Theorem rngqiprngfulem5 21225

Description: Lemma 5 for rngqiprngfu 21227. (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngqiprngfu.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngqiprngfu.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngqiprngfu.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngfu.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
rngqiprngfu.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
rngqiprngfu.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
rngqiprngfu.n	⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngfulem5	⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = 1 )

Proof of Theorem rngqiprngfulem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngfu.n	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )
2	1	oveq2i 7398	. . 3 ⊢ ( 1 · 𝑈) = ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 ))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )))
4		rngqiprngfu.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
5		rngqiprngfu.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
6		rngqiprngfu.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
7		rngqiprngfu.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
8		rngqiprngfu.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9		rngqiprngfu.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
10		rngqiprngfu.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	rngqiprng1elbas 21196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
12		rnggrp 20067	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
13	4, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
14		rngqiprngfu.g	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
15		rngqiprngfu.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
16		rngqiprngfu.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
17		rngqiprngfu.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
18	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15, 16, 17	rngqiprngfulem2 21222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
19	8, 9	rngcl 20073	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
20	4, 11, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
21		rngqiprngfu.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑅)
22	8, 21	grpsubcl 18952	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
23	13, 18, 20, 22	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
24		rngqiprngfu.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
25	8, 24, 9	rngdi 20069	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = (( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )))
26	4, 11, 23, 11, 25	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = (( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )))
27	8, 9, 21, 4, 11, 18, 20	rngsubdi 20080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) = (( 1 · 𝐸) − ( 1 · ( 1 · 𝐸))))
28	8, 9	rngass 20068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵)) → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · ( 1 · 𝐸)))
29	4, 11, 11, 18, 28	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · ( 1 · 𝐸)))
30	6, 9	ressmulr 17270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → · = (.r‘𝐽))
31	5, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝐽))
32	31	oveqd 7404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 1 ) = ( 1 (.r‘𝐽) 1 ))
33		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
34	33, 10	ringidcl 20174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝐽))
35		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝐽) = (.r‘𝐽)
36	33, 35, 10	ringlidm 20178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝐽)) → ( 1 (.r‘𝐽) 1 ) = 1 )
37	7, 34, 36	syl2anc2 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( 1 (.r‘𝐽) 1 ) = 1 )
38	32, 37	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 1 ) = 1 )
39	38	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 1 ) · 𝐸) = ( 1 · 𝐸))
40	29, 39	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( 1 · ( 1 · 𝐸)) = ( 1 · 𝐸))
41	40	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝐸) − ( 1 · ( 1 · 𝐸))) = (( 1 · 𝐸) − ( 1 · 𝐸)))
42		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43	8, 42, 21	grpsubid 18956	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝐸) − ( 1 · 𝐸)) = (0g‘𝑅))
44	13, 20, 43	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( 1 · 𝐸) − ( 1 · 𝐸)) = (0g‘𝑅))
45	27, 41, 44	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) = (0g‘𝑅))
46	45, 38	oveq12d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( 1 · (𝐸 − ( 1 · 𝐸))) + ( 1 · 1 )) = ((0g‘𝑅) + 1 ))
47	26, 46	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 · ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )) = ((0g‘𝑅) + 1 ))
48	8, 24, 42, 13, 11	grplidd 18901	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅) + 1 ) = 1 )
49	3, 47, 48	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402   /_s cqus 17468  Grpcgrp 18865  -_gcsg 18867   ~_QG cqg 19054  Rngcrng 20061  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  2Idealc2idl 21159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-0g 17404  df-imas 17471  df-qus 17472  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-eqg 19057  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-lss 20838  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118  df-2idl 21160

This theorem is referenced by:  rngqiprngfu  21227