MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngqiprngghmlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngqiprngghmlem3 21168
Description: Lemma 3 for rngqiprngghm 21178. (Contributed by AV, 25-Feb-2025.) (Proof shortened by AV, 24-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idlring.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
rng2idlring.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
rng2idlring.u (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rng2idlring.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rng2idlring.1 1 = (1rβ€˜π½)
Assertion
Ref Expression
rngqiprngghmlem3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ( 1 Β· (𝐴(+gβ€˜π‘…)𝐢)) = (( 1 Β· 𝐴)(+gβ€˜π½)( 1 Β· 𝐢)))

Proof of Theorem rngqiprngghmlem3
StepHypRef Expression
1 rng2idlring.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
2 rng2idlring.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
3 rng2idlring.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
4 rng2idlring.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
5 rng2idlring.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
6 rng2idlring.t . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
7 rng2idlring.1 . . . . . 6 1 = (1rβ€˜π½)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7rngqiprng1elbas 21165 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐡)
98anim1i 614 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ( 1 ∈ 𝐡 ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)))
10 3anass 1093 . . . 4 (( 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡) ↔ ( 1 ∈ 𝐡 ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)))
119, 10sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ( 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡))
12 eqid 2727 . . . 4 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
135, 12, 6rngdi 20091 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ( 1 Β· (𝐴(+gβ€˜π‘…)𝐢)) = (( 1 Β· 𝐴)(+gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢)))
141, 11, 13syl2an2r 684 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ( 1 Β· (𝐴(+gβ€˜π‘…)𝐢)) = (( 1 Β· 𝐴)(+gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢)))
153, 12ressplusg 17262 . . . . 5 (𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π½))
162, 15syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π½))
1716oveqd 7431 . . 3 (πœ‘ β†’ (( 1 Β· 𝐴)(+gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢)) = (( 1 Β· 𝐴)(+gβ€˜π½)( 1 Β· 𝐢)))
1817adantr 480 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 Β· 𝐴)(+gβ€˜π‘…)( 1 Β· 𝐢)) = (( 1 Β· 𝐴)(+gβ€˜π½)( 1 Β· 𝐢)))
1914, 18eqtrd 2767 1 ((πœ‘ ∧ (𝐴 ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ 𝐡)) β†’ ( 1 Β· (𝐴(+gβ€˜π‘…)𝐢)) = (( 1 Β· 𝐴)(+gβ€˜π½)( 1 Β· 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171   β†Ύs cress 17200  +gcplusg 17224  .rcmulr 17225  Rngcrng 20083  1rcur 20112  Ringcrg 20164  2Idealc2idl 21132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166
This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21178
  Copyright terms: Public domain W3C validator