Theorem rngmneg2 20079

Description: Negation of a product in a non-unital ring (mulneg2 11546 analog). In contrast to ringmneg2 20216, the proof does not (and cannot) make use of the existence of a ring unity. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
rngneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngmneg2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem rngmneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngneglmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		rngneglmul.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
5		rngneglmul.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
6		rnggrp 20069	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		rngneglmul.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	grplinvd 18899	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌) = (0g‘𝑅))
10	9	oveq2d 7357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
11		rngneglmul.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		rngneglmul.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	1, 12, 3	rngrz 20077	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
14	5, 11, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
15	10, 14	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (0g‘𝑅))
16	1, 12	rngcl 20075	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 11, 8, 16	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
18	1, 4, 7, 8	grpinvcld 18893	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
19	1, 12	rngcl 20075	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
20	5, 11, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 3, 4	grpinvid2 18897	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
22	7, 17, 20, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
23	1, 2, 12	rngdi 20071	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)))
24	23	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)))
25	5, 11, 18, 8, 24	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)))
26	25	eqeq1d 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (0g‘𝑅)))
27	22, 26	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ↔ (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (0g‘𝑅)))
28	15, 27	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)))
29	28	eqcomd 2736	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  ._rcmulr 17154  0_gc0g 17335  Grpcgrp 18838  inv_gcminusg 18839  Rngcrng 20063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-plusg 17166  df-0g 17337  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064

This theorem is referenced by:  rngm2neg  20080  rngsubdi  20082  cntzsubrng  20475