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Theorem noinfbnd2lem1 27789
Description: Bounding law from below when a set of surreals has a minimum. (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
noinfbnd2lem1 (((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) → ¬ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) <s (𝑍 ↾ suc dom 𝑈))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑏   𝑈,𝑏   𝑍,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝑈(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑏)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem noinfbnd2lem1
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5151 . . 3 (𝑏 = 𝑈 → (𝑍 <s 𝑏𝑍 <s 𝑈))
2 simp3 1137 . . 3 (((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) → ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏)
3 simp1l 1196 . . 3 (((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) → 𝑈𝐵)
41, 2, 3rspcdva 3622 . 2 (((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) → 𝑍 <s 𝑈)
5 simpl21 1250 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → 𝐵 No )
6 simpl1l 1223 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → 𝑈𝐵)
75, 6sseldd 3995 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → 𝑈 No )
8 nodmon 27709 . . . . . . . . . 10 (𝑈 No → dom 𝑈 ∈ On)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → dom 𝑈 ∈ On)
10 onelon 6410 . . . . . . . . 9 ((dom 𝑈 ∈ On ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ On)
119, 10sylan 580 . . . . . . . 8 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ On)
12 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)})
13 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈)
149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → dom 𝑈 ∈ On)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → dom 𝑈 ∈ On)
16 ontr1 6431 . . . . . . . . . . . . 13 (dom 𝑈 ∈ On → ((𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → 𝑞 ∈ dom 𝑈))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → ((𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → 𝑞 ∈ dom 𝑈))
1812, 13, 17mp2and 699 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → 𝑞 ∈ dom 𝑈)
1918fvresd 6926 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑍𝑞))
20 onelon 6410 . . . . . . . . . . . . 13 (( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ On ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → 𝑞 ∈ On)
2111, 20sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → 𝑞 ∈ On)
22 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑞 → (𝑈𝑥) = (𝑈𝑞))
23 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑞 → (𝑍𝑥) = (𝑍𝑞))
2422, 23neeq12d 2999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑞 → ((𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥) ↔ (𝑈𝑞) ≠ (𝑍𝑞)))
2524onnminsb 7818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ On → (𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} → ¬ (𝑈𝑞) ≠ (𝑍𝑞)))
2621, 12, 25sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → ¬ (𝑈𝑞) ≠ (𝑍𝑞))
27 df-ne 2938 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈𝑞) ≠ (𝑍𝑞) ↔ ¬ (𝑈𝑞) = (𝑍𝑞))
2827con2bii 357 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈𝑞) = (𝑍𝑞) ↔ ¬ (𝑈𝑞) ≠ (𝑍𝑞))
2926, 28sylibr 234 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → (𝑈𝑞) = (𝑍𝑞))
3019, 29eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 ((((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞))
3130ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ∀𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞))
32 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈)
3332fvresd 6926 . . . . . . . . 9 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) = (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}))
34 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → 𝑍 <s 𝑈)
35 simpl23 1252 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → 𝑍 No )
367adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → 𝑈 No )
37 sltval2 27715 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 No 𝑈 No ) → (𝑍 <s 𝑈 ↔ (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)})))
3835, 36, 37syl2an2r 685 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (𝑍 <s 𝑈 ↔ (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)})))
3934, 38mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)}))
40 necom 2991 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥) ↔ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥))
4140rabbii 3438 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)}
4241inteqi 4954 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)}
4342fveq2i 6909 . . . . . . . . . 10 (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) = (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)})
4442fveq2i 6909 . . . . . . . . . 10 (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) = (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)})
4539, 43, 443brtr4g 5181 . . . . . . . . 9 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}))
4633, 45eqbrtrd 5169 . . . . . . . 8 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}))
47 raleq 3320 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} → (∀𝑞𝑝 ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞) ↔ ∀𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞)))
48 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} → ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑝) = ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}))
49 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} → (𝑈𝑝) = (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}))
5048, 49breq12d 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} → (((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑝){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈𝑝) ↔ ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)})))
5147, 50anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑝 = {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} → ((∀𝑞𝑝 ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞) ∧ ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑝){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈𝑝)) ↔ (∀𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞) ∧ ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}))))
5251rspcev 3621 . . . . . . . 8 (( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ On ∧ (∀𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞) ∧ ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}))) → ∃𝑝 ∈ On (∀𝑞𝑝 ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞) ∧ ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑝){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈𝑝)))
5311, 31, 46, 52syl12anc 837 . . . . . . 7 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ∃𝑝 ∈ On (∀𝑞𝑝 ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞) ∧ ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑝){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈𝑝)))
54 noreson 27719 . . . . . . . . 9 ((𝑍 No ∧ dom 𝑈 ∈ On) → (𝑍 ↾ dom 𝑈) ∈ No )
5535, 9, 54syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → (𝑍 ↾ dom 𝑈) ∈ No )
56 sltval 27706 . . . . . . . 8 (((𝑍 ↾ dom 𝑈) ∈ No 𝑈 No ) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈) <s 𝑈 ↔ ∃𝑝 ∈ On (∀𝑞𝑝 ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞) ∧ ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑝){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈𝑝))))
5755, 36, 56syl2an2r 685 . . . . . . 7 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈) <s 𝑈 ↔ ∃𝑝 ∈ On (∀𝑞𝑝 ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞) ∧ ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑝){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈𝑝))))
5853, 57mpbird 257 . . . . . 6 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (𝑍 ↾ dom 𝑈) <s 𝑈)
59 sssucid 6465 . . . . . . 7 dom 𝑈 ⊆ suc dom 𝑈
60 resabs1 6026 . . . . . . 7 (dom 𝑈 ⊆ suc dom 𝑈 → ((𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ↾ dom 𝑈) = (𝑍 ↾ dom 𝑈))
6159, 60mp1i 13 . . . . . 6 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ↾ dom 𝑈) = (𝑍 ↾ dom 𝑈))
62 resundir 6014 . . . . . . 7 ((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) ↾ dom 𝑈) = ((𝑈 ↾ dom 𝑈) ∪ ({⟨dom 𝑈, 1o⟩} ↾ dom 𝑈))
63 nofun 27708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 No → Fun 𝑈)
647, 63syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → Fun 𝑈)
65 funrel 6584 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝑈 → Rel 𝑈)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → Rel 𝑈)
6766adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → Rel 𝑈)
68 resdm 6045 . . . . . . . . . 10 (Rel 𝑈 → (𝑈 ↾ dom 𝑈) = 𝑈)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (𝑈 ↾ dom 𝑈) = 𝑈)
70 nodmord 27712 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 No → Ord dom 𝑈)
717, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → Ord dom 𝑈)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → Ord dom 𝑈)
73 ordirr 6403 . . . . . . . . . . 11 (Ord dom 𝑈 → ¬ dom 𝑈 ∈ dom 𝑈)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ¬ dom 𝑈 ∈ dom 𝑈)
75 1oex 8514 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
7675snres0 6319 . . . . . . . . . 10 (({⟨dom 𝑈, 1o⟩} ↾ dom 𝑈) = ∅ ↔ ¬ dom 𝑈 ∈ dom 𝑈)
7774, 76sylibr 234 . . . . . . . . 9 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ({⟨dom 𝑈, 1o⟩} ↾ dom 𝑈) = ∅)
7869, 77uneq12d 4178 . . . . . . . 8 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ((𝑈 ↾ dom 𝑈) ∪ ({⟨dom 𝑈, 1o⟩} ↾ dom 𝑈)) = (𝑈 ∪ ∅))
79 un0 4399 . . . . . . . 8 (𝑈 ∪ ∅) = 𝑈
8078, 79eqtrdi 2790 . . . . . . 7 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ((𝑈 ↾ dom 𝑈) ∪ ({⟨dom 𝑈, 1o⟩} ↾ dom 𝑈)) = 𝑈)
8162, 80eqtrid 2786 . . . . . 6 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) ↾ dom 𝑈) = 𝑈)
8258, 61, 813brtr4d 5179 . . . . 5 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ↾ dom 𝑈) <s ((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) ↾ dom 𝑈))
83 onsucb 7836 . . . . . . . . 9 (dom 𝑈 ∈ On ↔ suc dom 𝑈 ∈ On)
849, 83sylib 218 . . . . . . . 8 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → suc dom 𝑈 ∈ On)
85 noreson 27719 . . . . . . . 8 ((𝑍 No ∧ suc dom 𝑈 ∈ On) → (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ∈ No )
8635, 84, 85syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ∈ No )
8786adantr 480 . . . . . 6 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ∈ No )
8875prid1 4766 . . . . . . . . 9 1o ∈ {1o, 2o}
8988noextend 27725 . . . . . . . 8 (𝑈 No → (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) ∈ No )
907, 89syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) ∈ No )
9190adantr 480 . . . . . 6 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) ∈ No )
92 sltres 27721 . . . . . 6 (((𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ∈ No ∧ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) ∈ No ∧ dom 𝑈 ∈ On) → (((𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ↾ dom 𝑈) <s ((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) ↾ dom 𝑈) → (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩})))
9387, 91, 14, 92syl3anc 1370 . . . . 5 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (((𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ↾ dom 𝑈) <s ((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) ↾ dom 𝑈) → (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩})))
9482, 93mpd 15 . . . 4 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}))
95 sltso 27735 . . . . . 6 <s Or No
96 soasym 5628 . . . . . 6 (( <s Or No ∧ ((𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ∈ No ∧ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) ∈ No )) → ((𝑍 ↾ suc dom 𝑈) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) → ¬ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) <s (𝑍 ↾ suc dom 𝑈)))
9795, 96mpan 690 . . . . 5 (((𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ∈ No ∧ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) ∈ No ) → ((𝑍 ↾ suc dom 𝑈) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) → ¬ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) <s (𝑍 ↾ suc dom 𝑈)))
9886, 91, 97syl2an2r 685 . . . 4 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ suc dom 𝑈) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) → ¬ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) <s (𝑍 ↾ suc dom 𝑈)))
9994, 98mpd 15 . . 3 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ¬ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) <s (𝑍 ↾ suc dom 𝑈))
100 sonr 5620 . . . . . 6 (( <s Or No ∧ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) ∈ No ) → ¬ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}))
10195, 90, 100sylancr 587 . . . . 5 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → ¬ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}))
102101adantr 480 . . . 4 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ¬ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}))
103 df-suc 6391 . . . . . . . 8 suc dom 𝑈 = (dom 𝑈 ∪ {dom 𝑈})
104103reseq2i 5996 . . . . . . 7 (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) = (𝑍 ↾ (dom 𝑈 ∪ {dom 𝑈}))
105 resundi 6013 . . . . . . 7 (𝑍 ↾ (dom 𝑈 ∪ {dom 𝑈})) = ((𝑍 ↾ dom 𝑈) ∪ (𝑍 ↾ {dom 𝑈}))
106104, 105eqtri 2762 . . . . . 6 (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) = ((𝑍 ↾ dom 𝑈) ∪ (𝑍 ↾ {dom 𝑈}))
107 dmres 6031 . . . . . . . . 9 dom (𝑍 ↾ dom 𝑈) = (dom 𝑈 ∩ dom 𝑍)
10842eqeq1i 2739 . . . . . . . . . . . . 13 ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)} = dom 𝑈)
109108biimpi 216 . . . . . . . . . . . 12 ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)} = dom 𝑈)
110109adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)} = dom 𝑈)
11135adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → 𝑍 No )
1127adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → 𝑈 No )
113 simp23 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) → 𝑍 No )
114 sonr 5620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (( <s Or No 𝑍 No ) → ¬ 𝑍 <s 𝑍)
11595, 113, 114sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) → ¬ 𝑍 <s 𝑍)
116 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 = 𝑍 → (𝑍 <s 𝑈𝑍 <s 𝑍))
117116notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 = 𝑍 → (¬ 𝑍 <s 𝑈 ↔ ¬ 𝑍 <s 𝑍))
118115, 117syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) → (𝑈 = 𝑍 → ¬ 𝑍 <s 𝑈))
119118necon2ad 2952 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) → (𝑍 <s 𝑈𝑈𝑍))
120119imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → 𝑈𝑍)
121120necomd 2993 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → 𝑍𝑈)
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → 𝑍𝑈)
123 nosepssdm 27745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 No 𝑈 No 𝑍𝑈) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)} ⊆ dom 𝑍)
124111, 112, 122, 123syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)} ⊆ dom 𝑍)
125110, 124eqsstrrd 4034 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → dom 𝑈 ⊆ dom 𝑍)
126 dfss2 3980 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑈 ⊆ dom 𝑍 ↔ (dom 𝑈 ∩ dom 𝑍) = dom 𝑈)
127125, 126sylib 218 . . . . . . . . 9 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (dom 𝑈 ∩ dom 𝑍) = dom 𝑈)
128107, 127eqtrid 2786 . . . . . . . 8 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → dom (𝑍 ↾ dom 𝑈) = dom 𝑈)
129128eleq2d 2824 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑞 ∈ dom (𝑍 ↾ dom 𝑈) ↔ 𝑞 ∈ dom 𝑈))
130 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑈) → 𝑞 ∈ dom 𝑈)
131130fvresd 6926 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑍𝑞))
132112, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → dom 𝑈 ∈ On)
133 onelon 6410 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom 𝑈 ∈ On ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑈) → 𝑞 ∈ On)
134132, 133sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑈) → 𝑞 ∈ On)
135 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈)
136135eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ↔ 𝑞 ∈ dom 𝑈))
137136biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑈) → 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)})
138134, 137, 25sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑈) → ¬ (𝑈𝑞) ≠ (𝑍𝑞))
139 nesym 2994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈𝑞) ≠ (𝑍𝑞) ↔ ¬ (𝑍𝑞) = (𝑈𝑞))
140139con2bii 357 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍𝑞) = (𝑈𝑞) ↔ ¬ (𝑈𝑞) ≠ (𝑍𝑞))
141138, 140sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑈) → (𝑍𝑞) = (𝑈𝑞))
142131, 141eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞))
143142ex 412 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑞 ∈ dom 𝑈 → ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞)))
144129, 143sylbid 240 . . . . . . . . 9 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑞 ∈ dom (𝑍 ↾ dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞)))
145144ralrimiv 3142 . . . . . . . 8 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ∀𝑞 ∈ dom (𝑍 ↾ dom 𝑈)((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞))
146 nofun 27708 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 No → Fun 𝑍)
147111, 146syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → Fun 𝑍)
148147funresd 6610 . . . . . . . . 9 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → Fun (𝑍 ↾ dom 𝑈))
14964adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → Fun 𝑈)
150 eqfunfv 7055 . . . . . . . . 9 ((Fun (𝑍 ↾ dom 𝑈) ∧ Fun 𝑈) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈) = 𝑈 ↔ (dom (𝑍 ↾ dom 𝑈) = dom 𝑈 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑍 ↾ dom 𝑈)((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞))))
151148, 149, 150syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈) = 𝑈 ↔ (dom (𝑍 ↾ dom 𝑈) = dom 𝑈 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑍 ↾ dom 𝑈)((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞))))
152128, 145, 151mpbir2and 713 . . . . . . 7 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑍 ↾ dom 𝑈) = 𝑈)
15335, 146syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → Fun 𝑍)
154153funfnd 6598 . . . . . . . . 9 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → 𝑍 Fn dom 𝑍)
155 ndmfv 6941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ dom 𝑈 ∈ dom 𝑈 → (𝑈‘dom 𝑈) = ∅)
156 2on0 8520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2o ≠ ∅
157156necomi 2992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ∅ ≠ 2o
158 neeq1 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈‘dom 𝑈) = ∅ → ((𝑈‘dom 𝑈) ≠ 2o ↔ ∅ ≠ 2o))
159157, 158mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈‘dom 𝑈) = ∅ → (𝑈‘dom 𝑈) ≠ 2o)
160159neneqd 2942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈‘dom 𝑈) = ∅ → ¬ (𝑈‘dom 𝑈) = 2o)
161155, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ dom 𝑈 ∈ dom 𝑈 → ¬ (𝑈‘dom 𝑈) = 2o)
162112, 70, 73, 1614syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ¬ (𝑈‘dom 𝑈) = 2o)
163162intnand 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ¬ ((𝑍‘dom 𝑈) = ∅ ∧ (𝑈‘dom 𝑈) = 2o))
164 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → 𝑍 <s 𝑈)
16535, 7, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → (𝑍 <s 𝑈 ↔ (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)})))
166164, 165mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)}))
167166adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)}))
168110fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)}) = (𝑍‘dom 𝑈))
169110fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)}) = (𝑈‘dom 𝑈))
170167, 168, 1693brtr3d 5178 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑍‘dom 𝑈){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈‘dom 𝑈))
171 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍‘dom 𝑈) ∈ V
172 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈‘dom 𝑈) ∈ V
173171, 172brtp 5532 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍‘dom 𝑈){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑈‘dom 𝑈) ↔ (((𝑍‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑈‘dom 𝑈) = ∅) ∨ ((𝑍‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑈‘dom 𝑈) = 2o) ∨ ((𝑍‘dom 𝑈) = ∅ ∧ (𝑈‘dom 𝑈) = 2o)))
174170, 173sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (((𝑍‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑈‘dom 𝑈) = ∅) ∨ ((𝑍‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑈‘dom 𝑈) = 2o) ∨ ((𝑍‘dom 𝑈) = ∅ ∧ (𝑈‘dom 𝑈) = 2o)))
175 3orel3 1484 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ ((𝑍‘dom 𝑈) = ∅ ∧ (𝑈‘dom 𝑈) = 2o) → ((((𝑍‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑈‘dom 𝑈) = ∅) ∨ ((𝑍‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑈‘dom 𝑈) = 2o) ∨ ((𝑍‘dom 𝑈) = ∅ ∧ (𝑈‘dom 𝑈) = 2o)) → (((𝑍‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑈‘dom 𝑈) = ∅) ∨ ((𝑍‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑈‘dom 𝑈) = 2o))))
176163, 174, 175sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (((𝑍‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑈‘dom 𝑈) = ∅) ∨ ((𝑍‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑈‘dom 𝑈) = 2o)))
177 andi 1009 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑍‘dom 𝑈) = 1o ∧ ((𝑈‘dom 𝑈) = ∅ ∨ (𝑈‘dom 𝑈) = 2o)) ↔ (((𝑍‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑈‘dom 𝑈) = ∅) ∨ ((𝑍‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑈‘dom 𝑈) = 2o)))
178176, 177sylibr 234 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ((𝑍‘dom 𝑈) = 1o ∧ ((𝑈‘dom 𝑈) = ∅ ∨ (𝑈‘dom 𝑈) = 2o)))
179178simpld 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑍‘dom 𝑈) = 1o)
180 ndmfv 6941 . . . . . . . . . . . 12 (¬ dom 𝑈 ∈ dom 𝑍 → (𝑍‘dom 𝑈) = ∅)
181 1n0 8524 . . . . . . . . . . . . . . 15 1o ≠ ∅
182181necomi 2992 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ ≠ 1o
183 neeq1 3000 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍‘dom 𝑈) = ∅ → ((𝑍‘dom 𝑈) ≠ 1o ↔ ∅ ≠ 1o))
184182, 183mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍‘dom 𝑈) = ∅ → (𝑍‘dom 𝑈) ≠ 1o)
185184neneqd 2942 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍‘dom 𝑈) = ∅ → ¬ (𝑍‘dom 𝑈) = 1o)
186180, 185syl 17 . . . . . . . . . . 11 (¬ dom 𝑈 ∈ dom 𝑍 → ¬ (𝑍‘dom 𝑈) = 1o)
187186con4i 114 . . . . . . . . . 10 ((𝑍‘dom 𝑈) = 1o → dom 𝑈 ∈ dom 𝑍)
188179, 187syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → dom 𝑈 ∈ dom 𝑍)
189 fnressn 7177 . . . . . . . . 9 ((𝑍 Fn dom 𝑍 ∧ dom 𝑈 ∈ dom 𝑍) → (𝑍 ↾ {dom 𝑈}) = {⟨dom 𝑈, (𝑍‘dom 𝑈)⟩})
190154, 188, 189syl2an2r 685 . . . . . . . 8 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑍 ↾ {dom 𝑈}) = {⟨dom 𝑈, (𝑍‘dom 𝑈)⟩})
191179opeq2d 4884 . . . . . . . . 9 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ⟨dom 𝑈, (𝑍‘dom 𝑈)⟩ = ⟨dom 𝑈, 1o⟩)
192191sneqd 4642 . . . . . . . 8 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → {⟨dom 𝑈, (𝑍‘dom 𝑈)⟩} = {⟨dom 𝑈, 1o⟩})
193190, 192eqtrd 2774 . . . . . . 7 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑍 ↾ {dom 𝑈}) = {⟨dom 𝑈, 1o⟩})
194152, 193uneq12d 4178 . . . . . 6 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈) ∪ (𝑍 ↾ {dom 𝑈})) = (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}))
195106, 194eqtrid 2786 . . . . 5 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) = (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}))
196195breq2d 5159 . . . 4 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) <s (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ↔ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩})))
197102, 196mtbird 325 . . 3 (((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ¬ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) <s (𝑍 ↾ suc dom 𝑈))
198 nosepssdm 27745 . . . . 5 ((𝑈 No 𝑍 No 𝑈𝑍) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ⊆ dom 𝑈)
1997, 35, 120, 198syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ⊆ dom 𝑈)
200 nosepon 27724 . . . . . 6 ((𝑈 No 𝑍 No 𝑈𝑍) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ On)
2017, 35, 120, 200syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ On)
202 onsseleq 6426 . . . . 5 (( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ On ∧ dom 𝑈 ∈ On) → ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ⊆ dom 𝑈 ↔ ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈)))
203201, 9, 202syl2anc 584 . . . 4 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ⊆ dom 𝑈 ↔ ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈)))
204199, 203mpbid 232 . . 3 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈))
20599, 197, 204mpjaodan 960 . 2 ((((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) ∧ 𝑍 <s 𝑈) → ¬ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) <s (𝑍 ↾ suc dom 𝑈))
2064, 205mpdan 687 1 (((𝑈𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑈) ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉𝑍 No ) ∧ ∀𝑏𝐵 𝑍 <s 𝑏) → ¬ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 1o⟩}) <s (𝑍 ↾ suc dom 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630  {ctp 4634  cop 4636   cint 4950   class class class wbr 5147   Or wor 5595  dom cdm 5688  cres 5690  Rel wrel 5693  Ord word 6384  Oncon0 6385  suc csuc 6387  Fun wfun 6556   Fn wfn 6557  cfv 6562  1oc1o 8497  2oc2o 8498   No csur 27698   <s cslt 27699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-1o 8504  df-2o 8505  df-no 27701  df-slt 27702
This theorem is referenced by:  noinfbnd2  27790
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