Theorem sltsd 27919

Description: Deduce surreal set less-than. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sltsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sltsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
sltsd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
sltsd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
sltsd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sltsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 3480	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
3		sltsd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	3	elexd 3480	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		sltsd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
6		sltsd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
7		sltsd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)
8	7	3expb 1136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 <s 𝑦)
9	8	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
10	5, 6, 9	3jca 1144	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦))
11		brslts 27913	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
12	2, 4, 10, 11	syl21anbrc 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105   No csur 27762   <s clts 27763   <<s cslts 27908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5106  df-opab 5168  df-xp 5658  df-slts 27909

This theorem is referenced by:  nulslts  27926  nulsgts  27927  sltstr  27938  sltsun1  27939  sltsun2  27940  eqcuts3  27955  sltsleft  28011  sltsright  28012  cofslts  28069  coinitslts  28070  cofcutr  28075  addsproplem2  28121  addsuniflem  28152  negsproplem2  28180  negsid  28192  negsunif  28206  mulsproplem9  28275  sltmuls1  28298  sltmuls2  28299  precsexlem10  28367  precsexlem11  28368  oncutlt  28415  n0fincut  28506  recut  28645  elreno2  28646