Nearby theorems
|
|
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > rngrz | Structured version Visualization version GIF version | ||
| Description: The zero of a non-unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) Generalization of ringrz 20189. (Revised by AV, 16-Feb-2025.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| rngcl.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
| rngcl.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
| rnglz.z | โข 0 = (0gโ๐ ) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| rngrz | โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | rnggrp 20059 | . . . . . 6 โข (๐ โ Rng โ ๐ โ Grp) | |
| 2 | rngcl.b | . . . . . . 7 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
| 3 | rnglz.z | . . . . . . 7 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
| 4 | 2, 3 | grpidcl 18891 | . . . . . 6 โข (๐ โ Grp โ 0 โ ๐ต) |
| 5 | eqid 2724 | . . . . . . 7 โข (+gโ๐ ) = (+gโ๐ ) | |
| 6 | 2, 5, 3 | grplid 18893 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Grp โง 0 โ ๐ต) โ ( 0 (+gโ๐ ) 0 ) = 0 ) |
| 7 | 1, 4, 6 | syl2anc2 584 | . . . . 5 โข (๐ โ Rng โ ( 0 (+gโ๐ ) 0 ) = 0 ) |
| 8 | 7 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ ( 0 (+gโ๐ ) 0 ) = 0 ) |
| 9 | 8 | oveq2d 7418 | . . 3 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ( 0 (+gโ๐ ) 0 )) = (๐ ยท 0 )) |
| 10 | simpr 484 | . . . . 5 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) | |
| 11 | 2, 3 | rng0cl 20064 | . . . . . 6 โข (๐ โ Rng โ 0 โ ๐ต) |
| 12 | 11 | adantr 480 | . . . . 5 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ 0 โ ๐ต) |
| 13 | 10, 12, 12 | 3jca 1125 | . . . 4 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ ๐ต โง 0 โ ๐ต โง 0 โ ๐ต)) |
| 14 | rngcl.t | . . . . 5 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
| 15 | 2, 5, 14 | rngdi 20061 | . . . 4 โข ((๐ โ Rng โง (๐ โ ๐ต โง 0 โ ๐ต โง 0 โ ๐ต)) โ (๐ ยท ( 0 (+gโ๐ ) 0 )) = ((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 16 | 13, 15 | syldan 590 | . . 3 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ( 0 (+gโ๐ ) 0 )) = ((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 17 | 1 | adantr 480 | . . . 4 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ Grp) |
| 18 | 2, 14 | rngcl 20065 | . . . . 5 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต โง 0 โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) โ ๐ต) |
| 19 | 12, 18 | mpd3an3 1458 | . . . 4 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) โ ๐ต) |
| 20 | 2, 5, 3 | grplid 18893 | . . . . 5 โข ((๐ โ Grp โง (๐ ยท 0 ) โ ๐ต) โ ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) = (๐ ยท 0 )) |
| 21 | 20 | eqcomd 2730 | . . . 4 โข ((๐ โ Grp โง (๐ ยท 0 ) โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 22 | 17, 19, 21 | syl2anc 583 | . . 3 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 23 | 9, 16, 22 | 3eqtr3d 2772 | . 2 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 ))) |
| 24 | 2, 5 | grprcan 18899 | . . 3 โข ((๐ โ Grp โง ((๐ ยท 0 ) โ ๐ต โง 0 โ ๐ต โง (๐ ยท 0 ) โ ๐ต)) โ (((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) โ (๐ ยท 0 ) = 0 )) |
| 25 | 17, 19, 12, 19, 24 | syl13anc 1369 | . 2 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ (((๐ ยท 0 )(+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) = ( 0 (+gโ๐ )(๐ ยท 0 )) โ (๐ ยท 0 ) = 0 )) |
| 26 | 23, 25 | mpbid 231 | 1 โข ((๐ โ Rng โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท 0 ) = 0 ) |
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โcfv 6534 (class class class)co 7402 Basecbs 17149 +gcplusg 17202 .rcmulr 17203 0gc0g 17390 Grpcgrp 18859 Rngcrng 20053 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-om 7850 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-nn 12212 df-2 12274 df-sets 17102 df-slot 17120 df-ndx 17132 df-base 17150 df-plusg 17215 df-0g 17392 df-mgm 18569 df-sgrp 18648 df-mnd 18664 df-grp 18862 df-abl 19699 df-mgp 20036 df-rng 20054 |
| This theorem is referenced by: rngmneg2 20069 ringrz 20189 cntzsubrng 20463 rnglidl0 21084 |
| Copyright terms: Public domain | W3C validator |