MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngqiprngimfolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngqiprngimfolem 21053
Description: Lemma for rngqiprngimfo 21064. (Contributed by AV, 5-Mar-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idlring.r (𝜑𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
rng2idlring.u (𝜑𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t · = (.r𝑅)
rng2idlring.1 1 = (1r𝐽)
Assertion
Ref Expression
rngqiprngimfolem ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g𝑅)( 1 · 𝐶))(+g𝑅)𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem rngqiprngimfolem
StepHypRef Expression
1 rng2idlring.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Rng)
213ad2ant1 1132 . . 3 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
3 rng2idlring.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4 rng2idlring.j . . . . 5 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
5 rng2idlring.u . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Ring)
6 rng2idlring.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 rng2idlring.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
8 rng2idlring.1 . . . . 5 1 = (1r𝐽)
91, 3, 4, 5, 6, 7, 8rngqiprng1elbas 21049 . . . 4 (𝜑1𝐵)
1093ad2ant1 1132 . . 3 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → 1𝐵)
11 rnggrp 20056 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
121, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
13123ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
14 simp3 1137 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
156, 7rngcl 20062 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1𝐵𝐶𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵)
162, 10, 14, 15syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵)
17 eqid 2731 . . . . 5 (-g𝑅) = (-g𝑅)
186, 17grpsubcl 18943 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐶𝐵 ∧ ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝐶(-g𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
1913, 14, 16, 18syl3anc 1370 . . 3 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → (𝐶(-g𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
20 eqid 2731 . . . . . . 7 (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
216, 202idlss 21021 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼𝐵)
223, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐼𝐵)
2322sselda 3982 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐼) → 𝐴𝐵)
24233adant3 1131 . . 3 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → 𝐴𝐵)
25 eqid 2731 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
266, 25, 7rngdi 20058 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1𝐵 ∧ (𝐶(-g𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵𝐴𝐵)) → ( 1 · ((𝐶(-g𝑅)( 1 · 𝐶))(+g𝑅)𝐴)) = (( 1 · (𝐶(-g𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g𝑅)( 1 · 𝐴)))
272, 10, 19, 24, 26syl13anc 1371 . 2 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g𝑅)( 1 · 𝐶))(+g𝑅)𝐴)) = (( 1 · (𝐶(-g𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g𝑅)( 1 · 𝐴)))
286, 7, 17, 2, 10, 14, 16rngsubdi 20069 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → ( 1 · (𝐶(-g𝑅)( 1 · 𝐶))) = (( 1 · 𝐶)(-g𝑅)( 1 · ( 1 · 𝐶))))
294, 7ressmulr 17259 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r𝐽))
303, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑· = (.r𝐽))
3130oveqd 7429 . . . . . . 7 (𝜑 → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 (.r𝐽)( 1 · 𝐶)))
32313ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 (.r𝐽)( 1 · 𝐶)))
33 eqid 2731 . . . . . . 7 (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
34 eqid 2731 . . . . . . 7 (.r𝐽) = (.r𝐽)
3553ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → 𝐽 ∈ Ring)
361, 3, 4, 5, 6, 7, 8rngqiprngghmlem1 21050 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ (Base‘𝐽))
37363adant2 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ (Base‘𝐽))
3833, 34, 8, 35, 37ringlidmd 20164 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → ( 1 (.r𝐽)( 1 · 𝐶)) = ( 1 · 𝐶))
3932, 38eqtrd 2771 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 · 𝐶))
4039oveq2d 7428 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g𝑅)( 1 · ( 1 · 𝐶))) = (( 1 · 𝐶)(-g𝑅)( 1 · 𝐶)))
41 eqid 2731 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
426, 41, 17grpsubid 18947 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g𝑅)( 1 · 𝐶)) = (0g𝑅))
4313, 16, 42syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g𝑅)( 1 · 𝐶)) = (0g𝑅))
4428, 40, 433eqtrd 2775 . . 3 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → ( 1 · (𝐶(-g𝑅)( 1 · 𝐶))) = (0g𝑅))
4544oveq1d 7427 . 2 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → (( 1 · (𝐶(-g𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g𝑅)( 1 · 𝐴)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)( 1 · 𝐴)))
466, 7rngcl 20062 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1𝐵𝐴𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
472, 10, 24, 46syl3anc 1370 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
486, 25, 41, 13, 47grplidd 18894 . . 3 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → ((0g𝑅)(+g𝑅)( 1 · 𝐴)) = ( 1 · 𝐴))
4930oveqd 7429 . . . 4 (𝜑 → ( 1 · 𝐴) = ( 1 (.r𝐽)𝐴))
50493ad2ant1 1132 . . 3 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → ( 1 · 𝐴) = ( 1 (.r𝐽)𝐴))
515adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐼) → 𝐽 ∈ Ring)
523, 4, 332idlbas 21022 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
5352eqcomd 2737 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 = (Base‘𝐽))
5453eleq2d 2818 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐼𝐴 ∈ (Base‘𝐽)))
5554biimpa 476 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐼) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐽))
5633, 34, 8, 51, 55ringlidmd 20164 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐼) → ( 1 (.r𝐽)𝐴) = 𝐴)
57563adant3 1131 . . 3 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → ( 1 (.r𝐽)𝐴) = 𝐴)
5848, 50, 573eqtrd 2775 . 2 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → ((0g𝑅)(+g𝑅)( 1 · 𝐴)) = 𝐴)
5927, 45, 583eqtrd 2775 1 ((𝜑𝐴𝐼𝐶𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g𝑅)( 1 · 𝐶))(+g𝑅)𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wss 3948  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  s cress 17180  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  0gc0g 17392  Grpcgrp 18858  -gcsg 18860  Rngcrng 20050  1rcur 20079  Ringcrg 20131  2Idealc2idl 21009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-0g 17394  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-subg 19043  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-oppr 20229  df-subrng 20438  df-lss 20691  df-sra 20934  df-rgmod 20935  df-lidl 20936  df-2idl 21010
This theorem is referenced by:  rngqiprngimfo  21064
  Copyright terms: Public domain W3C validator