Theorem rngsubdi 20146

Description: Ring multiplication distributes over subtraction. (subdi 11577 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) Generalization of ringsubdi 20282. (Revised by AV, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngsubdi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngsubdi.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngsubdi.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
rngsubdi.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngsubdi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngsubdi.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
rngsubdi.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngsubdi	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngsubdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngsubdi.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rngsubdi.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		rngsubdi.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		rngsubdi.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
6		rnggrp 20133	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
7	1, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		rngsubdi.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
9	4, 5, 7, 8	grpinvcld 18958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		rngsubdi.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
12	4, 10, 11	rngdi 20135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((invg‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)) → (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍))))
13	1, 2, 3, 9, 12	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍))))
14	4, 11, 5, 1, 2, 8	rngmneg2 20143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍)) = ((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍)))
15	14	oveq2d 7377	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)(𝑋 · ((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
16	13, 15	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
17		rngsubdi.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
18	4, 10, 5, 17	grpsubval 18955	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍)))
19	3, 8, 18	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍)))
20	19	oveq2d 7377	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 − 𝑍)) = (𝑋 · (𝑌(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘𝑍))))
21	4, 11	rngcl 20139	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
22	1, 2, 3, 21	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
23	4, 11	rngcl 20139	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
24	1, 2, 8, 23	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
25	4, 10, 5, 17	grpsubval 18955	. . 3 ⊢ (((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
26	22, 24, 25	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝑋 · 𝑍))))
27	16, 20, 26	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 − 𝑍)) = ((𝑋 · 𝑌) − (𝑋 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  ._rcmulr 17215  Grpcgrp 18903  inv_gcminusg 18904  -_gcsg 18905  Rngcrng 20127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128

This theorem is referenced by:  ringsubdi  20282  2idlcpblrng  21264  rngqiprngimfolem  21283  rngqiprngfulem5  21308