Theorem rngqiprngfulem5 21455

Description: Lemma 5 for rngqiprngfu 21457. (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngqiprngfu.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngqiprngfu.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngqiprngfu.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngfu.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
rngqiprngfu.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
rngqiprngfu.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
rngqiprngfu.n	⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngfulem5	⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = 1 )

Proof of Theorem rngqiprngfulem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngfu.n	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )
2	1	oveq2i 7421	. . 3 ⊢ ( 1 · 𝑈) = ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 ))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )))
4		rngqiprngfu.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
5		rngqiprngfu.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
6		rngqiprngfu.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
7		rngqiprngfu.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
8		rngqiprngfu.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		rngqiprngfu.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
10		rngqiprngfu.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	rngqiprng1elbas 21426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
12		rnggrp 20231	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
13	4, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
14		rngqiprngfu.g	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
15		rngqiprngfu.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
16		rngqiprngfu.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
17		rngqiprngfu.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
18	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 17	rngqiprngfulem2 21452	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
19	8, 9	rngcl 20237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
20	4, 11, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
21		rngqiprngfu.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑅)
22	8, 21	grpsubcl 19081	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
23	13, 18, 20, 22	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
24		rngqiprngfu.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
25	8, 24, 9	rngdi 20233	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = (( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )))
26	4, 11, 23, 11, 25	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = (( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )))
27	8, 9, 21, 4, 11, 18, 20	rngsubdi 20244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) = (( 1 · 𝐸) − ( 1 · ( 1 · 𝐸))))
28	8, 9	rngass 20232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · ( 1 · 𝐸)))
29	4, 11, 11, 18, 28	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · ( 1 · 𝐸)))
30	6, 9	ressmulr 17355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r‘𝐽))
31	5, 30	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐽))
32	31	oveqd 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 1 ) = ( 1 (.r‘𝐽) 1 ))
33		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
34	33, 10	ringidcl 20344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
35		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
36	33, 35, 10	ringlidm 20348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽)) → ( 1 (.r‘𝐽) 1 ) = 1 )
37	7, 34, 36	syl2anc2 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝐽) 1 ) = 1 )
38	32, 37	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 1 ) = 1 )
39	38	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · 𝐸))
40	29, 39	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 1 · ( 1 · 𝐸)) = ( 1 · 𝐸))
41	40	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝐸) − ( 1 · ( 1 · 𝐸))) = (( 1 · 𝐸) − ( 1 · 𝐸)))
42		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43	8, 42, 21	grpsubid 19085	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐸) − ( 1 · 𝐸)) = (0g‘𝑅))
44	13, 20, 43	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝐸) − ( 1 · 𝐸)) = (0g‘𝑅))
45	27, 41, 44	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) = (0g‘𝑅))
46	45, 38	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )) = ((0g‘𝑅) + 1 ))
47	26, 46	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = ((0g‘𝑅) + 1 ))
48	8, 24, 42, 13, 11	grplidd 19031	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) + 1 ) = 1 )
49	3, 47, 48	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264   ↾_s cress 17285  +_gcplusg 17305  ._rcmulr 17306  0_gc0g 17487   /_s cqus 17554  Grpcgrp 18995  -_gcsg 18997   ~_QG cqg 19183  Rngcrng 20225  1_rcur 20258  Ringcrg 20310  2Idealc2idl 21388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-0g 17489  df-imas 17557  df-qus 17558  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-eqg 19186  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-lss 21053  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-lidl 21332  df-2idl 21389

This theorem is referenced by:  rngqiprngfu  21457