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Theorem nosupbnd2lem1 27760
Description: Bounding law from above when a set of surreals has a maximum. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
nosupbnd2lem1 (((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑈,𝑎   𝑍,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑈(𝑦)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem nosupbnd2lem1
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 1198 . . 3 (((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → 𝑈𝐴)
2 simp3 1139 . . 3 (((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)
3 breq1 5146 . . . 4 (𝑎 = 𝑈 → (𝑎 <s 𝑍𝑈 <s 𝑍))
43rspcv 3618 . . 3 (𝑈𝐴 → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍𝑈 <s 𝑍))
51, 2, 4sylc 65 . 2 (((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → 𝑈 <s 𝑍)
6 simpl21 1252 . . . . 5 ((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) → 𝐴 No )
7 simpl1l 1225 . . . . 5 ((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) → 𝑈𝐴)
86, 7sseldd 3984 . . . 4 ((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) → 𝑈 No )
9 simpl23 1254 . . . 4 ((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) → 𝑍 No )
10 simp21 1207 . . . . . . . . . 10 (((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → 𝐴 No )
1110, 1sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → 𝑈 No )
12 sltso 27721 . . . . . . . . . 10 <s Or No
13 sonr 5616 . . . . . . . . . 10 (( <s Or No 𝑈 No ) → ¬ 𝑈 <s 𝑈)
1412, 13mpan 690 . . . . . . . . 9 (𝑈 No → ¬ 𝑈 <s 𝑈)
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ 𝑈 <s 𝑈)
16 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (𝑈 = 𝑍 → (𝑈 <s 𝑈𝑈 <s 𝑍))
1716notbid 318 . . . . . . . 8 (𝑈 = 𝑍 → (¬ 𝑈 <s 𝑈 ↔ ¬ 𝑈 <s 𝑍))
1815, 17syl5ibcom 245 . . . . . . 7 (((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → (𝑈 = 𝑍 → ¬ 𝑈 <s 𝑍))
1918con2d 134 . . . . . 6 (((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → (𝑈 <s 𝑍 → ¬ 𝑈 = 𝑍))
2019imp 406 . . . . 5 ((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) → ¬ 𝑈 = 𝑍)
2120neqned 2947 . . . 4 ((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) → 𝑈𝑍)
22 nosepssdm 27731 . . . 4 ((𝑈 No 𝑍 No 𝑈𝑍) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ⊆ dom 𝑈)
238, 9, 21, 22syl3anc 1373 . . 3 ((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ⊆ dom 𝑈)
24 nosepon 27710 . . . . . 6 ((𝑈 No 𝑍 No 𝑈𝑍) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ On)
258, 9, 21, 24syl3anc 1373 . . . . 5 ((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ On)
26 nodmon 27695 . . . . . 6 (𝑈 No → dom 𝑈 ∈ On)
278, 26syl 17 . . . . 5 ((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) → dom 𝑈 ∈ On)
28 onsseleq 6425 . . . . 5 (( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ On ∧ dom 𝑈 ∈ On) → ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ⊆ dom 𝑈 ↔ ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈)))
2925, 27, 28syl2anc 584 . . . 4 ((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) → ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ⊆ dom 𝑈 ↔ ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈)))
308adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → 𝑈 No )
319adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → 𝑍 No )
3221adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → 𝑈𝑍)
3330, 31, 32, 24syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ On)
34 onelon 6409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ On ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → 𝑞 ∈ On)
3533, 34sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → 𝑞 ∈ On)
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)})
37 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑞 → (𝑈𝑥) = (𝑈𝑞))
38 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑞 → (𝑍𝑥) = (𝑍𝑞))
3937, 38neeq12d 3002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑞 → ((𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥) ↔ (𝑈𝑞) ≠ (𝑍𝑞)))
4039onnminsb 7819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ On → (𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} → ¬ (𝑈𝑞) ≠ (𝑍𝑞)))
4135, 36, 40sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → ¬ (𝑈𝑞) ≠ (𝑍𝑞))
42 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈𝑞) ≠ (𝑍𝑞) ↔ ¬ (𝑈𝑞) = (𝑍𝑞))
4342con2bii 357 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈𝑞) = (𝑍𝑞) ↔ ¬ (𝑈𝑞) ≠ (𝑍𝑞))
4441, 43sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → (𝑈𝑞) = (𝑍𝑞))
45 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈)
4627adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → dom 𝑈 ∈ On)
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → dom 𝑈 ∈ On)
48 ontr1 6430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom 𝑈 ∈ On → ((𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → 𝑞 ∈ dom 𝑈))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → ((𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → 𝑞 ∈ dom 𝑈))
5036, 45, 49mp2and 699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → 𝑞 ∈ dom 𝑈)
5150fvresd 6926 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑍𝑞))
5244, 51eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) ∧ 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) → (𝑈𝑞) = ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞))
5352ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ∀𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} (𝑈𝑞) = ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞))
54 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → 𝑈 <s 𝑍)
55 sltval2 27701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 No 𝑍 No ) → (𝑈 <s 𝑍 ↔ (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)})))
5630, 31, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (𝑈 <s 𝑍 ↔ (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)})))
5754, 56mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}))
58 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈)
5958fvresd 6926 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) = (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}))
6057, 59breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}))
61 raleq 3323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} → (∀𝑞𝑝 (𝑈𝑞) = ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) ↔ ∀𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} (𝑈𝑞) = ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞)))
62 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} → (𝑈𝑝) = (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}))
63 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} → ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑝) = ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}))
6462, 63breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} → ((𝑈𝑝){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑝) ↔ (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)})))
6561, 64anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} → ((∀𝑞𝑝 (𝑈𝑞) = ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) ∧ (𝑈𝑝){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑝)) ↔ (∀𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} (𝑈𝑞) = ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) ∧ (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}))))
6665rspcev 3622 . . . . . . . . . . 11 (( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ On ∧ (∀𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} (𝑈𝑞) = ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) ∧ (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}))) → ∃𝑝 ∈ On (∀𝑞𝑝 (𝑈𝑞) = ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) ∧ (𝑈𝑝){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑝)))
6733, 53, 60, 66syl12anc 837 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ∃𝑝 ∈ On (∀𝑞𝑝 (𝑈𝑞) = ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) ∧ (𝑈𝑝){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑝)))
68 noreson 27705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍 No ∧ dom 𝑈 ∈ On) → (𝑍 ↾ dom 𝑈) ∈ No )
6931, 46, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (𝑍 ↾ dom 𝑈) ∈ No )
70 sltval 27692 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 No ∧ (𝑍 ↾ dom 𝑈) ∈ No ) → (𝑈 <s (𝑍 ↾ dom 𝑈) ↔ ∃𝑝 ∈ On (∀𝑞𝑝 (𝑈𝑞) = ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) ∧ (𝑈𝑝){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑝))))
7130, 69, 70syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (𝑈 <s (𝑍 ↾ dom 𝑈) ↔ ∃𝑝 ∈ On (∀𝑞𝑝 (𝑈𝑞) = ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) ∧ (𝑈𝑝){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑝))))
7267, 71mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → 𝑈 <s (𝑍 ↾ dom 𝑈))
73 df-res 5697 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨dom 𝑈, 2o⟩} ↾ dom 𝑈) = ({⟨dom 𝑈, 2o⟩} ∩ (dom 𝑈 × V))
74 2on 8520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2o ∈ On
75 xpsng 7159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom 𝑈 ∈ On ∧ 2o ∈ On) → ({dom 𝑈} × {2o}) = {⟨dom 𝑈, 2o⟩})
7646, 74, 75sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ({dom 𝑈} × {2o}) = {⟨dom 𝑈, 2o⟩})
7776ineq1d 4219 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (({dom 𝑈} × {2o}) ∩ (dom 𝑈 × V)) = ({⟨dom 𝑈, 2o⟩} ∩ (dom 𝑈 × V)))
78 incom 4209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ({dom 𝑈} ∩ dom 𝑈) = (dom 𝑈 ∩ {dom 𝑈})
79 nodmord 27698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 No → Ord dom 𝑈)
80 ordirr 6402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ord dom 𝑈 → ¬ dom 𝑈 ∈ dom 𝑈)
8130, 79, 803syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ¬ dom 𝑈 ∈ dom 𝑈)
82 disjsn 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((dom 𝑈 ∩ {dom 𝑈}) = ∅ ↔ ¬ dom 𝑈 ∈ dom 𝑈)
8381, 82sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (dom 𝑈 ∩ {dom 𝑈}) = ∅)
8478, 83eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ({dom 𝑈} ∩ dom 𝑈) = ∅)
85 xpdisj1 6181 . . . . . . . . . . . . . . 15 (({dom 𝑈} ∩ dom 𝑈) = ∅ → (({dom 𝑈} × {2o}) ∩ (dom 𝑈 × V)) = ∅)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (({dom 𝑈} × {2o}) ∩ (dom 𝑈 × V)) = ∅)
8777, 86eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ({⟨dom 𝑈, 2o⟩} ∩ (dom 𝑈 × V)) = ∅)
8873, 87eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ({⟨dom 𝑈, 2o⟩} ↾ dom 𝑈) = ∅)
8988uneq2d 4168 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ((𝑈 ↾ dom 𝑈) ∪ ({⟨dom 𝑈, 2o⟩} ↾ dom 𝑈)) = ((𝑈 ↾ dom 𝑈) ∪ ∅))
90 resundir 6012 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) ↾ dom 𝑈) = ((𝑈 ↾ dom 𝑈) ∪ ({⟨dom 𝑈, 2o⟩} ↾ dom 𝑈))
91 un0 4394 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ↾ dom 𝑈) ∪ ∅) = (𝑈 ↾ dom 𝑈)
9291eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ↾ dom 𝑈) = ((𝑈 ↾ dom 𝑈) ∪ ∅)
9389, 90, 923eqtr4g 2802 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) ↾ dom 𝑈) = (𝑈 ↾ dom 𝑈))
94 nofun 27694 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 No → Fun 𝑈)
95 funrel 6583 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝑈 → Rel 𝑈)
96 resdm 6044 . . . . . . . . . . 11 (Rel 𝑈 → (𝑈 ↾ dom 𝑈) = 𝑈)
9730, 94, 95, 964syl 19 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (𝑈 ↾ dom 𝑈) = 𝑈)
9893, 97eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) ↾ dom 𝑈) = 𝑈)
99 sssucid 6464 . . . . . . . . . 10 dom 𝑈 ⊆ suc dom 𝑈
100 resabs1 6024 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑈 ⊆ suc dom 𝑈 → ((𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ↾ dom 𝑈) = (𝑍 ↾ dom 𝑈))
10199, 100mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ↾ dom 𝑈) = (𝑍 ↾ dom 𝑈))
10272, 98, 1013brtr4d 5175 . . . . . . . 8 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) ↾ dom 𝑈) <s ((𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ↾ dom 𝑈))
10374elexi 3503 . . . . . . . . . . . . 13 2o ∈ V
104103prid2 4763 . . . . . . . . . . . 12 2o ∈ {1o, 2o}
105104noextend 27711 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 No → (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) ∈ No )
1068, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) → (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) ∈ No )
107106adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) ∈ No )
108 onsucb 7837 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝑈 ∈ On ↔ suc dom 𝑈 ∈ On)
10927, 108sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) → suc dom 𝑈 ∈ On)
110 noreson 27705 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 No ∧ suc dom 𝑈 ∈ On) → (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ∈ No )
1119, 109, 110syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) → (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ∈ No )
112111adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ∈ No )
113 sltres 27707 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) ∈ No ∧ (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ∈ No ∧ dom 𝑈 ∈ On) → (((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) ↾ dom 𝑈) <s ((𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ↾ dom 𝑈) → (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) <s (𝑍 ↾ suc dom 𝑈)))
114107, 112, 46, 113syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) ↾ dom 𝑈) <s ((𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ↾ dom 𝑈) → (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) <s (𝑍 ↾ suc dom 𝑈)))
115102, 114mpd 15 . . . . . . 7 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) <s (𝑍 ↾ suc dom 𝑈))
116 soasym 5625 . . . . . . . . 9 (( <s Or No ∧ ((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) ∈ No ∧ (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ∈ No )) → ((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) <s (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩})))
11712, 116mpan 690 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) ∈ No ∧ (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) ∈ No ) → ((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) <s (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩})))
118107, 112, 117syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) <s (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩})))
119115, 118mpd 15 . . . . . 6 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}))
120 df-suc 6390 . . . . . . . . . 10 suc dom 𝑈 = (dom 𝑈 ∪ {dom 𝑈})
121120reseq2i 5994 . . . . . . . . 9 (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) = (𝑍 ↾ (dom 𝑈 ∪ {dom 𝑈}))
122 resundi 6011 . . . . . . . . 9 (𝑍 ↾ (dom 𝑈 ∪ {dom 𝑈})) = ((𝑍 ↾ dom 𝑈) ∪ (𝑍 ↾ {dom 𝑈}))
123121, 122eqtri 2765 . . . . . . . 8 (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) = ((𝑍 ↾ dom 𝑈) ∪ (𝑍 ↾ {dom 𝑈}))
124 dmres 6030 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑍 ↾ dom 𝑈) = (dom 𝑈 ∩ dom 𝑍)
125 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈)
126 necom 2994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥) ↔ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥))
127126rabbii 3442 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)}
128127inteqi 4950 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)}
1299adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → 𝑍 No )
1308adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → 𝑈 No )
13121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → 𝑈𝑍)
132131necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → 𝑍𝑈)
133 nosepssdm 27731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍 No 𝑈 No 𝑍𝑈) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)} ⊆ dom 𝑍)
134129, 130, 132, 133syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑍𝑥) ≠ (𝑈𝑥)} ⊆ dom 𝑍)
135128, 134eqsstrid 4022 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ⊆ dom 𝑍)
136125, 135eqsstrrd 4019 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → dom 𝑈 ⊆ dom 𝑍)
137 dfss2 3969 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝑈 ⊆ dom 𝑍 ↔ (dom 𝑈 ∩ dom 𝑍) = dom 𝑈)
138136, 137sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (dom 𝑈 ∩ dom 𝑍) = dom 𝑈)
139124, 138eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → dom (𝑍 ↾ dom 𝑈) = dom 𝑈)
140139eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑞 ∈ dom (𝑍 ↾ dom 𝑈) ↔ 𝑞 ∈ dom 𝑈))
141 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑈) → 𝑞 ∈ dom 𝑈)
142141fvresd 6926 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑍𝑞))
143130, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → dom 𝑈 ∈ On)
144 onelon 6409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((dom 𝑈 ∈ On ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑈) → 𝑞 ∈ On)
145143, 144sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑈) → 𝑞 ∈ On)
146125eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ↔ 𝑞 ∈ dom 𝑈))
147146biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑈) → 𝑞 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)})
148145, 147, 40sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑈) → ¬ (𝑈𝑞) ≠ (𝑍𝑞))
149 nesym 2997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈𝑞) ≠ (𝑍𝑞) ↔ ¬ (𝑍𝑞) = (𝑈𝑞))
150149con2bii 357 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍𝑞) = (𝑈𝑞) ↔ ¬ (𝑈𝑞) ≠ (𝑍𝑞))
151148, 150sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑈) → (𝑍𝑞) = (𝑈𝑞))
152142, 151eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞))
153152ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑞 ∈ dom 𝑈 → ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞)))
154140, 153sylbid 240 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑞 ∈ dom (𝑍 ↾ dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞)))
155154ralrimiv 3145 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ∀𝑞 ∈ dom (𝑍 ↾ dom 𝑈)((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞))
156 nofun 27694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍 No → Fun 𝑍)
157 funres 6608 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝑍 → Fun (𝑍 ↾ dom 𝑈))
158129, 156, 1573syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → Fun (𝑍 ↾ dom 𝑈))
159130, 94syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → Fun 𝑈)
160 eqfunfv 7056 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (𝑍 ↾ dom 𝑈) ∧ Fun 𝑈) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈) = 𝑈 ↔ (dom (𝑍 ↾ dom 𝑈) = dom 𝑈 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑍 ↾ dom 𝑈)((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞))))
161158, 159, 160syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈) = 𝑈 ↔ (dom (𝑍 ↾ dom 𝑈) = dom 𝑈 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑍 ↾ dom 𝑈)((𝑍 ↾ dom 𝑈)‘𝑞) = (𝑈𝑞))))
162139, 155, 161mpbir2and 713 . . . . . . . . 9 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑍 ↾ dom 𝑈) = 𝑈)
163129, 156syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → Fun 𝑍)
164 funfn 6596 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝑍𝑍 Fn dom 𝑍)
165163, 164sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → 𝑍 Fn dom 𝑍)
166 1oex 8516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1o ∈ V
167166prid1 4762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1o ∈ {1o, 2o}
168167nosgnn0i 27704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ∅ ≠ 1o
169 ndmfv 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ dom 𝑈 ∈ dom 𝑈 → (𝑈‘dom 𝑈) = ∅)
170130, 79, 80, 1694syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑈‘dom 𝑈) = ∅)
171170neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ((𝑈‘dom 𝑈) ≠ 1o ↔ ∅ ≠ 1o))
172168, 171mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑈‘dom 𝑈) ≠ 1o)
173172neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ¬ (𝑈‘dom 𝑈) = 1o)
174173intnanrd 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ¬ ((𝑈‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = ∅))
175173intnanrd 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ¬ ((𝑈‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o))
176 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → 𝑈 <s 𝑍)
177130, 129, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑈 <s 𝑍 ↔ (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)})))
178176, 177mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}))
179 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈 → (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) = (𝑈‘dom 𝑈))
180179adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) = (𝑈‘dom 𝑈))
181 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈 → (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) = (𝑍‘dom 𝑈))
182181adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑍 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)}) = (𝑍‘dom 𝑈))
183178, 180, 1823brtr3d 5174 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑈‘dom 𝑈){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑍‘dom 𝑈))
184 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈‘dom 𝑈) ∈ V
185 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑍‘dom 𝑈) ∈ V
186184, 185brtp 5528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈‘dom 𝑈){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑍‘dom 𝑈) ↔ (((𝑈‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = ∅) ∨ ((𝑈‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o) ∨ ((𝑈‘dom 𝑈) = ∅ ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o)))
187 3orrot 1092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑈‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = ∅) ∨ ((𝑈‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o) ∨ ((𝑈‘dom 𝑈) = ∅ ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o)) ↔ (((𝑈‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o) ∨ ((𝑈‘dom 𝑈) = ∅ ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o) ∨ ((𝑈‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = ∅)))
188 3orrot 1092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑈‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o) ∨ ((𝑈‘dom 𝑈) = ∅ ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o) ∨ ((𝑈‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = ∅)) ↔ (((𝑈‘dom 𝑈) = ∅ ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o) ∨ ((𝑈‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = ∅) ∨ ((𝑈‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o)))
189186, 187, 1883bitri 297 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈‘dom 𝑈){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑍‘dom 𝑈) ↔ (((𝑈‘dom 𝑈) = ∅ ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o) ∨ ((𝑈‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = ∅) ∨ ((𝑈‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o)))
190183, 189sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (((𝑈‘dom 𝑈) = ∅ ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o) ∨ ((𝑈‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = ∅) ∨ ((𝑈‘dom 𝑈) = 1o ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o)))
191174, 175, 190ecase23d 1475 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ((𝑈‘dom 𝑈) = ∅ ∧ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o))
192191simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑍‘dom 𝑈) = 2o)
193 ndmfv 6941 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ dom 𝑈 ∈ dom 𝑍 → (𝑍‘dom 𝑈) = ∅)
194104nosgnn0i 27704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ∅ ≠ 2o
195 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑍‘dom 𝑈) = ∅ → ((𝑍‘dom 𝑈) ≠ 2o ↔ ∅ ≠ 2o))
196194, 195mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍‘dom 𝑈) = ∅ → (𝑍‘dom 𝑈) ≠ 2o)
197196neneqd 2945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑍‘dom 𝑈) = ∅ → ¬ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o)
198193, 197syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ dom 𝑈 ∈ dom 𝑍 → ¬ (𝑍‘dom 𝑈) = 2o)
199198con4i 114 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍‘dom 𝑈) = 2o → dom 𝑈 ∈ dom 𝑍)
200192, 199syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → dom 𝑈 ∈ dom 𝑍)
201 fnressn 7178 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 Fn dom 𝑍 ∧ dom 𝑈 ∈ dom 𝑍) → (𝑍 ↾ {dom 𝑈}) = {⟨dom 𝑈, (𝑍‘dom 𝑈)⟩})
202165, 200, 201syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑍 ↾ {dom 𝑈}) = {⟨dom 𝑈, (𝑍‘dom 𝑈)⟩})
203192opeq2d 4880 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ⟨dom 𝑈, (𝑍‘dom 𝑈)⟩ = ⟨dom 𝑈, 2o⟩)
204203sneqd 4638 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → {⟨dom 𝑈, (𝑍‘dom 𝑈)⟩} = {⟨dom 𝑈, 2o⟩})
205202, 204eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑍 ↾ {dom 𝑈}) = {⟨dom 𝑈, 2o⟩})
206162, 205uneq12d 4169 . . . . . . . 8 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ((𝑍 ↾ dom 𝑈) ∪ (𝑍 ↾ {dom 𝑈})) = (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}))
207123, 206eqtrid 2789 . . . . . . 7 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) = (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}))
208 sonr 5616 . . . . . . . . 9 (( <s Or No ∧ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) ∈ No ) → ¬ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}))
20912, 208mpan 690 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) ∈ No → ¬ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}))
210130, 105, 2093syl 18 . . . . . . 7 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ¬ (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}))
211207, 210eqnbrtrd 5161 . . . . . 6 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}))
212119, 211jaodan 960 . . . . 5 (((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) ∧ ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈)) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}))
213212ex 412 . . . 4 ((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) → (( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ∈ dom 𝑈 {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} = dom 𝑈) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩})))
21429, 213sylbid 240 . . 3 ((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) → ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝑈𝑥) ≠ (𝑍𝑥)} ⊆ dom 𝑈 → ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩})))
21523, 214mpd 15 . 2 ((((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) ∧ 𝑈 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}))
2165, 215mpdan 687 1 (((𝑈𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑈 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑈) <s (𝑈 ∪ {⟨dom 𝑈, 2o⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  {ctp 4630  cop 4632   cint 4946   class class class wbr 5143   Or wor 5591   × cxp 5683  dom cdm 5685  cres 5687  Rel wrel 5690  Ord word 6383  Oncon0 6384  suc csuc 6386  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  cfv 6561  1oc1o 8499  2oc2o 8500   No csur 27684   <s cslt 27685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-1o 8506  df-2o 8507  df-no 27687  df-slt 27688
This theorem is referenced by:  nosupbnd2  27761
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