Theorem rngqiprngghmlem3 21586

Description: Lemma 3 for rngqiprngghm 21596. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngghmlem3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · (𝐴(+g‘𝑅)𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝐽)( 1 · 𝐶)))

Proof of Theorem rngqiprngghmlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		rng2idlring.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		rng2idlring.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		rng2idlring.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rngqiprng1elbas 21583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
9	8	anim1i 627	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
10		3anass 1111	. . . 4 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
11	9, 10	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
12		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
13	5, 12, 6	rngdi 20383	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · (𝐴(+g‘𝑅)𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))
14	1, 11, 13	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · (𝐴(+g‘𝑅)𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))
15	3, 12	ressplusg 17463	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐽))
16	2, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐽))
17	16	oveqd 7438	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝐴)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
18	17	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
19	14, 18	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · (𝐴(+g‘𝑅)𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝐽)( 1 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17388   ↾_s cress 17409  +_gcplusg 17429  ._rcmulr 17430  Rngcrng 20375  1_rcur 20408  Ringcrg 20460  2Idealc2idl 21543

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462

This theorem is used by:  rngqiprngghm  21596