Theorem sltsleft 27877

Description: A surreal is greater than its left options. Theorem 0(ii) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sltsleft	⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})

Proof of Theorem sltsleft

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6849	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) ∈ V)
2		snex 5375	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ∈ V)
4		leftf 27872	. . . 4 ⊢ L : No ⟶𝒫 No
5	4	ffvelcdmi 7031	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No )
6	5	elpwid 4545	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) ⊆ No )
7		snssi 4724	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ⊆ No )
8		velsn 4578	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} ↔ 𝑦 = 𝐴)
9		leftval 27866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( L ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴}
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴})
11	10	eleq2d 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴}))
12		rabid 3413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴} ↔ (𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝑥 <s 𝐴))
13	11, 12	bitrdi 288	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝑥 <s 𝐴)))
14	13	simplbda 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ ( L ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝐴)
15		breq2 5083	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝑥 <s 𝐴))
16	14, 15	imbitrrid 247	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ ( L ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦))
17	16	expd 416	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
18	8, 17	sylbi 218	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
19	18	3imp231 1118	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 <s 𝑦)
20	1, 3, 6, 7, 19	sltsd 27785	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392  Vcvv 3432  𝒫 cpw 4536  {csn 4562   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492   No csur 27628   <s clts 27629   bday cbday 27630   <<s cslts 27774   O cold 27840   L cleft 27842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-1o 8402  df-2o 8403  df-no 27631  df-lts 27632  df-bday 27633  df-slts 27775  df-cuts 27777  df-made 27844  df-old 27845  df-left 27847

This theorem is referenced by:  lltr  27879  madebdaylemlrcut  27916  mulsproplem5  28137  mulsproplem6  28138  mulsproplem7  28139  mulsproplem8  28140  mulsuniflem  28166