MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngqiprngfulem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngqiprngfulem5 21343
Description: Lemma 5 for rngqiprngfu 21345. (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rngqiprngfu.r (𝜑𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
rngqiprngfu.u (𝜑𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t · = (.r𝑅)
rngqiprngfu.1 1 = (1r𝐽)
rngqiprngfu.g = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q 𝑄 = (𝑅 /s )
rngqiprngfu.v (𝜑𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e (𝜑𝐸 ∈ (1r𝑄))
rngqiprngfu.m = (-g𝑅)
rngqiprngfu.a + = (+g𝑅)
rngqiprngfu.n 𝑈 = ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )
Assertion
Ref Expression
rngqiprngfulem5 (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = 1 )

Proof of Theorem rngqiprngfulem5
StepHypRef Expression
1 rngqiprngfu.n . . . 4 𝑈 = ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )
21oveq2i 7442 . . 3 ( 1 · 𝑈) = ( 1 · ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 ))
32a1i 11 . 2 (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = ( 1 · ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )))
4 rngqiprngfu.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Rng)
5 rngqiprngfu.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
6 rngqiprngfu.j . . . . 5 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
7 rngqiprngfu.u . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Ring)
8 rngqiprngfu.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 rngqiprngfu.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
10 rngqiprngfu.1 . . . . 5 1 = (1r𝐽)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10rngqiprng1elbas 21314 . . . 4 (𝜑1𝐵)
12 rnggrp 20176 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
134, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
14 rngqiprngfu.g . . . . . 6 = (𝑅 ~QG 𝐼)
15 rngqiprngfu.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑅 /s )
16 rngqiprngfu.v . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ Ring)
17 rngqiprngfu.e . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (1r𝑄))
184, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 17rngqiprngfulem2 21340 . . . . 5 (𝜑𝐸𝐵)
198, 9rngcl 20182 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1𝐵𝐸𝐵) → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
204, 11, 18, 19syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
21 rngqiprngfu.m . . . . . 6 = (-g𝑅)
228, 21grpsubcl 19051 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐸𝐵 ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (𝐸 ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
2313, 18, 20, 22syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
24 rngqiprngfu.a . . . . 5 + = (+g𝑅)
258, 24, 9rngdi 20178 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1𝐵 ∧ (𝐸 ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵1𝐵)) → ( 1 · ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = (( 1 · (𝐸 ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )))
264, 11, 23, 11, 25syl13anc 1371 . . 3 (𝜑 → ( 1 · ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = (( 1 · (𝐸 ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )))
278, 9, 21, 4, 11, 18, 20rngsubdi 20189 . . . . 5 (𝜑 → ( 1 · (𝐸 ( 1 · 𝐸))) = (( 1 · 𝐸) ( 1 · ( 1 · 𝐸))))
288, 9rngass 20177 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1𝐵1𝐵𝐸𝐵)) → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · ( 1 · 𝐸)))
294, 11, 11, 18, 28syl13anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · ( 1 · 𝐸)))
306, 9ressmulr 17353 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r𝐽))
315, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑· = (.r𝐽))
3231oveqd 7448 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 1 · 1 ) = ( 1 (.r𝐽) 1 ))
33 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
3433, 10ringidcl 20280 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
35 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (.r𝐽) = (.r𝐽)
3633, 35, 10ringlidm 20283 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽)) → ( 1 (.r𝐽) 1 ) = 1 )
377, 34, 36syl2anc2 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( 1 (.r𝐽) 1 ) = 1 )
3832, 37eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( 1 · 1 ) = 1 )
3938oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · 𝐸))
4029, 39eqtr3d 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ( 1 · ( 1 · 𝐸)) = ( 1 · 𝐸))
4140oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (( 1 · 𝐸) ( 1 · ( 1 · 𝐸))) = (( 1 · 𝐸) ( 1 · 𝐸)))
42 eqid 2735 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
438, 42, 21grpsubid 19055 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐸) ( 1 · 𝐸)) = (0g𝑅))
4413, 20, 43syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (( 1 · 𝐸) ( 1 · 𝐸)) = (0g𝑅))
4527, 41, 443eqtrd 2779 . . . 4 (𝜑 → ( 1 · (𝐸 ( 1 · 𝐸))) = (0g𝑅))
4645, 38oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → (( 1 · (𝐸 ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )) = ((0g𝑅) + 1 ))
4726, 46eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → ( 1 · ((𝐸 ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = ((0g𝑅) + 1 ))
488, 24, 42, 13, 11grplidd 19000 . 2 (𝜑 → ((0g𝑅) + 1 ) = 1 )
493, 47, 483eqtrd 2779 1 (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  0gc0g 17486   /s cqus 17552  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966   ~QG cqg 19153  Rngcrng 20170  1rcur 20199  Ringcrg 20251  2Idealc2idl 21277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-eqg 19156  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-2idl 21278
This theorem is referenced by:  rngqiprngfu  21345
  Copyright terms: Public domain W3C validator