Theorem rngrz 20142

Description: The zero of a non-unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) Generalization of ringrz 20270. (Revised by AV, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rnglz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rngrz	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem rngrz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnggrp 20134	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
2		rngcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rnglz.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 18936	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6	2, 5, 3	grplid 18938	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
7	1, 4, 6	syl2anc2 592	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
8	7	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
9	8	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g‘𝑅) 0 )) = (𝑋 · 0 ))
10		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	2, 3	rng0cl 20139	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 0 ∈ 𝐵)
12	11	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
13	10, 12, 12	3jca 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵))
14		rngcl.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
15	2, 5, 14	rngdi 20136	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · ( 0 (+g‘𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
16	13, 15	syldan 598	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g‘𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
17	1	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
18	2, 14	rngcl 20140	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
19	12, 18	mpd3an3 1471	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
20	2, 5, 3	grplid 18938	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) = (𝑋 · 0 ))
21	20	eqcomd 2747	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
22	17, 19, 21	syl2anc 591	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
23	9, 16, 22	3eqtr3d 2784	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
24	2, 5	grprcan 18944	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
25	17, 19, 12, 19, 24	syl13anc 1381	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
26	23, 25	mpbid 234	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  ._rcmulr 17216  0_gc0g 17397  Grpcgrp 18904  Rngcrng 20128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129

This theorem is referenced by:  rngmneg2  20144  ringrz  20270  cntzsubrng  20543  rnglidl0  21226