Theorem sltsright 27931

Description: A surreal is less than its right options. Theorem 0(i) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sltsright	⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))

Proof of Theorem sltsright

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5395	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ∈ V)
3		fvexd 6878	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) ∈ V)
4		snssi 4743	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ⊆ No )
5		rightf 27926	. . . 4 ⊢ R : No ⟶𝒫 No
6	5	ffvelcdmi 7060	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) ∈ 𝒫 No )
7	6	elpwid 4563	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) ⊆ No )
8		velsn 4597	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
9		rightval 27920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( R ‘𝐴) = {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦})
11	10	eleq2d 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}))
12		rabid 3434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦} ↔ (𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦))
13	11, 12	bitrdi 289	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦)))
14	13	simplbda 503	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝐴 <s 𝑦)
15		breq1 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝐴 <s 𝑦))
16	14, 15	imbitrrid 248	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦))
17	16	expd 419	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
18	8, 17	sylbi 219	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
19	18	3imp21 1125	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦)
20	2, 3, 4, 7, 19	sltsd 27838	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413  Vcvv 3453  𝒫 cpw 4554  {csn 4581   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517   No csur 27681   <s clts 27682   bday cbday 27683   <<s cslts 27827   O cold 27893   R cright 27896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-1o 8432  df-2o 8433  df-no 27684  df-lts 27685  df-bday 27686  df-slts 27828  df-cuts 27830  df-made 27897  df-old 27898  df-right 27901

This theorem is referenced by:  lltr  27932  madebdaylemlrcut  27969  mulsproplem5  28190  mulsproplem6  28191  mulsproplem7  28192  mulsproplem8  28193  mulsuniflem  28219