Theorem rngqiprngimfolem 21053

Description: Lemma for rngqiprngimfo 21064. (Contributed by AV, 5-Mar-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimfolem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem rngqiprngimfolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2	1	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
3		rng2idlring.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4		rng2idlring.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5		rng2idlring.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
6		rng2idlring.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rng2idlring.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		rng2idlring.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
9	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8	rngqiprng1elbas 21049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
10	9	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
11		rnggrp 20056	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
12	1, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
13	12	3ad2ant1 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
14		simp3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
15	6, 7	rngcl 20062	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵)
16	2, 10, 14, 15	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵)
17		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
18	6, 17	grpsubcl 18943	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
19	13, 14, 16, 18	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
20		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
21	6, 20	2idlss 21021	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
22	3, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
23	22	sselda 3982	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐵)
24	23	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
25		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
26	6, 25, 7	rngdi 20058	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = (( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)))
27	2, 10, 19, 24, 26	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = (( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)))
28	6, 7, 17, 2, 10, 14, 16	rngsubdi 20069	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))) = (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · ( 1 · 𝐶))))
29	4, 7	ressmulr 17259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r‘𝐽))
30	3, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐽))
31	30	oveqd 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 (.r‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
32	31	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 (.r‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
33		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
34		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
35	5	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐽 ∈ Ring)
36	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8	rngqiprngghmlem1 21050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ (Base‘𝐽))
37	36	3adant2 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ (Base‘𝐽))
38	33, 34, 8, 35, 37	ringlidmd 20164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝐽)( 1 · 𝐶)) = ( 1 · 𝐶))
39	32, 38	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 · 𝐶))
40	39	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · ( 1 · 𝐶))) = (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))
41		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
42	6, 41, 17	grpsubid 18947	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (0g‘𝑅))
43	13, 16, 42	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (0g‘𝑅))
44	28, 40, 43	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))) = (0g‘𝑅))
45	44	oveq1d 7427	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)))
46	6, 7	rngcl 20062	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
47	2, 10, 24, 46	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
48	6, 25, 41, 13, 47	grplidd 18894	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)) = ( 1 · 𝐴))
49	30	oveqd 7429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐴) = ( 1 (.r‘𝐽)𝐴))
50	49	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) = ( 1 (.r‘𝐽)𝐴))
51	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ Ring)
52	3, 4, 33	2idlbas 21022	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
53	52	eqcomd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Base‘𝐽))
54	53	eleq2d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)))
55	54	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐽))
56	33, 34, 8, 51, 55	ringlidmd 20164	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ( 1 (.r‘𝐽)𝐴) = 𝐴)
57	56	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝐽)𝐴) = 𝐴)
58	48, 50, 57	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)) = 𝐴)
59	27, 45, 58	3eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151   ↾_s cress 17180  +_gcplusg 17204  ._rcmulr 17205  0_gc0g 17392  Grpcgrp 18858  -_gcsg 18860  Rngcrng 20050  1_rcur 20079  Ringcrg 20131  2Idealc2idl 21009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-0g 17394  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-subg 19043  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-oppr 20229  df-subrng 20438  df-lss 20691  df-sra 20934  df-rgmod 20935  df-lidl 20936  df-2idl 21010

This theorem is referenced by:  rngqiprngimfo  21064