| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | eleq1 2829 |
. . . . 5
⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓 ∈ No
↔ 𝐴 ∈ No )) |
| 2 | 1 | anbi1d 631 |
. . . 4
⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓 ∈ No
∧ 𝑔 ∈ No ) ↔ (𝐴 ∈ No
∧ 𝑔 ∈ No ))) |
| 3 | | fveq1 6905 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘𝑦) = (𝐴‘𝑦)) |
| 4 | 3 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ↔ (𝐴‘𝑦) = (𝑔‘𝑦))) |
| 5 | 4 | ralbidv 3178 |
. . . . . 6
⊢ (𝑓 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴‘𝑦) = (𝑔‘𝑦))) |
| 6 | | fveq1 6905 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓‘𝑥) = (𝐴‘𝑥)) |
| 7 | 6 | breq1d 5153 |
. . . . . 6
⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝑓‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝑔‘𝑥) ↔ (𝐴‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝑔‘𝑥))) |
| 8 | 5, 7 | anbi12d 632 |
. . . . 5
⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝑔‘𝑥)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝐴‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝑔‘𝑥)))) |
| 9 | 8 | rexbidv 3179 |
. . . 4
⊢ (𝑓 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝑔‘𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝐴‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝑔‘𝑥)))) |
| 10 | 2, 9 | anbi12d 632 |
. . 3
⊢ (𝑓 = 𝐴 → (((𝑓 ∈ No
∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝑔‘𝑥))) ↔ ((𝐴 ∈ No
∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝐴‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝑔‘𝑥))))) |
| 11 | | eleq1 2829 |
. . . . 5
⊢ (𝑔 = 𝐵 → (𝑔 ∈ No
↔ 𝐵 ∈ No )) |
| 12 | 11 | anbi2d 630 |
. . . 4
⊢ (𝑔 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ No
∧ 𝑔 ∈ No ) ↔ (𝐴 ∈ No
∧ 𝐵 ∈ No ))) |
| 13 | | fveq1 6905 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = 𝐵 → (𝑔‘𝑦) = (𝐵‘𝑦)) |
| 14 | 13 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = 𝐵 → ((𝐴‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ↔ (𝐴‘𝑦) = (𝐵‘𝑦))) |
| 15 | 14 | ralbidv 3178 |
. . . . . 6
⊢ (𝑔 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴‘𝑦) = (𝐵‘𝑦))) |
| 16 | | fveq1 6905 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = 𝐵 → (𝑔‘𝑥) = (𝐵‘𝑥)) |
| 17 | 16 | breq2d 5155 |
. . . . . 6
⊢ (𝑔 = 𝐵 → ((𝐴‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝑔‘𝑥) ↔ (𝐴‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝐵‘𝑥))) |
| 18 | 15, 17 | anbi12d 632 |
. . . . 5
⊢ (𝑔 = 𝐵 → ((∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝐴‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝑔‘𝑥)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴‘𝑦) = (𝐵‘𝑦) ∧ (𝐴‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝐵‘𝑥)))) |
| 19 | 18 | rexbidv 3179 |
. . . 4
⊢ (𝑔 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝐴‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝑔‘𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴‘𝑦) = (𝐵‘𝑦) ∧ (𝐴‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝐵‘𝑥)))) |
| 20 | 12, 19 | anbi12d 632 |
. . 3
⊢ (𝑔 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ No
∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝐴‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝑔‘𝑥))) ↔ ((𝐴 ∈ No
∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴‘𝑦) = (𝐵‘𝑦) ∧ (𝐴‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝐵‘𝑥))))) |
| 21 | | df-slt 27688 |
. . 3
⊢ <s =
{〈𝑓, 𝑔〉 ∣ ((𝑓 ∈
No ∧ 𝑔 ∈
No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝑔‘𝑥)))} |
| 22 | 10, 20, 21 | brabg 5544 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈
No ∧ 𝐵 ∈
No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ No
∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴‘𝑦) = (𝐵‘𝑦) ∧ (𝐴‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝐵‘𝑥))))) |
| 23 | 22 | bianabs 541 |
1
⊢ ((𝐴 ∈
No ∧ 𝐵 ∈
No ) → (𝐴 <s 𝐵 ↔ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴‘𝑦) = (𝐵‘𝑦) ∧ (𝐴‘𝑥){〈1o, ∅〉,
〈1o, 2o〉, 〈∅, 2o〉}
(𝐵‘𝑥)))) |