Theorem rngqiprngghmlem3 21255

Description: Lemma 3 for rngqiprngghm 21265. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngghmlem3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · (𝐴(+g‘𝑅)𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝐽)( 1 · 𝐶)))

Proof of Theorem rngqiprngghmlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		rng2idlring.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		rng2idlring.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		rng2idlring.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rngqiprng1elbas 21252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
9	8	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
10		3anass 1094	. . . 4 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
11	9, 10	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
12		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
13	5, 12, 6	rngdi 20125	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · (𝐴(+g‘𝑅)𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))
14	1, 11, 13	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · (𝐴(+g‘𝑅)𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))
15	3, 12	ressplusg 17310	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐽))
16	2, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐽))
17	16	oveqd 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝐴)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
19	14, 18	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · (𝐴(+g‘𝑅)𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝐽)( 1 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277  Rngcrng 20117  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  2Idealc2idl 21215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200

This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21265