Theorem reldmmpo 7483

Description: The domain of an operation defined by maps-to notation is a relation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngop.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
reldmmpo	⊢ Rel dom 𝐹

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem reldmmpo

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmoprab 7456	. 2 ⊢ Rel dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
2		rngop.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
3		df-mpo 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
4	2, 3	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
5	4	dmeqi 5847	. . 3 ⊢ dom 𝐹 = dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)}
6	5	releqi 5721	. 2 ⊢ (Rel dom 𝐹 ↔ Rel dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 𝐶)})
7	1, 6	mpbir 231	1 ⊢ Rel dom 𝐹

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  dom cdm 5619  Rel wrel 5624  {coprab 7350   ∈ cmpo 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-br 5093  df-opab 5155  df-xp 5625  df-rel 5626  df-dm 5629  df-oprab 7353  df-mpo 7354

This theorem is referenced by:  reldmmap  8762  reldmrelexp  14928  reldmsets  17076  reldmress  17143  reldmprds  17352  gsum0  18558  reldmghm  19093  oppglsm  19521  reldmdprd  19878  reldmlmhm  20929  zrhval  21414  reldmdsmm  21640  frlmrcl  21664  reldmpsr  21821  reldmmpl  21895  reldmopsr  21950  reldmevls  21989  reldmmhp  22022  vr1val  22074  reldmevls1  22202  evl1fval  22213  matbas0pc  22294  mdetfval  22471  madufval  22522  qtopres  23583  fgabs  23764  reldmtng  24524  reldmnghm  24598  reldmnmhm  24599  dvbsss  25801  reldmmdeg  25960  nbgrprc0  29279  wwlksn  29782  of0r  32621  reldmrloc  33197  erlval  33198  reldmresv  33266  bj-restsnid  37065  mzpmfp  42724  brovmptimex  44004  clnbgrprc0  47808  grimdmrel  47868  grlimdmrel  47968  1aryenef  48634  2aryenef  48645  resccat  49063  reldmfunc  49064  reldmoppf  49114  reldmup  49164  reldmup2  49171  reldmxpcALT  49236  fucofvalne  49314  reldmprcof  49364  reldmprcof2  49371  prcof1  49377  reldmlan  49600  reldmran  49601  reldmlan2  49606  reldmran2  49607  reldmlmd  49636  reldmcmd  49637