Theorem sltsd 27760

Description: Deduce surreal set less-than. (Contributed by Scott Fenton, 24-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sltsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sltsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sltsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
sltsd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
sltsd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
sltsd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sltsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2	1	elexd 3453	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
3		sltsd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
4	3	elexd 3453	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
5		sltsd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ No )
6		sltsd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ No )
7		sltsd.5	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 <s 𝑦)
8	7	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 <s 𝑦)
9	8	ralrimivva 3180	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
10	5, 6, 9	3jca 1129	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦))
11		brslts 27754	. 2 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐵 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)))
12	2, 4, 10, 11	syl21anbrc 1346	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <<s 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085   No csur 27603   <s clts 27604   <<s cslts 27749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-slts 27750

This theorem is referenced by:  nulslts  27767  nulsgts  27768  sltstr  27779  sltsun1  27780  sltsun2  27781  eqcuts3  27796  sltsleft  27852  sltsright  27853  cofslts  27910  coinitslts  27911  cofcutr  27916  addsproplem2  27962  addsuniflem  27993  negsproplem2  28021  negsid  28033  negsunif  28047  mulsproplem9  28116  sltmuls1  28139  sltmuls2  28140  precsexlem10  28208  precsexlem11  28209  oncutlt  28256  n0fincut  28347  recut  28486  elreno2  28487