Theorem reldmmpo 7545

Description: The domain of an operation defined by maps-to notation is a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngop.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
reldmmpo	⊢ Rel dom 𝐹

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem reldmmpo

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmoprab 7518	. 2 ⊢ Rel dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
2		rngop.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
3		df-mpo 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
4	2, 3	eqtri 2792	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
5	4	dmeqi 5895	. . 3 ⊢ dom 𝐹 = dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
6	5	releqi 5765	. 2 ⊢ (Rel dom 𝐹 ↔ Rel dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)})
7	1, 6	mpbir 234	1 ⊢ Rel dom 𝐹

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  dom cdm 5662  Rel wrel 5667  {coprab 7412   ∈ cmpo 7413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5114  df-opab 5178  df-xp 5668  df-rel 5669  df-dm 5672  df-oprab 7415  df-mpo 7416

This theorem is referenced by:  reldmmap  8832  reldmrelexp  15058  reldmsets  17225  reldmress  17292  reldmprds  17501  gsum0  18742  reldmghm  19285  oppglsm  19712  reldmdprd  20069  reldmlmhm  21124  zrhval  21626  reldmdsmm  21852  frlmrcl  21876  reldmpsr  22033  reldmmpl  22106  reldmopsr  22165  reldmevls  22204  reldmmhp  22269  vr1val  22321  reldmevls1  22446  evl1fval  22457  matbas0pc  22535  mdetfval  22712  madufval  22763  qtopres  23824  fgabs  24005  reldmtng  24764  reldmnghm  24838  reldmnmhm  24839  dvbsss  26030  reldmmdeg  26183  nbgrprc0  29625  wwlksn  30127  of0r  32965  reldmrloc  33518  erlval  33519  reldmresv  33591  bj-restsnid  37617  mzpmfp  43370  brovmptimex  44645  clnbgrprc0  48474  grimdmrel  48534  grlimdmrel  48634  1aryenef  49310  2aryenef  49321  resccat  49737  reldmfunc  49738  reldmoppf  49788  reldmup  49838  reldmup2  49845  reldmxpcALT  49910  fucofvalne  49988  reldmprcof  50038  reldmprcof2  50045  prcof1  50051  reldmlan  50274  reldmran  50275  reldmlan2  50280  reldmran2  50281  reldmlmd  50310  reldmcmd  50311