MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngqiprngfulem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngqiprngfulem5 21204
Description: Lemma 5 for rngqiprngfu 21206. (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rngqiprngfu.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
rngqiprngfu.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
rngqiprngfu.u (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rngqiprngfu.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rngqiprngfu.1 1 = (1rβ€˜π½)
rngqiprngfu.g ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (1rβ€˜π‘„))
rngqiprngfu.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘…)
rngqiprngfu.a + = (+gβ€˜π‘…)
rngqiprngfu.n π‘ˆ = ((𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) + 1 )
Assertion
Ref Expression
rngqiprngfulem5 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· π‘ˆ) = 1 )

Proof of Theorem rngqiprngfulem5
StepHypRef Expression
1 rngqiprngfu.n . . . 4 π‘ˆ = ((𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) + 1 )
21oveq2i 7424 . . 3 ( 1 Β· π‘ˆ) = ( 1 Β· ((𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) + 1 ))
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· π‘ˆ) = ( 1 Β· ((𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) + 1 )))
4 rngqiprngfu.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
5 rngqiprngfu.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
6 rngqiprngfu.j . . . . 5 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
7 rngqiprngfu.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
8 rngqiprngfu.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
9 rngqiprngfu.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
10 rngqiprngfu.1 . . . . 5 1 = (1rβ€˜π½)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10rngqiprng1elbas 21175 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐡)
12 rnggrp 20097 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng β†’ 𝑅 ∈ Grp)
134, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
14 rngqiprngfu.g . . . . . 6 ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
15 rngqiprngfu.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
16 rngqiprngfu.v . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ Ring)
17 rngqiprngfu.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (1rβ€˜π‘„))
184, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 17rngqiprngfulem2 21201 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐡)
198, 9rngcl 20103 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝐸 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝐸) ∈ 𝐡)
204, 11, 18, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 𝐸) ∈ 𝐡)
21 rngqiprngfu.m . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘…)
228, 21grpsubcl 18975 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ 𝐡 ∧ ( 1 Β· 𝐸) ∈ 𝐡) β†’ (𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) ∈ 𝐡)
2313, 18, 20, 22syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) ∈ 𝐡)
24 rngqiprngfu.a . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘…)
258, 24, 9rngdi 20099 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐡 ∧ (𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) ∈ 𝐡 ∧ 1 ∈ 𝐡)) β†’ ( 1 Β· ((𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) + 1 )) = (( 1 Β· (𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸))) + ( 1 Β· 1 )))
264, 11, 23, 11, 25syl13anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· ((𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) + 1 )) = (( 1 Β· (𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸))) + ( 1 Β· 1 )))
278, 9, 21, 4, 11, 18, 20rngsubdi 20110 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· (𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸))) = (( 1 Β· 𝐸) βˆ’ ( 1 Β· ( 1 Β· 𝐸))))
288, 9rngass 20098 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐡 ∧ 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝐸 ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 Β· 1 ) Β· 𝐸) = ( 1 Β· ( 1 Β· 𝐸)))
294, 11, 11, 18, 28syl13anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (( 1 Β· 1 ) Β· 𝐸) = ( 1 Β· ( 1 Β· 𝐸)))
306, 9ressmulr 17282 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) β†’ Β· = (.rβ€˜π½))
315, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π½))
3231oveqd 7430 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 1 ) = ( 1 (.rβ€˜π½) 1 ))
33 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π½) = (Baseβ€˜π½)
3433, 10ringidcl 20201 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π½))
35 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π½) = (.rβ€˜π½)
3633, 35, 10ringlidm 20204 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π½)) β†’ ( 1 (.rβ€˜π½) 1 ) = 1 )
377, 34, 36syl2anc2 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ( 1 (.rβ€˜π½) 1 ) = 1 )
3832, 37eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 1 ) = 1 )
3938oveq1d 7428 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (( 1 Β· 1 ) Β· 𝐸) = ( 1 Β· 𝐸))
4029, 39eqtr3d 2767 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· ( 1 Β· 𝐸)) = ( 1 Β· 𝐸))
4140oveq2d 7429 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (( 1 Β· 𝐸) βˆ’ ( 1 Β· ( 1 Β· 𝐸))) = (( 1 Β· 𝐸) βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)))
42 eqid 2725 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
438, 42, 21grpsubid 18979 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 Β· 𝐸) ∈ 𝐡) β†’ (( 1 Β· 𝐸) βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) = (0gβ€˜π‘…))
4413, 20, 43syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (( 1 Β· 𝐸) βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) = (0gβ€˜π‘…))
4527, 41, 443eqtrd 2769 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· (𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸))) = (0gβ€˜π‘…))
4645, 38oveq12d 7431 . . 3 (πœ‘ β†’ (( 1 Β· (𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸))) + ( 1 Β· 1 )) = ((0gβ€˜π‘…) + 1 ))
4726, 46eqtrd 2765 . 2 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· ((𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) + 1 )) = ((0gβ€˜π‘…) + 1 ))
488, 24, 42, 13, 11grplidd 18925 . 2 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜π‘…) + 1 ) = 1 )
493, 47, 483eqtrd 2769 1 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· π‘ˆ) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174   β†Ύs cress 17203  +gcplusg 17227  .rcmulr 17228  0gc0g 17415   /s cqus 17481  Grpcgrp 18889  -gcsg 18891   ~QG cqg 19076  Rngcrng 20091  1rcur 20120  Ringcrg 20172  2Idealc2idl 21142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-0g 17417  df-imas 17484  df-qus 17485  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-eqg 19079  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-lidl 21103  df-2idl 21143
This theorem is referenced by:  rngqiprngfu  21206
  Copyright terms: Public domain W3C validator