MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngmneg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngmneg2 20112
Description: Negation of a product in a non-unital ring (mulneg2 11681 analog). In contrast to ringmneg2 20245, the proof does not (and cannot) make use of the existence of a ring unity. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rngneglmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
rngneglmul.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
rngneglmul.n ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
rngneglmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
rngneglmul.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
rngneglmul.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
rngmneg2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ)) = (๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))

Proof of Theorem rngmneg2
StepHypRef Expression
1 rngneglmul.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2 eqid 2725 . . . . . 6 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
3 eqid 2725 . . . . . 6 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
4 rngneglmul.n . . . . . 6 ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
5 rngneglmul.r . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Rng)
6 rnggrp 20102 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Rng โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
8 rngneglmul.y . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
91, 2, 3, 4, 7, 8grplinvd 18955 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)๐‘Œ) = (0gโ€˜๐‘…))
109oveq2d 7432 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ((๐‘โ€˜๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)๐‘Œ)) = (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)))
11 rngneglmul.x . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
12 rngneglmul.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
131, 12, 3rngrz 20110 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
145, 11, 13syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
1510, 14eqtrd 2765 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ((๐‘โ€˜๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…))
161, 12rngcl 20108 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
175, 11, 8, 16syl3anc 1368 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
181, 4, 7, 8grpinvcld 18949 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
191, 12rngcl 20108 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต)
205, 11, 18, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต)
211, 2, 3, 4grpinvid2 18953 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ)) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ)) โ†” ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…)))
227, 17, 20, 21syl3anc 1368 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ)) โ†” ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…)))
231, 2, 12rngdi 20104 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹ ยท ((๐‘โ€˜๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)๐‘Œ)) = ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
2423eqcomd 2731 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Rng โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘โ€˜๐‘Œ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (๐‘‹ ยท ((๐‘โ€˜๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)๐‘Œ)))
255, 11, 18, 8, 24syl13anc 1369 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (๐‘‹ ยท ((๐‘โ€˜๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)๐‘Œ)))
2625eqeq1d 2727 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ))(+gโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…) โ†” (๐‘‹ ยท ((๐‘โ€˜๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…)))
2722, 26bitrd 278 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ)) โ†” (๐‘‹ ยท ((๐‘โ€˜๐‘Œ)(+gโ€˜๐‘…)๐‘Œ)) = (0gโ€˜๐‘…)))
2815, 27mpbird 256 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)) = (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ)))
2928eqcomd 2731 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ)) = (๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  0gc0g 17420  Grpcgrp 18894  invgcminusg 18895  Rngcrng 20096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097
This theorem is referenced by:  rngm2neg  20113  rngsubdi  20115  cntzsubrng  20508
  Copyright terms: Public domain W3C validator