Theorem bdayval 27849

Description: The value of the birthday function within the surreals. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
bdayval	⊢ (𝐴 ∈ No → ( bday ‘𝐴) = dom 𝐴)

Proof of Theorem bdayval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmexg 7907	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → dom 𝐴 ∈ V)
2		dmeq 5898	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → dom 𝑥 = dom 𝐴)
3		df-bday 27846	. . 3 ⊢ bday = (𝑥 ∈ No ↦ dom 𝑥)
4	2, 3	fvmptg 6994	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ dom 𝐴 ∈ V) → ( bday ‘𝐴) = dom 𝐴)
5	1, 4	mpdan 700	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( bday ‘𝐴) = dom 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  dom cdm 5666  ‘cfv 6543   No csur 27841   bday cbday 27843

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-bday 27846

This theorem is used by:  nofnbday  27853  fvnobday  27879  nodenselem5  27889  nodense  27893  nosupno  27904  nosupbday  27906  noinfno  27919  noinfbday  27921  noetasuplem4  27937  noetainflem4  27941  onnobdayg  44197  bdaybndex  44198  bdaybndbday  44199