Theorem sltasym 27831

Description: Surreal less-than is asymmetric. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
sltasym	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ¬ 𝐵 <s 𝐴))

Proof of Theorem sltasym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltso 27759	. 2 ⊢ <s Or No
2		soasym 5641	. 2 ⊢ (( <s Or No ∧ (𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No )) → (𝐴 <s 𝐵 → ¬ 𝐵 <s 𝐴))
3	1, 2	mpan 689	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 <s 𝐵 → ¬ 𝐵 <s 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5167   Or wor 5607   No csur 27722   <s cslt 27723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5318  ax-nul 5325  ax-pr 5448

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4933  df-br 5168  df-opab 5230  df-mpt 5251  df-tr 5285  df-id 5594  df-eprel 5600  df-po 5608  df-so 5609  df-fr 5653  df-we 5655  df-xp 5707  df-rel 5708  df-cnv 5709  df-co 5710  df-dm 5711  df-rn 5712  df-res 5713  df-ima 5714  df-ord 6401  df-on 6402  df-suc 6404  df-iota 6528  df-fun 6578  df-fn 6579  df-f 6580  df-fv 6584  df-1o 8525  df-2o 8526  df-no 27725  df-slt 27726

This theorem is referenced by:  sletric  27847  sltled  27852  right1s  27972  sltmul2  28235  elnnzs  28425