Theorem reldmmpo 7501

Description: The domain of an operation defined by maps-to notation is a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngop.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
reldmmpo	⊢ Rel dom 𝐹

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem reldmmpo

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmoprab 7474	. 2 ⊢ Rel dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
2		rngop.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
3		df-mpo 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
4	2, 3	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
5	4	dmeqi 5859	. . 3 ⊢ dom 𝐹 = dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
6	5	releqi 5734	. 2 ⊢ (Rel dom 𝐹 ↔ Rel dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)})
7	1, 6	mpbir 231	1 ⊢ Rel dom 𝐹

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  dom cdm 5631  Rel wrel 5636  {coprab 7368   ∈ cmpo 7369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-rel 5638  df-dm 5641  df-oprab 7371  df-mpo 7372

This theorem is referenced by:  reldmmap  8782  reldmrelexp  14983  reldmsets  17135  reldmress  17202  reldmprds  17411  gsum0  18652  reldmghm  19189  oppglsm  19617  reldmdprd  19974  reldmlmhm  21020  zrhval  21487  reldmdsmm  21713  frlmrcl  21737  reldmpsr  21894  reldmmpl  21966  reldmopsr  22023  reldmevls  22062  reldmmhp  22103  vr1val  22155  reldmevls1  22282  evl1fval  22293  matbas0pc  22374  mdetfval  22551  madufval  22602  qtopres  23663  fgabs  23844  reldmtng  24603  reldmnghm  24677  reldmnmhm  24678  dvbsss  25869  reldmmdeg  26022  nbgrprc0  29403  wwlksn  29905  of0r  32752  reldmrloc  33318  erlval  33319  reldmresv  33388  bj-restsnid  37399  mzpmfp  43179  brovmptimex  44454  clnbgrprc0  48296  grimdmrel  48356  grlimdmrel  48456  1aryenef  49121  2aryenef  49132  resccat  49549  reldmfunc  49550  reldmoppf  49600  reldmup  49650  reldmup2  49657  reldmxpcALT  49722  fucofvalne  49800  reldmprcof  49850  reldmprcof2  49857  prcof1  49863  reldmlan  50086  reldmran  50087  reldmlan2  50092  reldmran2  50093  reldmlmd  50122  reldmcmd  50123