MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngrz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngrz 20188
Description: The zero of a non-unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.) Generalization of ringrz 20312. (Revised by AV, 16-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngcl.t · = (.r𝑅)
rnglz.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
rngrz ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem rngrz
StepHypRef Expression
1 rnggrp 20180 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
2 rngcl.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rnglz.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
42, 3grpidcl 19000 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
5 eqid 2734 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
62, 5, 3grplid 19002 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
71, 4, 6syl2anc2 584 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
87adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
98oveq2d 7461 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = (𝑋 · 0 ))
10 simpr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
112, 3rng0cl 20185 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → 0𝐵)
1211adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
1310, 12, 123jca 1128 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐵0𝐵0𝐵))
14 rngcl.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
152, 5, 14rngdi 20182 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋𝐵0𝐵0𝐵)) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
1613, 15syldan 590 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
171adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
182, 14rngcl 20186 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
1912, 18mpd3an3 1462 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
202, 5, 3grplid 19002 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = (𝑋 · 0 ))
2120eqcomd 2740 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
2217, 19, 21syl2anc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
239, 16, 223eqtr3d 2782 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
242, 5grprcan 19008 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵0𝐵 ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
2517, 19, 12, 19, 24syl13anc 1372 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
2623, 25mpbid 232 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  cfv 6572  (class class class)co 7445  Basecbs 17253  +gcplusg 17306  .rcmulr 17307  0gc0g 17494  Grpcgrp 18968  Rngcrng 20174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-plusg 17319  df-0g 17496  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-grp 18971  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175
This theorem is referenced by:  rngmneg2  20190  ringrz  20312  cntzsubrng  20588  rnglidl0  21257
  Copyright terms: Public domain W3C validator