Theorem rngmneg2 20053

Description: Negation of a product in a non-unital ring (mulneg2 11591 analog). In contrast to ringmneg2 20190, the proof does not (and cannot) make use of the existence of a ring unity. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
rngneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngmneg2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem rngmneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngneglmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		rngneglmul.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
5		rngneglmul.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
6		rnggrp 20043	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		rngneglmul.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	grplinvd 18902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌) = (0g‘𝑅))
10	9	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
11		rngneglmul.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		rngneglmul.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	1, 12, 3	rngrz 20051	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
14	5, 11, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
15	10, 14	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (0g‘𝑅))
16	1, 12	rngcl 20049	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 11, 8, 16	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
18	1, 4, 7, 8	grpinvcld 18896	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
19	1, 12	rngcl 20049	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
20	5, 11, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 3, 4	grpinvid2 18900	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
22	7, 17, 20, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
23	1, 2, 12	rngdi 20045	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)))
24	23	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)))
25	5, 11, 18, 8, 24	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)))
26	25	eqeq1d 2731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (0g‘𝑅)))
27	22, 26	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ↔ (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (0g‘𝑅)))
28	15, 27	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)))
29	28	eqcomd 2735	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17378  Grpcgrp 18841  inv_gcminusg 18842  Rngcrng 20037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038

This theorem is referenced by:  rngm2neg  20054  rngsubdi  20056  cntzsubrng  20452