Theorem sltsleft 28031

Description: A surreal is greater than its left options. Theorem 0(ii) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sltsleft	⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})

Proof of Theorem sltsleft

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvexd 6898	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) ∈ V)
2		snex 5412	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ∈ V)
4		leftf 28026	. . . 4 ⊢ L : No ⟶𝒫 No
5	4	ffvelcdmi 7080	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) ∈ 𝒫 No )
6	5	elpwid 4572	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) ⊆ No )
7		snssi 4752	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ⊆ No )
8		velsn 4606	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} ↔ 𝑦 = 𝐴)
9		leftval 28020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( L ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴}
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴})
11	10	eleq2d 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴}))
12		rabid 3437	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝑥 <s 𝐴} ↔ (𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝑥 <s 𝐴))
13	11, 12	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝑥 <s 𝐴)))
14	13	simplbda 504	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ ( L ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝐴)
15		breq2 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝑥 <s 𝐴))
16	14, 15	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ ( L ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦))
17	16	expd 420	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
18	8, 17	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴} → (𝐴 ∈ No → (𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
19	18	3imp231 1130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ ( L ‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴}) → 𝑥 <s 𝑦)
20	1, 3, 6, 7, 19	sltsd 27939	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) <<s {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455  𝒫 cpw 4563  {csn 4590   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538   No csur 27782   <s clts 27783   bday cbday 27784   <<s cslts 27928   O cold 27994   L cleft 27996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-1o 8454  df-2o 8455  df-no 27785  df-lts 27786  df-bday 27787  df-slts 27929  df-cuts 27931  df-made 27998  df-old 27999  df-left 28001

This theorem is referenced by:  lltr  28033  madebdaylemlrcut  28070  mulsproplem5  28291  mulsproplem6  28292  mulsproplem7  28293  mulsproplem8  28294  mulsuniflem  28320