Theorem rngqiprngghmlem3 46754

Description: Lemma 3 for rngqiprngghm 46764. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngghmlem3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · (𝐴(+g‘𝑅)𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝐽)( 1 · 𝐶)))

Proof of Theorem rngqiprngghmlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
3		rng2idlring.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	ressbasss 17179	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐽) ⊆ 𝐵
5		rng2idlring.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
6		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
7		rng2idlring.1	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
8	6, 7	ringidcl 20076	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
9	5, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (Base‘𝐽))
10	4, 9	sselid 3979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
11	10	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
12		3anass 1095	. . . 4 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
13	11, 12	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
14		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
15		rng2idlring.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
16	3, 14, 15	rngdi 46645	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · (𝐴(+g‘𝑅)𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))
17	1, 13, 16	syl2an2r 683	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · (𝐴(+g‘𝑅)𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))
18		rng2idlring.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
19	2, 14	ressplusg 17231	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐽))
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐽))
21	20	oveqd 7422	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝐴)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
22	21	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
23	17, 22	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · (𝐴(+g‘𝑅)𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝐽)( 1 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  +_gcplusg 17193  ._rcmulr 17194  1_rcur 19998  Ringcrg 20049  2Idealc2idl 20848  Rngcrng 46634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-rng 46635

This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  46764