Theorem sltsd 28159

Description: Deduce surreal set less-than. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sltsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sltsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No)
sltsd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No)
sltsd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
sltsd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥, 𝑦)   𝑊(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem sltsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 3473	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
3		sltsd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	3	elexd 3473	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		sltsd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No)
6		sltsd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No)
7		sltsd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)
8	7	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 <s 𝑦)
9	8	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
10	5, 6, 9	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦))
11		brslts 28153	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
12	2, 4, 10, 11	syl21anbrc 1363	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  Nocsur 28002   <s clts 28003   <<s cslts 28148

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5656  df-slts 28149

This theorem is used by:  nulslts  28166  nulsgts  28167  sltstr  28178  sltsun1  28179  sltsun2  28180  eqcuts3  28195  sltsleft  28251  sltsright  28252  cofslts  28309  coinitslts  28310  cofcutr  28315  addsproplem2  28361  addsuniflem  28392  negsproplem2  28420  negsid  28432  negsunif  28446  mulsproplem9  28515  sltmuls1  28538  sltmuls2  28539  precsexlem10  28607  precsexlem11  28608  oncutlt  28655  n0fincut  28746  recut  28885  elreno2  28886