347   ∈ cmpo 7348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-rel 5621  df-dm 5624  df-oprab 7350  df-mpo 7351

This theorem is referenced by:  reldmmap  8759  reldmrelexp  14928  reldmsets  17076  reldmress  17143  reldmprds  17352  gsum0  18592  reldmghm  19126  oppglsm  19554  reldmdprd  19911  reldmlmhm  20959  zrhval  21444  reldmdsmm  21670  frlmrcl  21694  reldmpsr  21851  reldmmpl  21925  reldmopsr  21980  reldmevls  22019  reldmmhp  22052  vr1val  22104  reldmevls1  22232  evl1fval  22243  matbas0pc  22324  mdetfval  22501  madufval  22552  qtopres  23613  fgabs  23794  reldmtng  24553  reldmnghm  24627  reldmnmhm  24628  dvbsss  25830  reldmmdeg  25989  nbgrprc0  29312  wwlksn  29815  of0r  32660  reldmrloc  33224  erlval  33225  reldmresv  33293  bj-restsnid  37131  mzpmfp  42850  brovmptimex  44130  clnbgrprc0  47930  grimdmrel  47990  grlimdmrel  48090  1aryenef  48756  2aryenef  48767  resccat  49185  reldmfunc  49186  reldmoppf  49236  reldmup  49286  reldmup2  49293  reldmxpcALT  49358  fucofvalne  49436  reldmprcof  49486  reldmprcof2  49493  prcof1  49499  reldmlan  49722  reldmran  49723  reldmlan2  49728  reldmran2  49729  reldmlmd  49758  reldmcmd  49759