Theorem soasym 5572

Description: Asymmetry law for strict orderings. (Contributed by Scott Fenton, 24-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
soasym	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → (𝑋𝑅𝑌 → ¬ 𝑌𝑅𝑋))

Proof of Theorem soasym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sotric 5569	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → (𝑋𝑅𝑌 ↔ ¬ (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑌𝑅𝑋)))
2		pm2.46 883	. 2 ⊢ (¬ (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑌𝑅𝑋) → ¬ 𝑌𝑅𝑋)
3	1, 2	biimtrdi 253	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴)) → (𝑋𝑅𝑌 → ¬ 𝑌𝑅𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085   Or wor 5538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-br 5086  df-po 5539  df-so 5540

This theorem is referenced by:  fiinfg  9414  noresle  27661  nosupprefixmo  27664  noinfprefixmo  27665  nosupbnd1lem1  27672  nosupbnd1lem4  27675  nosupbnd2lem1  27679  nosupbnd2  27680  noinfbnd1lem1  27687  noinfbnd1lem4  27690  noinfbnd2lem1  27694  noinfbnd2  27695  ltsasym  27712  or2expropbi  47482  prproropf1olem3  47965