Theorem sltsleft 28251

Description: A surreal is greater than its left options. Theorem 0(ii) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sltsleft	⊢ (𝐴 ∈ No → (L‘𝐴) <<s {𝐴})

Proof of Theorem sltsleft

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6900	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (L‘𝐴) ∈ V)
2		snex 5396	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ∈ V)
4		leftf 28246	. . . 4 ⊢ L:No⟶𝒫 No
5	4	ffvelcdmi 7083	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (L‘𝐴) ∈ 𝒫 No)
6	5	elpwid 4565	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (L‘𝐴) ⊆ No)
7		snssi 4742	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ⊆ No)
8		velsn 4596	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} ↔ 𝑦 = 𝐴)
9		leftval 28240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (L‘𝐴) = {𝑥 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴}
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ No → (L‘𝐴) = {𝑥 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴})
11	10	eleq2d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ (L‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴}))
12		rabid 3432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴} ↔ (𝑥 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∧ 𝑥 <s 𝐴))
13	11, 12	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ (L‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∧ 𝑥 <s 𝐴)))
14	13	simplbda 505	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ (L‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝐴)
15		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝑥 <s 𝐴))
16	14, 15	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ (L‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦))
17	16	expd 421	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ (L‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
18	8, 17	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ (L‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
19	18	3imp231 1130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ (L‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 <s 𝑦)
20	1, 3, 6, 7, 19	sltsd 28159	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (L‘𝐴) <<s {𝐴})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450  𝒫 cpw 4556  {csn 4584   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  Nocsur 28002   <s clts 28003  bdaycbday 28004   <<s cslts 28148  Ocold 28214  Lcleft 28216

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-1o 8479  df-2o 8480  df-no 28005  df-lts 28006  df-bday 28007  df-slts 28149  df-cuts 28151  df-made 28218  df-old 28219  df-left 28221

This theorem is used by:  lltr  28253  madebdaylemlrcut  28290  mulsproplem5  28511  mulsproplem6  28512  mulsproplem7  28513  mulsproplem8  28514  mulsuniflem  28540