MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngqiprngfulem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngqiprngfulem5 21198
Description: Lemma 5 for rngqiprngfu 21200. (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rngqiprngfu.r (𝜑𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
rngqiprngfu.u (𝜑𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t · = (.r𝑅)
rngqiprngfu.1 1 = (1r𝐽)
rngqiprngfu.g = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q 𝑄 = (𝑅 /s )
rngqiprngfu.v (𝜑𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e (𝜑𝐸 ∈ (1r𝑄))
rngqiprngfu.m = (-g𝑅)
rngqiprngfu.a + = (+g𝑅)
rngqiprngfu.n 𝑈 = ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )
Assertion
Ref Expression
rngqiprngfulem5 (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = 1 )

Proof of Theorem rngqiprngfulem5
StepHypRef Expression
1 rngqiprngfu.n . . . 4 𝑈 = ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )
21oveq2i 7425 . . 3 ( 1 · 𝑈) = ( 1 · ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 ))
32a1i 11 . 2 (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = ( 1 · ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )))
4 rngqiprngfu.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Rng)
5 rngqiprngfu.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
6 rngqiprngfu.j . . . . 5 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
7 rngqiprngfu.u . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Ring)
8 rngqiprngfu.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 rngqiprngfu.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
10 rngqiprngfu.1 . . . . 5 1 = (1r𝐽)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10rngqiprng1elbas 21169 . . . 4 (𝜑1𝐵)
12 rnggrp 20091 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
134, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
14 rngqiprngfu.g . . . . . 6 = (𝑅 ~QG 𝐼)
15 rngqiprngfu.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑅 /s )
16 rngqiprngfu.v . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ Ring)
17 rngqiprngfu.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (1r𝑄))
184, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 17rngqiprngfulem2 21195 . . . . 5 (𝜑𝐸𝐵)
198, 9rngcl 20097 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1𝐵𝐸𝐵) → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
204, 11, 18, 19syl3anc 1369 . . . . 5 (𝜑 → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
21 rngqiprngfu.m . . . . . 6 = (-g𝑅)
228, 21grpsubcl 18969 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐸𝐵 ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (𝐸 ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
2313, 18, 20, 22syl3anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
24 rngqiprngfu.a . . . . 5 + = (+g𝑅)
258, 24, 9rngdi 20093 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1𝐵 ∧ (𝐸 ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵1𝐵)) → ( 1 · ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = (( 1 · (𝐸 ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )))
264, 11, 23, 11, 25syl13anc 1370 . . 3 (𝜑 → ( 1 · ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = (( 1 · (𝐸 ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )))
278, 9, 21, 4, 11, 18, 20rngsubdi 20104 . . . . 5 (𝜑 → ( 1 · (𝐸 ( 1 · 𝐸))) = (( 1 · 𝐸) ( 1 · ( 1 · 𝐸))))
288, 9rngass 20092 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1𝐵1𝐵𝐸𝐵)) → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · ( 1 · 𝐸)))
294, 11, 11, 18, 28syl13anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · ( 1 · 𝐸)))
306, 9ressmulr 17281 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r𝐽))
315, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑· = (.r𝐽))
3231oveqd 7431 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 1 · 1 ) = ( 1 (.r𝐽) 1 ))
33 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
3433, 10ringidcl 20195 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
35 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (.r𝐽) = (.r𝐽)
3633, 35, 10ringlidm 20198 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽)) → ( 1 (.r𝐽) 1 ) = 1 )
377, 34, 36syl2anc2 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 1 (.r𝐽) 1 ) = 1 )
3832, 37eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( 1 · 1 ) = 1 )
3938oveq1d 7429 . . . . . . 7 (𝜑 → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · 𝐸))
4029, 39eqtr3d 2769 . . . . . 6 (𝜑 → ( 1 · ( 1 · 𝐸)) = ( 1 · 𝐸))
4140oveq2d 7430 . . . . 5 (𝜑 → (( 1 · 𝐸) ( 1 · ( 1 · 𝐸))) = (( 1 · 𝐸) ( 1 · 𝐸)))
42 eqid 2727 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
438, 42, 21grpsubid 18973 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐸) ( 1 · 𝐸)) = (0g𝑅))
4413, 20, 43syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (( 1 · 𝐸) ( 1 · 𝐸)) = (0g𝑅))
4527, 41, 443eqtrd 2771 . . . 4 (𝜑 → ( 1 · (𝐸 ( 1 · 𝐸))) = (0g𝑅))
4645, 38oveq12d 7432 . . 3 (𝜑 → (( 1 · (𝐸 ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )) = ((0g𝑅) + 1 ))
4726, 46eqtrd 2767 . 2 (𝜑 → ( 1 · ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = ((0g𝑅) + 1 ))
488, 24, 42, 13, 11grplidd 18919 . 2 (𝜑 → ((0g𝑅) + 1 ) = 1 )
493, 47, 483eqtrd 2771 1 (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  s cress 17202  +gcplusg 17226  .rcmulr 17227  0gc0g 17414   /s cqus 17480  Grpcgrp 18883  -gcsg 18885   ~QG cqg 19070  Rngcrng 20085  1rcur 20114  Ringcrg 20166  2Idealc2idl 21136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-0g 17416  df-imas 17483  df-qus 17484  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-eqg 19073  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-lss 20809  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-lidl 21097  df-2idl 21137
This theorem is referenced by:  rngqiprngfu  21200
  Copyright terms: Public domain W3C validator