Theorem rngqiprngimfolem 21284

Description: Lemma for rngqiprngimfo 21295. (Contributed by AV, 5-Mar-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngimfolem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem rngqiprngimfolem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2	1	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
3		rng2idlring.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4		rng2idlring.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5		rng2idlring.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
6		rng2idlring.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rng2idlring.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		rng2idlring.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
9	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8	rngqiprng1elbas 21280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
10	9	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
11		rnggrp 20134	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
12	1, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
13	12	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
14		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
15	6, 7	rngcl 20140	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵)
16	2, 10, 14, 15	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵)
17		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
18	6, 17	grpsubcl 18991	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐶 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
19	13, 14, 16, 18	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵)
20		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
21	6, 20	2idlss 21256	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
22	3, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐵)
23	22	sselda 3922	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐵)
24	23	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
25		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
26	6, 25, 7	rngdi 20136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = (( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)))
27	2, 10, 19, 24, 26	syl13anc 1375	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = (( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)))
28	6, 7, 17, 2, 10, 14, 16	rngsubdi 20147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))) = (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · ( 1 · 𝐶))))
29	4, 7	ressmulr 17265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r‘𝐽))
30	3, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐽))
31	30	oveqd 7379	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 (.r‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
32	31	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 (.r‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
33		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
34		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
35	5	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐽 ∈ Ring)
36	1, 3, 4, 5, 6, 7, 8	rngqiprngghmlem1 21281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ (Base‘𝐽))
37	36	3adant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐶) ∈ (Base‘𝐽))
38	33, 34, 8, 35, 37	ringlidmd 20248	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝐽)( 1 · 𝐶)) = ( 1 · 𝐶))
39	32, 38	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ( 1 · 𝐶)) = ( 1 · 𝐶))
40	39	oveq2d 7378	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · ( 1 · 𝐶))) = (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))
41		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
42	6, 41, 17	grpsubid 18995	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 · 𝐶) ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (0g‘𝑅))
43	13, 16, 42	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐶)(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (0g‘𝑅))
44	28, 40, 43	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))) = (0g‘𝑅))
45	44	oveq1d 7377	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (( 1 · (𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)) = ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)))
46	6, 7	rngcl 20140	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
47	2, 10, 24, 46	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) ∈ 𝐵)
48	6, 25, 41, 13, 47	grplidd 18940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)) = ( 1 · 𝐴))
49	30	oveqd 7379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐴) = ( 1 (.r‘𝐽)𝐴))
50	49	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐴) = ( 1 (.r‘𝐽)𝐴))
51	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐽 ∈ Ring)
52	3, 4, 33	2idlbas 21257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
53	52	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Base‘𝐽))
54	53	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ (Base‘𝐽)))
55	54	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ (Base‘𝐽))
56	33, 34, 8, 51, 55	ringlidmd 20248	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ( 1 (.r‘𝐽)𝐴) = 𝐴)
57	56	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝐽)𝐴) = 𝐴)
58	48, 50, 57	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐴)) = 𝐴)
59	27, 45, 58	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → ( 1 · ((𝐶(-g‘𝑅)( 1 · 𝐶))(+g‘𝑅)𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216  0_gc0g 17397  Grpcgrp 18904  -_gcsg 18906  Rngcrng 20128  1_rcur 20157  Ringcrg 20209  2Idealc2idl 21243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20312  df-subrng 20518  df-lss 20922  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-lidl 21202  df-2idl 21244

This theorem is referenced by:  rngqiprngimfo  21295