Theorem rngqiprngfulem5 21426

Description: Lemma 5 for rngqiprngfu 21428. (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngqiprngfu.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngqiprngfu.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngqiprngfu.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngfu.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
rngqiprngfu.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
rngqiprngfu.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
rngqiprngfu.n	⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngfulem5	⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = 1 )

Proof of Theorem rngqiprngfulem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngfu.n	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )
2	1	oveq2i 7422	. . 3 ⊢ ( 1 · 𝑈) = ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 ))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )))
4		rngqiprngfu.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
5		rngqiprngfu.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
6		rngqiprngfu.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
7		rngqiprngfu.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
8		rngqiprngfu.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		rngqiprngfu.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
10		rngqiprngfu.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	rngqiprng1elbas 21397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
12		rnggrp 20236	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
13	4, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
14		rngqiprngfu.g	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
15		rngqiprngfu.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
16		rngqiprngfu.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
17		rngqiprngfu.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
18	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 17	rngqiprngfulem2 21423	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
19	8, 9	rngcl 20242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
20	4, 11, 18, 19	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
21		rngqiprngfu.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑅)
22	8, 21	grpsubcl 19086	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
23	13, 18, 20, 22	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
24		rngqiprngfu.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
25	8, 24, 9	rngdi 20238	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = (( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )))
26	4, 11, 23, 11, 25	syl13anc 1397	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = (( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )))
27	8, 9, 21, 4, 11, 18, 20	rngsubdi 20249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) = (( 1 · 𝐸) − ( 1 · ( 1 · 𝐸))))
28	8, 9	rngass 20237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · ( 1 · 𝐸)))
29	4, 11, 11, 18, 28	syl13anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · ( 1 · 𝐸)))
30	6, 9	ressmulr 17360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r‘𝐽))
31	5, 30	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐽))
32	31	oveqd 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 1 ) = ( 1 (.r‘𝐽) 1 ))
33		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
34	33, 10	ringidcl 20348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
35		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
36	33, 35, 10	ringlidm 20352	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽)) → ( 1 (.r‘𝐽) 1 ) = 1 )
37	7, 34, 36	syl2anc2 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝐽) 1 ) = 1 )
38	32, 37	eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 1 ) = 1 )
39	38	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · 𝐸))
40	29, 39	eqtr3d 2806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 1 · ( 1 · 𝐸)) = ( 1 · 𝐸))
41	40	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝐸) − ( 1 · ( 1 · 𝐸))) = (( 1 · 𝐸) − ( 1 · 𝐸)))
42		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43	8, 42, 21	grpsubid 19090	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐸) − ( 1 · 𝐸)) = (0g‘𝑅))
44	13, 20, 43	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝐸) − ( 1 · 𝐸)) = (0g‘𝑅))
45	27, 41, 44	3eqtrd 2808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) = (0g‘𝑅))
46	45, 38	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )) = ((0g‘𝑅) + 1 ))
47	26, 46	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = ((0g‘𝑅) + 1 ))
48	8, 24, 42, 13, 11	grplidd 19036	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) + 1 ) = 1 )
49	3, 47, 48	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269   ↾_s cress 17290  +_gcplusg 17310  ._rcmulr 17311  0_gc0g 17492   /_s cqus 17559  Grpcgrp 19000  -_gcsg 19002   ~_QG cqg 19188  Rngcrng 20230  1_rcur 20263  Ringcrg 20315  2Idealc2idl 21359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-ec 8696  df-qs 8700  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-0g 17494  df-imas 17562  df-qus 17563  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-eqg 19191  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-lss 21031  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-lidl 21310  df-2idl 21360

This theorem is referenced by:  rngqiprngfu  21428