Theorem rngqiprngimfolem 46755

Description: Lemma for rngqiprngimfo 46766. (Contributed by AV, 5-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimfolem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem rngqiprngimfolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
3		rng2idlring.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4		rng2idlring.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
6	3, 4, 5	2idlbas 20861	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
7	6, 3	eqeltrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ∈ (2Ideal‘𝑅))
8		rng2idlring.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
10	8, 9	2idlss 20860	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝐽) ∈ (2Ideal‘𝑅) → (Base‘𝐽) ⊆ 𝐵)
11	7, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) ⊆ 𝐵)
12		rng2idlring.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
13		rng2idlring.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
14	5, 13	ringidcl 20076	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
15	12, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐽))
16	11, 15	sseldd 3982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
17	16	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
18		rnggrp 46640	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
19	1, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
20	19	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
21		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
22		rng2idlring.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
23	8, 22	rngcl 46649	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵)
24	2, 17, 21, 23	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵)
25		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
26	8, 25	grpsubcl 18899	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
27	20, 21, 24, 26	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
28	8, 9	2idlss 20860	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
29	3, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
30	29	sselda 3981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐵)
31	30	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
32		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
33	8, 32, 22	rngdi 46645	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = (( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)))
34	2, 17, 27, 31, 33	syl13anc 1372	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = (( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)))
35	8, 22, 25, 2, 17, 21, 24	rngsubdi 46656	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))) = (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · ( 1 · 𝐶))))
36	4, 22	ressmulr 17248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r‘𝐽))
37	3, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐽))
38	37	oveqd 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 (.r‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
39	38	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 (.r‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
40		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
41	12	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐽 ∈ Ring)
42	1, 3, 4, 12, 8, 22, 13	rngqiprngghmlem1 46752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ (Base‘𝐽))
43	42	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ (Base‘𝐽))
44	5, 40, 13, 41, 43	ringlidmd 20082	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝐽)( 1 · 𝐶)) = ( 1 · 𝐶))
45	39, 44	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 · 𝐶))
46	45	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · ( 1 · 𝐶))) = (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))
47		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
48	8, 47, 25	grpsubid 18903	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (0g‘𝑅))
49	20, 24, 48	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (0g‘𝑅))
50	35, 46, 49	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))) = (0g‘𝑅))
51	50	oveq1d 7420	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)))
52	8, 22	rngcl 46649	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
53	2, 17, 31, 52	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
54	8, 32, 47, 20, 53	grplidd 18850	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)) = ( 1 · 𝐴))
55	37	oveqd 7422	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐴) = ( 1 (.r‘𝐽)𝐴))
56	55	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) = ( 1 (.r‘𝐽)𝐴))
57	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ Ring)
58	6	eqcomd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Base‘𝐽))
59	58	eleq2d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)))
60	59	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐽))
61	5, 40, 13, 57, 60	ringlidmd 20082	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ( 1 (.r‘𝐽)𝐴) = 𝐴)
62	61	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝐽)𝐴) = 𝐴)
63	54, 56, 62	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)) = 𝐴)
64	34, 51, 63	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  +_gcplusg 17193  ._rcmulr 17194  0_gc0g 17381  Grpcgrp 18815  -_gcsg 18817  1_rcur 19998  Ringcrg 20049  2Idealc2idl 20848  Rngcrng 46634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-2idl 20849  df-rng 46635  df-subrng 46709

This theorem is referenced by:  rngqiprngimfo  46766