MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsproplem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsproplem9 27580
Description: Lemma for surreal multiplication. Show that the cut involved in surreal multiplication makes sense. (Contributed by Scott Fenton, 5-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mulsproplem.1 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
mulsproplem9.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
mulsproplem9.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
Assertion
Ref Expression
mulsproplem9 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ต,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ถ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ท,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ธ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐น,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ด,๐‘”,โ„Ž,๐‘–,๐‘—,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘,๐‘’,๐‘“   ๐ต,๐‘”,โ„Ž,๐‘–,๐‘—,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค   ๐œ‘,๐‘”,โ„Ž,๐‘–,๐‘—,๐‘,๐‘ž,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ค
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘’,๐‘“,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘‘)   ๐ถ(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘ก,๐‘”,โ„Ž,๐‘–,๐‘—,๐‘ ,๐‘Ÿ,๐‘ž,๐‘)   ๐ท(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘ก,๐‘”,โ„Ž,๐‘–,๐‘—,๐‘ ,๐‘Ÿ,๐‘ž,๐‘)   ๐ธ(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘ก,๐‘”,โ„Ž,๐‘–,๐‘—,๐‘ ,๐‘Ÿ,๐‘ž,๐‘)   ๐น(๐‘ค,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘ก,๐‘”,โ„Ž,๐‘–,๐‘—,๐‘ ,๐‘Ÿ,๐‘ž,๐‘)

Proof of Theorem mulsproplem9
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด), ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))) = (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด), ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
21rnmpo 7542 . . . . 5 ran (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด), ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))) = {๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))}
3 fvex 6905 . . . . . . 7 ( L โ€˜๐ด) โˆˆ V
4 fvex 6905 . . . . . . 7 ( L โ€˜๐ต) โˆˆ V
53, 4mpoex 8066 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด), ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))) โˆˆ V
65rnex 7903 . . . . 5 ran (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด), ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))) โˆˆ V
72, 6eqeltrri 2831 . . . 4 {๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆˆ V
8 eqid 2733 . . . . . 6 (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด), ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))) = (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด), ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
98rnmpo 7542 . . . . 5 ran (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด), ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))) = {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}
10 fvex 6905 . . . . . . 7 ( R โ€˜๐ด) โˆˆ V
11 fvex 6905 . . . . . . 7 ( R โ€˜๐ต) โˆˆ V
1210, 11mpoex 8066 . . . . . 6 (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด), ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))) โˆˆ V
1312rnex 7903 . . . . 5 ran (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด), ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))) โˆˆ V
149, 13eqeltrri 2831 . . . 4 {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))} โˆˆ V
157, 14unex 7733 . . 3 ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) โˆˆ V
1615a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) โˆˆ V)
17 eqid 2733 . . . . . 6 (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด), ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) = (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด), ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
1817rnmpo 7542 . . . . 5 ran (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด), ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) = {๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))}
193, 11mpoex 8066 . . . . . 6 (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด), ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆˆ V
2019rnex 7903 . . . . 5 ran (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด), ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆˆ V
2118, 20eqeltrri 2831 . . . 4 {๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆˆ V
22 eqid 2733 . . . . . 6 (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด), ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) = (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด), ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
2322rnmpo 7542 . . . . 5 ran (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด), ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) = {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}
2410, 4mpoex 8066 . . . . . 6 (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด), ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โˆˆ V
2524rnex 7903 . . . . 5 ran (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด), ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต) โ†ฆ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โˆˆ V
2623, 25eqeltrri 2831 . . . 4 {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} โˆˆ V
2721, 26unex 7733 . . 3 ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โˆˆ V
2827a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โˆˆ V)
29 mulsproplem.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
3029adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
31 leftssold 27373 . . . . . . . . . 10 ( L โ€˜๐ด) โŠ† ( O โ€˜( bday โ€˜๐ด))
32 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด))
3331, 32sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ด)))
34 mulsproplem9.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
3534adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
3630, 33, 35mulsproplem2 27573 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
37 mulsproplem9.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
3837adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
39 leftssold 27373 . . . . . . . . . 10 ( L โ€˜๐ต) โŠ† ( O โ€˜( bday โ€˜๐ต))
40 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))
4139, 40sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ž โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ต)))
4230, 38, 41mulsproplem3 27574 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ž) โˆˆ No )
4336, 42addscld 27464 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) โˆˆ No )
4430, 33, 41mulsproplem4 27575 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘ ยทs ๐‘ž) โˆˆ No )
4543, 44subscld 27535 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆˆ No )
46 eleq1 2822 . . . . . 6 (๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†’ (๐‘” โˆˆ No โ†” (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆˆ No ))
4745, 46syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†’ ๐‘” โˆˆ No ))
4847rexlimdvva 3212 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†’ ๐‘” โˆˆ No ))
4948abssdv 4066 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โŠ† No )
5029adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
51 rightssold 27374 . . . . . . . . . 10 ( R โ€˜๐ด) โŠ† ( O โ€˜( bday โ€˜๐ด))
52 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด))
5351, 52sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ด)))
5434adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
5550, 53, 54mulsproplem2 27573 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘Ÿ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
5637adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
57 rightssold 27374 . . . . . . . . . 10 ( R โ€˜๐ต) โŠ† ( O โ€˜( bday โ€˜๐ต))
58 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))
5957, 58sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘  โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ต)))
6050, 56, 59mulsproplem3 27574 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ ) โˆˆ No )
6155, 60addscld 27464 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) โˆˆ No )
6250, 53, 59mulsproplem4 27575 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ) โˆˆ No )
6361, 62subscld 27535 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆˆ No )
64 eleq1 2822 . . . . . 6 (โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†’ (โ„Ž โˆˆ No โ†” (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆˆ No ))
6563, 64syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†’ โ„Ž โˆˆ No ))
6665rexlimdvva 3212 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†’ โ„Ž โˆˆ No ))
6766abssdv 4066 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))} โŠ† No )
6849, 67unssd 4187 . 2 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) โŠ† No )
6929adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
70 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด))
7131, 70sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ด)))
7234adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
7369, 71, 72mulsproplem2 27573 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘ก ยทs ๐ต) โˆˆ No )
7437adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
75 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))
7657, 75sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ต)))
7769, 74, 76mulsproplem3 27574 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ข) โˆˆ No )
7873, 77addscld 27464 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ ((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
7969, 71, 76mulsproplem4 27575 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘ก ยทs ๐‘ข) โˆˆ No )
8078, 79subscld 27535 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No )
81 eleq1 2822 . . . . . 6 (๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ (๐‘– โˆˆ No โ†” (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆˆ No ))
8280, 81syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ ๐‘– โˆˆ No ))
8382rexlimdvva 3212 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ ๐‘– โˆˆ No ))
8483abssdv 4066 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โŠ† No )
8529adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
86 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด))
8751, 86sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ด)))
8834adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
8985, 87, 88mulsproplem2 27573 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘ฃ ยทs ๐ต) โˆˆ No )
9037adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
91 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))
9239, 91sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ( O โ€˜( bday โ€˜๐ต)))
9385, 90, 92mulsproplem3 27574 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ค) โˆˆ No )
9489, 93addscld 27464 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ ((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No )
9585, 87, 92mulsproplem4 27575 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค) โˆˆ No )
9694, 95subscld 27535 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No )
97 eleq1 2822 . . . . . 6 (๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ (๐‘— โˆˆ No โ†” (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โˆˆ No ))
9896, 97syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ ๐‘— โˆˆ No ))
9998rexlimdvva 3212 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ ๐‘— โˆˆ No ))
10099abssdv 4066 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} โŠ† No )
10184, 100unssd 4187 . 2 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โŠ† No )
102 elun 4149 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆจ ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}))
103 vex 3479 . . . . . . . . 9 ๐‘ฅ โˆˆ V
104 eqeq1 2737 . . . . . . . . . 10 (๐‘” = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” ๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
1051042rexbidv 3220 . . . . . . . . 9 (๐‘” = ๐‘ฅ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))))
106103, 105elab 3669 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)))
107 eqeq1 2737 . . . . . . . . . 10 (โ„Ž = ๐‘ฅ โ†’ (โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†” ๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
1081072rexbidv 3220 . . . . . . . . 9 (โ„Ž = ๐‘ฅ โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
109103, 108elab 3669 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))} โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )))
110106, 109orbi12i 914 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆจ ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆจ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
111102, 110bitri 275 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) โ†” (โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆจ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))))
112 elun 4149 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆจ ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
113 vex 3479 . . . . . . . . 9 ๐‘ฆ โˆˆ V
114 eqeq1 2737 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” ๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
1151142rexbidv 3220 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘ฆ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
116113, 115elab 3669 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
117 eqeq1 2737 . . . . . . . . . 10 (๐‘— = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” ๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
1181172rexbidv 3220 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ๐‘ฆ โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
119113, 118elab 3669 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))} โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
120116, 119orbi12i 914 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ {๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆจ ๐‘ฆ โˆˆ {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆจ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
121112, 120bitri 275 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆจ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
122111, 121anbi12i 628 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})) โ†” ((โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆจ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))) โˆง (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆจ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))))
123 anddi 1010 . . . . 5 (((โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆจ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))) โˆง (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โˆจ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))) โ†” (((โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆจ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))) โˆจ ((โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆจ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))))
124122, 123bitri 275 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})) โ†” (((โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆจ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))) โˆจ ((โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆจ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))))
12529adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
12637adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
12734adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
128 simprll 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด))
129 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))
130 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด))
131 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))
132125, 126, 127, 128, 129, 130, 131mulsproplem5 27576 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) <s (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
133 breq2 5153 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ ((((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) <s ๐‘ฆ โ†” (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) <s (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
134132, 133syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ (๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) <s ๐‘ฆ))
135134anassrs 469 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) <s ๐‘ฆ))
136135rexlimdvva 3212 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) <s ๐‘ฆ))
137 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†’ (๐‘ฅ <s ๐‘ฆ โ†” (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) <s ๐‘ฆ))
138137imbi2d 341 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†’ ((โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) <s ๐‘ฆ)))
139136, 138syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ)))
140139rexlimdvva 3212 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ)))
141140impd 412 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ))
14229adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
14337adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
14434adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
145 simprll 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด))
146 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))
147 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด))
148 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))
149142, 143, 144, 145, 146, 147, 148mulsproplem6 27577 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) <s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
150 breq2 5153 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ ((((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) <s ๐‘ฆ โ†” (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) <s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
151149, 150syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ (๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) <s ๐‘ฆ))
152151anassrs 469 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) <s ๐‘ฆ))
153152rexlimdvva 3212 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) <s ๐‘ฆ))
154137imbi2d 341 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ) โ†” (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) <s ๐‘ฆ)))
155153, 154syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ)))
156155rexlimdvva 3212 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ)))
157156impd 412 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ))
158141, 157jaod 858 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆจ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ))
15929adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
16037adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
16134adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
162 simprll 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด))
163 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))
164 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด))
165 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))
166159, 160, 161, 162, 163, 164, 165mulsproplem7 27578 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) <s (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)))
167 breq2 5153 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ ((((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) <s ๐‘ฆ โ†” (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) <s (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))))
168166, 167syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)))) โ†’ (๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) <s ๐‘ฆ))
169168anassrs 469 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โˆง (๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) <s ๐‘ฆ))
170169rexlimdvva 3212 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) <s ๐‘ฆ))
171 breq1 5152 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†’ (๐‘ฅ <s ๐‘ฆ โ†” (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) <s ๐‘ฆ))
172171imbi2d 341 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†’ ((โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ) โ†” (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) <s ๐‘ฆ)))
173170, 172syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ)))
174173rexlimdvva 3212 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข)) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ)))
175174impd 412 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ))
17629adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘ โˆˆ No โˆ€๐‘‘ โˆˆ No โˆ€๐‘’ โˆˆ No โˆ€๐‘“ โˆˆ No (((( bday โ€˜๐‘Ž) +no ( bday โ€˜๐‘)) โˆช (((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘’)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘“))) โˆช ((( bday โ€˜๐‘) +no ( bday โ€˜๐‘“)) โˆช (( bday โ€˜๐‘‘) +no ( bday โ€˜๐‘’))))) โˆˆ ((( bday โ€˜๐ด) +no ( bday โ€˜๐ต)) โˆช (((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐ธ)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐น))) โˆช ((( bday โ€˜๐ถ) +no ( bday โ€˜๐น)) โˆช (( bday โ€˜๐ท) +no ( bday โ€˜๐ธ))))) โ†’ ((๐‘Ž ยทs ๐‘) โˆˆ No โˆง ((๐‘ <s ๐‘‘ โˆง ๐‘’ <s ๐‘“) โ†’ ((๐‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘ ยทs ๐‘’)) <s ((๐‘‘ ยทs ๐‘“) -s (๐‘‘ ยทs ๐‘’))))))
17737adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
17834adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
179 simprll 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด))
180 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))
181 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด))
182 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))
183176, 177, 178, 179, 180, 181, 182mulsproplem8 27579 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) <s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))
184 breq2 5153 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ ((((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) <s ๐‘ฆ โ†” (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) <s (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))
185183, 184syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ((๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)))) โ†’ (๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) <s ๐‘ฆ))
186185anassrs 469 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) <s ๐‘ฆ))
187186rexlimdvva 3212 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) <s ๐‘ฆ))
188171imbi2d 341 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†’ ((โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ) โ†” (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) <s ๐‘ฆ)))
189187, 188syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด) โˆง ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ)))
190189rexlimdvva 3212 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ)))
191190impd 412 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ))
192175, 191jaod 858 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆจ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ))
193158, 192jaod 858 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((((โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆจ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž)) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค)))) โˆจ ((โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))) โˆจ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘ฅ = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ )) โˆง โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘ฆ = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))))) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ))
194124, 193biimtrid 241 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ))
1951943impib 1117 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))})) โ†’ ๐‘ฅ <s ๐‘ฆ)
19616, 28, 68, 101, 195ssltd 27293 1 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘” โˆฃ โˆƒ๐‘ โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ž โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘” = (((๐‘ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ž)) -s (๐‘ ยทs ๐‘ž))} โˆช {โ„Ž โˆฃ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘  โˆˆ ( R โ€˜๐ต)โ„Ž = (((๐‘Ÿ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ )) -s (๐‘Ÿ ยทs ๐‘ ))}) <<s ({๐‘– โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ ( L โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ข โˆˆ ( R โ€˜๐ต)๐‘– = (((๐‘ก ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ข)) -s (๐‘ก ยทs ๐‘ข))} โˆช {๐‘— โˆฃ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ ( R โ€˜๐ด)โˆƒ๐‘ค โˆˆ ( L โ€˜๐ต)๐‘— = (((๐‘ฃ ยทs ๐ต) +s (๐ด ยทs ๐‘ค)) -s (๐‘ฃ ยทs ๐‘ค))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2710  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   โˆช cun 3947   class class class wbr 5149  ran crn 5678  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆˆ cmpo 7411   +no cnadd 8664   No csur 27143   <s cslt 27144   bday cbday 27145   <<s csslt 27282   O cold 27338   L cleft 27340   R cright 27341   +s cadds 27443   -s csubs 27495   ยทs cmuls 27562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-1o 8466  df-2o 8467  df-nadd 8665  df-no 27146  df-slt 27147  df-bday 27148  df-sle 27248  df-sslt 27283  df-scut 27285  df-0s 27325  df-made 27342  df-old 27343  df-left 27345  df-right 27346  df-norec 27422  df-norec2 27433  df-adds 27444  df-negs 27496  df-subs 27497
This theorem is referenced by:  mulsproplem10  27581
  Copyright terms: Public domain W3C validator