Theorem rngqiprngfulem5 21276

Description: Lemma 5 for rngqiprngfu 21278. (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngqiprngfu.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngqiprngfu.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngqiprngfu.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngfu.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
rngqiprngfu.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
rngqiprngfu.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
rngqiprngfu.n	⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngfulem5	⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = 1 )

Proof of Theorem rngqiprngfulem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngfu.n	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )
2	1	oveq2i 7416	. . 3 ⊢ ( 1 · 𝑈) = ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 ))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )))
4		rngqiprngfu.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
5		rngqiprngfu.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
6		rngqiprngfu.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
7		rngqiprngfu.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
8		rngqiprngfu.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		rngqiprngfu.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
10		rngqiprngfu.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	rngqiprng1elbas 21247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
12		rnggrp 20118	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
13	4, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
14		rngqiprngfu.g	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
15		rngqiprngfu.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
16		rngqiprngfu.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
17		rngqiprngfu.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
18	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 17	rngqiprngfulem2 21273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
19	8, 9	rngcl 20124	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
20	4, 11, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
21		rngqiprngfu.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑅)
22	8, 21	grpsubcl 19003	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
23	13, 18, 20, 22	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
24		rngqiprngfu.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
25	8, 24, 9	rngdi 20120	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = (( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )))
26	4, 11, 23, 11, 25	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = (( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )))
27	8, 9, 21, 4, 11, 18, 20	rngsubdi 20131	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) = (( 1 · 𝐸) − ( 1 · ( 1 · 𝐸))))
28	8, 9	rngass 20119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · ( 1 · 𝐸)))
29	4, 11, 11, 18, 28	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · ( 1 · 𝐸)))
30	6, 9	ressmulr 17321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r‘𝐽))
31	5, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐽))
32	31	oveqd 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 1 ) = ( 1 (.r‘𝐽) 1 ))
33		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
34	33, 10	ringidcl 20225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
35		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
36	33, 35, 10	ringlidm 20229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽)) → ( 1 (.r‘𝐽) 1 ) = 1 )
37	7, 34, 36	syl2anc2 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝐽) 1 ) = 1 )
38	32, 37	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 1 ) = 1 )
39	38	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · 𝐸))
40	29, 39	eqtr3d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 1 · ( 1 · 𝐸)) = ( 1 · 𝐸))
41	40	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝐸) − ( 1 · ( 1 · 𝐸))) = (( 1 · 𝐸) − ( 1 · 𝐸)))
42		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43	8, 42, 21	grpsubid 19007	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐸) − ( 1 · 𝐸)) = (0g‘𝑅))
44	13, 20, 43	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝐸) − ( 1 · 𝐸)) = (0g‘𝑅))
45	27, 41, 44	3eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) = (0g‘𝑅))
46	45, 38	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )) = ((0g‘𝑅) + 1 ))
47	26, 46	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = ((0g‘𝑅) + 1 ))
48	8, 24, 42, 13, 11	grplidd 18952	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) + 1 ) = 1 )
49	3, 47, 48	3eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  +_gcplusg 17271  ._rcmulr 17272  0_gc0g 17453   /_s cqus 17519  Grpcgrp 18916  -_gcsg 18918   ~_QG cqg 19105  Rngcrng 20112  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  2Idealc2idl 21210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-ec 8721  df-qs 8725  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-0g 17455  df-imas 17522  df-qus 17523  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-eqg 19108  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-lss 20889  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169  df-2idl 21211

This theorem is referenced by:  rngqiprngfu  21278