Theorem rngqiprngimfolem 21401

Description: Lemma for rngqiprngimfo 21412. (Contributed by AV, 5-Mar-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimfolem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem rngqiprngimfolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2	1	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
3		rng2idlring.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4		rng2idlring.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5		rng2idlring.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
6		rng2idlring.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rng2idlring.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		rng2idlring.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
9	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8	rngqiprng1elbas 21397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
10	9	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
11		rnggrp 20236	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
12	1, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
13	12	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
14		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
15	6, 7	rngcl 20242	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵)
16	2, 10, 14, 15	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵)
17		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
18	6, 17	grpsubcl 19086	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
19	13, 14, 16, 18	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
20		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
21	6, 20	2idlss 21372	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
22	3, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
23	22	sselda 3945	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐵)
24	23	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
25		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
26	6, 25, 7	rngdi 20238	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = (( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)))
27	2, 10, 19, 24, 26	syl13anc 1397	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = (( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)))
28	6, 7, 17, 2, 10, 14, 16	rngsubdi 20249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))) = (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · ( 1 · 𝐶))))
29	4, 7	ressmulr 17360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r‘𝐽))
30	3, 29	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐽))
31	30	oveqd 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 (.r‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
32	31	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 (.r‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
33		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
34		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
35	5	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐽 ∈ Ring)
36	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8	rngqiprngghmlem1 21398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ (Base‘𝐽))
37	36	3adant2 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ (Base‘𝐽))
38	33, 34, 8, 35, 37	ringlidmd 20355	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝐽)( 1 · 𝐶)) = ( 1 · 𝐶))
39	32, 38	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 · 𝐶))
40	39	oveq2d 7427	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · ( 1 · 𝐶))) = (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))
41		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
42	6, 41, 17	grpsubid 19090	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (0g‘𝑅))
43	13, 16, 42	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (0g‘𝑅))
44	28, 40, 43	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))) = (0g‘𝑅))
45	44	oveq1d 7426	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)))
46	6, 7	rngcl 20242	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
47	2, 10, 24, 46	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
48	6, 25, 41, 13, 47	grplidd 19036	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)) = ( 1 · 𝐴))
49	30	oveqd 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐴) = ( 1 (.r‘𝐽)𝐴))
50	49	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) = ( 1 (.r‘𝐽)𝐴))
51	5	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ Ring)
52	3, 4, 33	2idlbas 21373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
53	52	eqcomd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Base‘𝐽))
54	53	eleq2d 2855	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)))
55	54	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐽))
56	33, 34, 8, 51, 55	ringlidmd 20355	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ( 1 (.r‘𝐽)𝐴) = 𝐴)
57	56	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝐽)𝐴) = 𝐴)
58	48, 50, 57	3eqtrd 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)) = 𝐴)
59	27, 45, 58	3eqtrd 2808	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  +_gcplusg 17310  ._rcmulr 17311  0_gc0g 17492  Grpcgrp 19000  -_gcsg 19002  Rngcrng 20230  1_rcur 20263  Ringcrg 20315  2Idealc2idl 21359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-oppr 20419  df-subrng 20631  df-lss 21031  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-lidl 21310  df-2idl 21360

This theorem is referenced by:  rngqiprngimfo  21412