MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngqiprngfulem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngqiprngfulem5 21187
Description: Lemma 5 for rngqiprngfu 21189. (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rngqiprngfu.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
rngqiprngfu.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
rngqiprngfu.u (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rngqiprngfu.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rngqiprngfu.1 1 = (1rβ€˜π½)
rngqiprngfu.g ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (1rβ€˜π‘„))
rngqiprngfu.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘…)
rngqiprngfu.a + = (+gβ€˜π‘…)
rngqiprngfu.n π‘ˆ = ((𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) + 1 )
Assertion
Ref Expression
rngqiprngfulem5 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· π‘ˆ) = 1 )

Proof of Theorem rngqiprngfulem5
StepHypRef Expression
1 rngqiprngfu.n . . . 4 π‘ˆ = ((𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) + 1 )
21oveq2i 7425 . . 3 ( 1 Β· π‘ˆ) = ( 1 Β· ((𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) + 1 ))
32a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· π‘ˆ) = ( 1 Β· ((𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) + 1 )))
4 rngqiprngfu.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
5 rngqiprngfu.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
6 rngqiprngfu.j . . . . 5 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
7 rngqiprngfu.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
8 rngqiprngfu.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
9 rngqiprngfu.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
10 rngqiprngfu.1 . . . . 5 1 = (1rβ€˜π½)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10rngqiprng1elbas 21158 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐡)
12 rnggrp 20082 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng β†’ 𝑅 ∈ Grp)
134, 12syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
14 rngqiprngfu.g . . . . . 6 ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
15 rngqiprngfu.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
16 rngqiprngfu.v . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ Ring)
17 rngqiprngfu.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (1rβ€˜π‘„))
184, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 17rngqiprngfulem2 21184 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐡)
198, 9rngcl 20088 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝐸 ∈ 𝐡) β†’ ( 1 Β· 𝐸) ∈ 𝐡)
204, 11, 18, 19syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 𝐸) ∈ 𝐡)
21 rngqiprngfu.m . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘…)
228, 21grpsubcl 18960 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ 𝐡 ∧ ( 1 Β· 𝐸) ∈ 𝐡) β†’ (𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) ∈ 𝐡)
2313, 18, 20, 22syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) ∈ 𝐡)
24 rngqiprngfu.a . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘…)
258, 24, 9rngdi 20084 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐡 ∧ (𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) ∈ 𝐡 ∧ 1 ∈ 𝐡)) β†’ ( 1 Β· ((𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) + 1 )) = (( 1 Β· (𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸))) + ( 1 Β· 1 )))
264, 11, 23, 11, 25syl13anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· ((𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) + 1 )) = (( 1 Β· (𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸))) + ( 1 Β· 1 )))
278, 9, 21, 4, 11, 18, 20rngsubdi 20095 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· (𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸))) = (( 1 Β· 𝐸) βˆ’ ( 1 Β· ( 1 Β· 𝐸))))
288, 9rngass 20083 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐡 ∧ 1 ∈ 𝐡 ∧ 𝐸 ∈ 𝐡)) β†’ (( 1 Β· 1 ) Β· 𝐸) = ( 1 Β· ( 1 Β· 𝐸)))
294, 11, 11, 18, 28syl13anc 1370 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (( 1 Β· 1 ) Β· 𝐸) = ( 1 Β· ( 1 Β· 𝐸)))
306, 9ressmulr 17273 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) β†’ Β· = (.rβ€˜π½))
315, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β· = (.rβ€˜π½))
3231oveqd 7431 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 1 ) = ( 1 (.rβ€˜π½) 1 ))
33 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π½) = (Baseβ€˜π½)
3433, 10ringidcl 20184 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π½))
35 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π½) = (.rβ€˜π½)
3633, 35, 10ringlidm 20187 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π½)) β†’ ( 1 (.rβ€˜π½) 1 ) = 1 )
377, 34, 36syl2anc2 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ( 1 (.rβ€˜π½) 1 ) = 1 )
3832, 37eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 1 ) = 1 )
3938oveq1d 7429 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (( 1 Β· 1 ) Β· 𝐸) = ( 1 Β· 𝐸))
4029, 39eqtr3d 2769 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· ( 1 Β· 𝐸)) = ( 1 Β· 𝐸))
4140oveq2d 7430 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (( 1 Β· 𝐸) βˆ’ ( 1 Β· ( 1 Β· 𝐸))) = (( 1 Β· 𝐸) βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)))
42 eqid 2727 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
438, 42, 21grpsubid 18964 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 Β· 𝐸) ∈ 𝐡) β†’ (( 1 Β· 𝐸) βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) = (0gβ€˜π‘…))
4413, 20, 43syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (( 1 Β· 𝐸) βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) = (0gβ€˜π‘…))
4527, 41, 443eqtrd 2771 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· (𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸))) = (0gβ€˜π‘…))
4645, 38oveq12d 7432 . . 3 (πœ‘ β†’ (( 1 Β· (𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸))) + ( 1 Β· 1 )) = ((0gβ€˜π‘…) + 1 ))
4726, 46eqtrd 2767 . 2 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· ((𝐸 βˆ’ ( 1 Β· 𝐸)) + 1 )) = ((0gβ€˜π‘…) + 1 ))
488, 24, 42, 13, 11grplidd 18911 . 2 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜π‘…) + 1 ) = 1 )
493, 47, 483eqtrd 2771 1 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· π‘ˆ) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165   β†Ύs cress 17194  +gcplusg 17218  .rcmulr 17219  0gc0g 17406   /s cqus 17472  Grpcgrp 18875  -gcsg 18877   ~QG cqg 19061  Rngcrng 20076  1rcur 20105  Ringcrg 20157  2Idealc2idl 21125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-ec 8718  df-qs 8722  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-0g 17408  df-imas 17475  df-qus 17476  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-eqg 19064  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-lss 20798  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-lidl 21086  df-2idl 21126
This theorem is referenced by:  rngqiprngfu  21189
  Copyright terms: Public domain W3C validator