Theorem rngqiprngimfolem 21184

Description: Lemma for rngqiprngimfo 21195. (Contributed by AV, 5-Mar-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimfolem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem rngqiprngimfolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2	1	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
3		rng2idlring.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4		rng2idlring.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5		rng2idlring.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
6		rng2idlring.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rng2idlring.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		rng2idlring.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
9	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8	rngqiprng1elbas 21180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
10	9	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
11		rnggrp 20102	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
12	1, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
13	12	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
14		simp3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
15	6, 7	rngcl 20108	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵)
16	2, 10, 14, 15	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵)
17		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
18	6, 17	grpsubcl 18980	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
19	13, 14, 16, 18	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
20		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
21	6, 20	2idlss 21160	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
22	3, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
23	22	sselda 3977	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐵)
24	23	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
25		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
26	6, 25, 7	rngdi 20104	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = (( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)))
27	2, 10, 19, 24, 26	syl13anc 1369	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = (( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)))
28	6, 7, 17, 2, 10, 14, 16	rngsubdi 20115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))) = (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · ( 1 · 𝐶))))
29	4, 7	ressmulr 17287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r‘𝐽))
30	3, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐽))
31	30	oveqd 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 (.r‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
32	31	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 (.r‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
33		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
34		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
35	5	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐽 ∈ Ring)
36	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8	rngqiprngghmlem1 21181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ (Base‘𝐽))
37	36	3adant2 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ (Base‘𝐽))
38	33, 34, 8, 35, 37	ringlidmd 20212	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝐽)( 1 · 𝐶)) = ( 1 · 𝐶))
39	32, 38	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 · 𝐶))
40	39	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · ( 1 · 𝐶))) = (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))
41		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
42	6, 41, 17	grpsubid 18984	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (0g‘𝑅))
43	13, 16, 42	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (0g‘𝑅))
44	28, 40, 43	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))) = (0g‘𝑅))
45	44	oveq1d 7432	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)))
46	6, 7	rngcl 20108	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
47	2, 10, 24, 46	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
48	6, 25, 41, 13, 47	grplidd 18930	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)) = ( 1 · 𝐴))
49	30	oveqd 7434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐴) = ( 1 (.r‘𝐽)𝐴))
50	49	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) = ( 1 (.r‘𝐽)𝐴))
51	5	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ Ring)
52	3, 4, 33	2idlbas 21161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
53	52	eqcomd 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Base‘𝐽))
54	53	eleq2d 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)))
55	54	biimpa 475	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐽))
56	33, 34, 8, 51, 55	ringlidmd 20212	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ( 1 (.r‘𝐽)𝐴) = 𝐴)
57	56	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝐽)𝐴) = 𝐴)
58	48, 50, 57	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)) = 𝐴)
59	27, 45, 58	3eqtrd 2769	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3945  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  Basecbs 17179   ↾_s cress 17208  +_gcplusg 17232  ._rcmulr 17233  0_gc0g 17420  Grpcgrp 18894  -_gcsg 18896  Rngcrng 20096  1_rcur 20125  Ringcrg 20177  2Idealc2idl 21147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-subrng 20487  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-2idl 21148

This theorem is referenced by:  rngqiprngimfo  21195