MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngrz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngrz 20113
Description: The zero of a non-unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) Generalization of ringrz 20237. (Revised by AV, 16-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngcl.t · = (.r𝑅)
rnglz.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
rngrz ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem rngrz
StepHypRef Expression
1 rnggrp 20105 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
2 rngcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rnglz.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
42, 3grpidcl 18929 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
5 eqid 2728 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
62, 5, 3grplid 18931 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
71, 4, 6syl2anc2 583 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
87adantr 479 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
98oveq2d 7442 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = (𝑋 · 0 ))
10 simpr 483 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
112, 3rng0cl 20110 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → 0𝐵)
1211adantr 479 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
1310, 12, 123jca 1125 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐵0𝐵0𝐵))
14 rngcl.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
152, 5, 14rngdi 20107 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋𝐵0𝐵0𝐵)) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
1613, 15syldan 589 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
171adantr 479 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
182, 14rngcl 20111 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
1912, 18mpd3an3 1458 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
202, 5, 3grplid 18931 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = (𝑋 · 0 ))
2120eqcomd 2734 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
2217, 19, 21syl2anc 582 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
239, 16, 223eqtr3d 2776 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
242, 5grprcan 18937 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵0𝐵 ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
2517, 19, 12, 19, 24syl13anc 1369 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
2623, 25mpbid 231 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  .rcmulr 17241  0gc0g 17428  Grpcgrp 18897  Rngcrng 20099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100
This theorem is referenced by:  rngmneg2  20115  ringrz  20237  cntzsubrng  20511  rnglidl0  21132
  Copyright terms: Public domain W3C validator