Theorem rngqiprngghmlem3 21052

Description: Lemma 3 for rngqiprngghm 21062. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngghmlem3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · (𝐴(+g‘𝑅)𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝐽)( 1 · 𝐶)))

Proof of Theorem rngqiprngghmlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlring.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlring.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rng2idlring.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		rng2idlring.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		rng2idlring.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		rng2idlring.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	rngqiprng1elbas 21049	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
9	8	anim1i 614	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
10		3anass 1094	. . . 4 ⊢ (( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
11	9, 10	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵))
12		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
13	5, 12, 6	rngdi 20058	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · (𝐴(+g‘𝑅)𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))
14	1, 11, 13	syl2an2r 682	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · (𝐴(+g‘𝑅)𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐶)))
15	3, 12	ressplusg 17242	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐽))
16	2, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝐽))
17	16	oveqd 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝐴)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
18	17	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 𝐴)(+g‘𝑅)( 1 · 𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝐽)( 1 · 𝐶)))
19	14, 18	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)) → ( 1 · (𝐴(+g‘𝑅)𝐶)) = (( 1 · 𝐴)(+g‘𝐽)( 1 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151   ↾_s cress 17180  +_gcplusg 17204  ._rcmulr 17205  Rngcrng 20050  1_rcur 20079  Ringcrg 20131  2Idealc2idl 21009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133

This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21062