Theorem sltsright 28256

Description: A surreal is less than its right options. Theorem 0(i) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sltsright	⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s (R‘𝐴))

Proof of Theorem sltsright

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5397	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ∈ V)
3		fvexd 6905	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (R‘𝐴) ∈ V)
4		snssi 4742	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ⊆ No)
5		rightf 28251	. . . 4 ⊢ R:No⟶𝒫 No
6	5	ffvelcdmi 7088	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (R‘𝐴) ∈ 𝒫 No)
7	6	elpwid 4565	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (R‘𝐴) ⊆ No)
8		velsn 4596	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
9		rightval 28245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (R‘𝐴) = {𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ No → (R‘𝐴) = {𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦})
11	10	eleq2d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ (R‘𝐴) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}))
12		rabid 3432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦} ↔ (𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦))
13	11, 12	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ (R‘𝐴) ↔ (𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦)))
14	13	simplbda 505	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ (R‘𝐴)) → 𝐴 <s 𝑦)
15		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝐴 <s 𝑦))
16	14, 15	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ (R‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦))
17	16	expd 421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ (R‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
18	8, 17	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ (R‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
19	18	3imp21 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ (R‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦)
20	2, 3, 4, 7, 19	sltsd 28163	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s (R‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450  𝒫 cpw 4556  {csn 4584   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  Nocsur 28006   <s clts 28007  bdaycbday 28008   <<s cslts 28152  Ocold 28218  Rcright 28221

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-1o 8483  df-2o 8484  df-no 28009  df-lts 28010  df-bday 28011  df-slts 28153  df-cuts 28155  df-made 28222  df-old 28223  df-right 28226

This theorem is used by:  lltr  28257  madebdaylemlrcut  28294  mulsproplem5  28515  mulsproplem6  28516  mulsproplem7  28517  mulsproplem8  28518  mulsuniflem  28544