Theorem sltsright 28126

Description: A surreal is less than its right options. Theorem 0(i) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sltsright	⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))

Proof of Theorem sltsright

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5404	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ∈ V)
3		fvexd 6893	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) ∈ V)
4		snssi 4746	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ⊆ No )
5		rightf 28121	. . . 4 ⊢ R : No ⟶𝒫 No
6	5	ffvelcdmi 7076	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) ∈ 𝒫 No )
7	6	elpwid 4566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) ⊆ No )
8		velsn 4600	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
9		rightval 28115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( R ‘𝐴) = {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) = {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦})
11	10	eleq2d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}))
12		rabid 3432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦} ↔ (𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦))
13	11, 12	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦)))
14	13	simplbda 505	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝐴 <s 𝑦)
15		breq1 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝐴 <s 𝑦))
16	14, 15	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦))
17	16	expd 421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
18	8, 17	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ ( R ‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
19	18	3imp21 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ( R ‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦)
20	2, 3, 4, 7, 19	sltsd 28033	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s ( R ‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450  𝒫 cpw 4557  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533   No csur 27876   <s clts 27877   bday cbday 27878   <<s cslts 28022   O cold 28088   R cright 28091

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-1o 8455  df-2o 8456  df-no 27879  df-lts 27880  df-bday 27881  df-slts 28023  df-cuts 28025  df-made 28092  df-old 28093  df-right 28096

This theorem is used by:  lltr  28127  madebdaylemlrcut  28164  mulsproplem5  28385  mulsproplem6  28386  mulsproplem7  28387  mulsproplem8  28388  mulsuniflem  28414