Theorem sltsright 28304

Description: A surreal is less than its right options. Theorem 0(i) of [Conway] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sltsright	⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s (R‘𝐴))

Proof of Theorem sltsright

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5404	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ∈ V)
3		fvexd 6931	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (R‘𝐴) ∈ V)
4		snssi 4748	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} ⊆ No)
5		rightf 28299	. . . 4 ⊢ R:No⟶𝒫 No
6	5	ffvelcdmi 7115	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (R‘𝐴) ∈ 𝒫 No)
7	6	elpwid 4569	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (R‘𝐴) ⊆ No)
8		velsn 4600	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
9		rightval 28293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (R‘𝐴) = {𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}
10	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ No → (R‘𝐴) = {𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦})
11	10	eleq2d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ (R‘𝐴) ↔ 𝑦 ∈ {𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦}))
12		rabid 3436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑦} ↔ (𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦))
13	11, 12	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ (R‘𝐴) ↔ (𝑦 ∈ (O‘(bday‘𝐴)) ∧ 𝐴 <s 𝑦)))
14	13	simplbda 505	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ (R‘𝐴)) → 𝐴 <s 𝑦)
15		breq1 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <s 𝑦 ↔ 𝐴 <s 𝑦))
16	14, 15	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ (R‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦))
17	16	expd 421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ (R‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
18	8, 17	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝐴 ∈ No → (𝑦 ∈ (R‘𝐴) → 𝑥 <s 𝑦)))
19	18	3imp21 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑦 ∈ (R‘𝐴)) → 𝑥 <s 𝑦)
20	2, 3, 4, 7, 19	sltsd 28211	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝐴} <<s (R‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454  𝒫 cpw 4560  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  Nocsur 28054   <s clts 28055  bdaycbday 28056   <<s cslts 28200  Ocold 28266  Rcright 28269

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-1o 8514  df-2o 8515  df-no 28057  df-lts 28058  df-bday 28059  df-slts 28201  df-cuts 28203  df-made 28270  df-old 28271  df-right 28274

This theorem is used by:  lltr  28305  madebdaylemlrcut  28342  mulsproplem5  28563  mulsproplem6  28564  mulsproplem7  28565  mulsproplem8  28566  mulsuniflem  28592