MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngqiprngfulem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngqiprngfulem5 21325
Description: Lemma 5 for rngqiprngfu 21327. (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rngqiprngfu.r (𝜑𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
rngqiprngfu.u (𝜑𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t · = (.r𝑅)
rngqiprngfu.1 1 = (1r𝐽)
rngqiprngfu.g = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q 𝑄 = (𝑅 /s )
rngqiprngfu.v (𝜑𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e (𝜑𝐸 ∈ (1r𝑄))
rngqiprngfu.m = (-g𝑅)
rngqiprngfu.a + = (+g𝑅)
rngqiprngfu.n 𝑈 = ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )
Assertion
Ref Expression
rngqiprngfulem5 (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = 1 )

Proof of Theorem rngqiprngfulem5
StepHypRef Expression
1 rngqiprngfu.n . . . 4 𝑈 = ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )
21oveq2i 7442 . . 3 ( 1 · 𝑈) = ( 1 · ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 ))
32a1i 11 . 2 (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = ( 1 · ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )))
4 rngqiprngfu.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Rng)
5 rngqiprngfu.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
6 rngqiprngfu.j . . . . 5 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
7 rngqiprngfu.u . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Ring)
8 rngqiprngfu.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 rngqiprngfu.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
10 rngqiprngfu.1 . . . . 5 1 = (1r𝐽)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10rngqiprng1elbas 21296 . . . 4 (𝜑1𝐵)
12 rnggrp 20155 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
134, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
14 rngqiprngfu.g . . . . . 6 = (𝑅 ~QG 𝐼)
15 rngqiprngfu.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑅 /s )
16 rngqiprngfu.v . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ Ring)
17 rngqiprngfu.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (1r𝑄))
184, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 17rngqiprngfulem2 21322 . . . . 5 (𝜑𝐸𝐵)
198, 9rngcl 20161 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1𝐵𝐸𝐵) → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
204, 11, 18, 19syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
21 rngqiprngfu.m . . . . . 6 = (-g𝑅)
228, 21grpsubcl 19038 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐸𝐵 ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (𝐸 ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
2313, 18, 20, 22syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
24 rngqiprngfu.a . . . . 5 + = (+g𝑅)
258, 24, 9rngdi 20157 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1𝐵 ∧ (𝐸 ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵1𝐵)) → ( 1 · ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = (( 1 · (𝐸 ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )))
264, 11, 23, 11, 25syl13anc 1374 . . 3 (𝜑 → ( 1 · ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = (( 1 · (𝐸 ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )))
278, 9, 21, 4, 11, 18, 20rngsubdi 20168 . . . . 5 (𝜑 → ( 1 · (𝐸 ( 1 · 𝐸))) = (( 1 · 𝐸) ( 1 · ( 1 · 𝐸))))
288, 9rngass 20156 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1𝐵1𝐵𝐸𝐵)) → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · ( 1 · 𝐸)))
294, 11, 11, 18, 28syl13anc 1374 . . . . . . 7 (𝜑 → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · ( 1 · 𝐸)))
306, 9ressmulr 17351 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r𝐽))
315, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑· = (.r𝐽))
3231oveqd 7448 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 1 · 1 ) = ( 1 (.r𝐽) 1 ))
33 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
3433, 10ringidcl 20262 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
35 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (.r𝐽) = (.r𝐽)
3633, 35, 10ringlidm 20266 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽)) → ( 1 (.r𝐽) 1 ) = 1 )
377, 34, 36syl2anc2 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 1 (.r𝐽) 1 ) = 1 )
3832, 37eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( 1 · 1 ) = 1 )
3938oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · 𝐸))
4029, 39eqtr3d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → ( 1 · ( 1 · 𝐸)) = ( 1 · 𝐸))
4140oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (( 1 · 𝐸) ( 1 · ( 1 · 𝐸))) = (( 1 · 𝐸) ( 1 · 𝐸)))
42 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
438, 42, 21grpsubid 19042 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐸) ( 1 · 𝐸)) = (0g𝑅))
4413, 20, 43syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (( 1 · 𝐸) ( 1 · 𝐸)) = (0g𝑅))
4527, 41, 443eqtrd 2781 . . . 4 (𝜑 → ( 1 · (𝐸 ( 1 · 𝐸))) = (0g𝑅))
4645, 38oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → (( 1 · (𝐸 ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )) = ((0g𝑅) + 1 ))
4726, 46eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → ( 1 · ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = ((0g𝑅) + 1 ))
488, 24, 42, 13, 11grplidd 18987 . 2 (𝜑 → ((0g𝑅) + 1 ) = 1 )
493, 47, 483eqtrd 2781 1 (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  s cress 17274  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484   /s cqus 17550  Grpcgrp 18951  -gcsg 18953   ~QG cqg 19140  Rngcrng 20149  1rcur 20178  Ringcrg 20230  2Idealc2idl 21259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-eqg 19143  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-2idl 21260
This theorem is referenced by:  rngqiprngfu  21327
  Copyright terms: Public domain W3C validator