Nearby theorems
|
|
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > rngrz | Structured version Visualization version GIF version | ||
| Description: The zero of a non-unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) Generalization of ringrz 20229. (Revised by AV, 16-Feb-2025.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| rngcl.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
| rngcl.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
| rnglz.z | โข 0 = (0gโ๐ ) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| rngrz | โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | rnggrp 20097 | . . . . . 6 โข (๐ โ Rng โ ๐ โ Grp) | |
| 2 | rngcl.b | . . . . . . 7 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
| 3 | rnglz.z | . . . . . . 7 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
| 4 | 2, 3 | grpidcl 18921 | . . . . . 6 โข (๐ โ Grp โ 0 โ ๐ต) |
| 5 | eqid 2728 | . . . . . . 7 โข (+gโ๐ ) = (+gโ๐ ) | |
| 6 | 2, 5, 3 | grplid 18923 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Grp โง 0 โ ๐ต) โ ( 0 (+gโ๐ ) 0 ) = 0 ) |
| 7 | 1, 4, 6 | syl2anc2 584 | . . . . 5 โข (๐ โ Rng โ ( 0 (+gโ๐ ) 0 ) = 0 ) |
| 8 | 7 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ ( 0 (+gโ๐ ) 0 ) = 0 ) |
| 9 | 8 | oveq2d 7436 | . . 3 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ( 0 (+gโ๐ ) 0 )) = (๐ ยท 0 )) |
| 10 | simpr 484 | . . . . 5 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
| 11 | 2, 3 | rng0cl 20102 | . . . . . 6 โข (๐ โ Rng โ 0 โ ๐ต) |
| 12 | 11 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ 0 โ ๐ต) |
| 13 | 10, 12, 12 | 3jca 1126 | . . . 4 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ ๐ต โง 0 โ ๐ต โง 0 โ ๐ต)) |
| 14 | rngcl.t | . . . . 5 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
| 15 | 2, 5, 14 | rngdi 20099 | . . . 4 โข ((๐ โ Rng โง (๐ โ ๐ต โง 0 โ ๐ต โง 0 โ ๐ต)) โ (๐ ยท ( 0 (+gโ๐ ) 0 )) = ((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 16 | 13, 15 | syldan 590 | . . 3 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ( 0 (+gโ๐ ) 0 )) = ((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 17 | 1 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ Grp) |
| 18 | 2, 14 | rngcl 20103 | . . . . 5 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต โง 0 โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) โ ๐ต) |
| 19 | 12, 18 | mpd3an3 1459 | . . . 4 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) โ ๐ต) |
| 20 | 2, 5, 3 | grplid 18923 | . . . . 5 โข ((๐ โ Grp โง (๐ ยท 0 ) โ ๐ต) โ ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) = (๐ ยท 0 )) |
| 21 | 20 | eqcomd 2734 | . . . 4 โข ((๐ โ Grp โง (๐ ยท 0 ) โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 22 | 17, 19, 21 | syl2anc 583 | . . 3 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 23 | 9, 16, 22 | 3eqtr3d 2776 | . 2 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 24 | 2, 5 | grprcan 18929 | . . 3 โข ((๐ โ Grp โง ((๐ ยท 0 ) โ ๐ต โง 0 โ ๐ต โง (๐ ยท 0 ) โ ๐ต)) โ (((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) โ (๐ ยท 0 ) = 0 )) |
| 25 | 17, 19, 12, 19, 24 | syl13anc 1370 | . 2 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ (((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) โ (๐ ยท 0 ) = 0 )) |
| 26 | 23, 25 | mpbid 231 | 1 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 โcfv 6548 (class class class)co 7420 Basecbs 17179 +gcplusg 17232 .rcmulr 17233 0gc0g 17420 Grpcgrp 18889 Rngcrng 20091 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7871 df-2nd 7994 df-frecs 8286 df-wrecs 8317 df-recs 8391 df-rdg 8430 df-er 8724 df-en 8964 df-dom 8965 df-sdom 8966 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-nn 12243 df-2 12305 df-sets 17132 df-slot 17150 df-ndx 17162 df-base 17180 df-plusg 17245 df-0g 17422 df-mgm 18599 df-sgrp 18678 df-mnd 18694 df-grp 18892 df-abl 19737 df-mgp 20074 df-rng 20092 |
| This theorem is referenced by: rngmneg2 20107 ringrz 20229 cntzsubrng 20503 rnglidl0 21124 |
| Copyright terms: Public domain | W3C validator |