Theorem rngrz 20415

Description: The zero of a non-unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) Generalization of ringrz 20552. (Revised by AV, 16-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rnglz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rngrz	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem rngrz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnggrp 20407	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
2		rngcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rnglz.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 19202	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6	2, 5, 3	grplid 19204	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
7	1, 4, 6	syl2anc2 597	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅) 0 ) = 0 )
9	8	oveq2d 7456	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g‘𝑅) 0 )) = (𝑋 · 0 ))
10		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	2, 3	rng0cl 20412	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 0 ∈ 𝐵)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
13	10, 12, 12	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵))
14		rngcl.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
15	2, 5, 14	rngdi 20409	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · ( 0 (+g‘𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
16	13, 15	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g‘𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
17	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
18	2, 14	rngcl 20413	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
19	12, 18	mpd3an3 1492	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
20	2, 5, 3	grplid 19204	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) = (𝑋 · 0 ))
21	20	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
22	17, 19, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
23	9, 16, 22	3eqtr3d 2806	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )))
24	2, 5	grprcan 19210	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
25	17, 19, 12, 19, 24	syl13anc 1400	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((𝑋 · 0 )(+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g‘𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
26	23, 25	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  ._rcmulr 17455  0_gc0g 17636  Grpcgrp 19170  Rngcrng 20401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402

This theorem is used by:  rngmneg2  20417  ringrz  20552  cntzsubrng  20846  rnglidl0  21536