Theorem sltsd 27764

Description: Deduce surreal set less-than. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sltsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sltsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
sltsd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
sltsd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
sltsd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sltsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 3464	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
3		sltsd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	3	elexd 3464	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		sltsd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
6		sltsd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
7		sltsd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)
8	7	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 <s 𝑦)
9	8	ralrimivva 3179	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
10	5, 6, 9	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦))
11		brslts 27758	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
12	2, 4, 10, 11	syl21anbrc 1345	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   No csur 27607   <s clts 27608   <<s cslts 27753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-slts 27754

This theorem is referenced by:  nulslts  27771  nulsgts  27772  sltstr  27783  sltsun1  27784  sltsun2  27785  eqcuts3  27800  sltsleft  27856  sltsright  27857  cofslts  27914  coinitslts  27915  cofcutr  27920  addsproplem2  27966  addsuniflem  27997  negsproplem2  28025  negsid  28037  negsunif  28051  mulsproplem9  28120  sltmuls1  28143  sltmuls2  28144  precsexlem10  28212  precsexlem11  28213  oncutlt  28260  n0fincut  28351  recut  28490  elreno2  28491