MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngqiprngimfolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngqiprngimfolem 21169
Description: Lemma for rngqiprngimfo 21180. (Contributed by AV, 5-Mar-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idlring.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
rng2idlring.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
rng2idlring.u (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rng2idlring.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rng2idlring.1 1 = (1rβ€˜π½)
Assertion
Ref Expression
rngqiprngimfolem ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· ((𝐢(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢))(+gβ€˜π‘…)𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem rngqiprngimfolem
StepHypRef Expression
1 rng2idlring.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
213ad2ant1 1131 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Rng)
3 rng2idlring.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
4 rng2idlring.j . . . . 5 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
5 rng2idlring.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
6 rng2idlring.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
7 rng2idlring.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
8 rng2idlring.1 . . . . 5 1 = (1rβ€˜π½)
91, 3, 4, 5, 6, 7, 8rngqiprng1elbas 21165 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐡)
1093ad2ant1 1131 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 1 ∈ 𝐡)
11 rnggrp 20089 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng β†’ 𝑅 ∈ Grp)
121, 11syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
13123ad2ant1 1131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
14 simp3 1136 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ 𝐡)
156, 7rngcl 20095 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)
162, 10, 14, 15syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝐢) ∈ 𝐡)
17 eqid 2727 . . . . 5 (-gβ€˜π‘…) = (-gβ€˜π‘…)
186, 17grpsubcl 18967 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐢 ∈ 𝐡 ∧ ( 1 Β· 𝐢) ∈ 𝐡) β†’ (𝐢(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢)) ∈ 𝐡)
1913, 14, 16, 18syl3anc 1369 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (𝐢(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢)) ∈ 𝐡)
20 eqid 2727 . . . . . . 7 (2Idealβ€˜π‘…) = (2Idealβ€˜π‘…)
216, 202idlss 21145 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
223, 21syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† 𝐡)
2322sselda 3978 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
24233adant3 1130 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
25 eqid 2727 . . . 4 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
266, 25, 7rngdi 20091 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐡 ∧ (𝐢(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢)) ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡)) β†’ ( 1 Β· ((𝐢(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢))(+gβ€˜π‘…)𝐴)) = (( 1 Β· (𝐢(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢)))(+gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐴)))
272, 10, 19, 24, 26syl13anc 1370 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· ((𝐢(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢))(+gβ€˜π‘…)𝐴)) = (( 1 Β· (𝐢(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢)))(+gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐴)))
286, 7, 17, 2, 10, 14, 16rngsubdi 20102 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· (𝐢(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢))) = (( 1 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· ( 1 Β· 𝐢))))
294, 7ressmulr 17279 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) β†’ Β· = (.rβ€˜π½))
303, 29syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π½))
3130oveqd 7431 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· ( 1 Β· 𝐢)) = ( 1 (.rβ€˜π½)( 1 Β· 𝐢)))
32313ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· ( 1 Β· 𝐢)) = ( 1 (.rβ€˜π½)( 1 Β· 𝐢)))
33 eqid 2727 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π½) = (Baseβ€˜π½)
34 eqid 2727 . . . . . . 7 (.rβ€˜π½) = (.rβ€˜π½)
3553ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ 𝐽 ∈ Ring)
361, 3, 4, 5, 6, 7, 8rngqiprngghmlem1 21166 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝐢) ∈ (Baseβ€˜π½))
37363adant2 1129 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝐢) ∈ (Baseβ€˜π½))
3833, 34, 8, 35, 37ringlidmd 20197 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 (.rβ€˜π½)( 1 Β· 𝐢)) = ( 1 Β· 𝐢))
3932, 38eqtrd 2767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· ( 1 Β· 𝐢)) = ( 1 Β· 𝐢))
4039oveq2d 7430 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (( 1 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· ( 1 Β· 𝐢))) = (( 1 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢)))
41 eqid 2727 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
426, 41, 17grpsubid 18971 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 Β· 𝐢) ∈ 𝐡) β†’ (( 1 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢)) = (0gβ€˜π‘…))
4313, 16, 42syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (( 1 Β· 𝐢)(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢)) = (0gβ€˜π‘…))
4428, 40, 433eqtrd 2771 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· (𝐢(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢))) = (0gβ€˜π‘…))
4544oveq1d 7429 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ (( 1 Β· (𝐢(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢)))(+gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐴)) = ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐴)))
466, 7rngcl 20095 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
472, 10, 24, 46syl3anc 1369 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
486, 25, 41, 13, 47grplidd 18917 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐴)) = ( 1 Β· 𝐴))
4930oveqd 7431 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 𝐴) = ( 1 (.rβ€˜π½)𝐴))
50493ad2ant1 1131 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝐴) = ( 1 (.rβ€˜π½)𝐴))
515adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ 𝐽 ∈ Ring)
523, 4, 332idlbas 21146 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π½) = 𝐼)
5352eqcomd 2733 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 = (Baseβ€˜π½))
5453eleq2d 2814 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ 𝐼 ↔ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π½)))
5554biimpa 476 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π½))
5633, 34, 8, 51, 55ringlidmd 20197 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ ( 1 (.rβ€˜π½)𝐴) = 𝐴)
57563adant3 1130 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 (.rβ€˜π½)𝐴) = 𝐴)
5848, 50, 573eqtrd 2771 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐴)) = 𝐴)
5927, 45, 583eqtrd 2771 1 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐼 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· ((𝐢(-gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢))(+gβ€˜π‘…)𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3944  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171   β†Ύs cress 17200  +gcplusg 17224  .rcmulr 17225  0gc0g 17412  Grpcgrp 18881  -gcsg 18883  Rngcrng 20083  1rcur 20112  Ringcrg 20164  2Idealc2idl 21132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-subrng 20472  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-2idl 21133
This theorem is referenced by:  rngqiprngimfo  21180
  Copyright terms: Public domain W3C validator