MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiinfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiinfg 9524
Description: Lemma showing existence and closure of infimum of a finite set. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
fiinfg ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fiinfg
StepHypRef Expression
1 fiming 9523 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦))
2 equcom 2013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑥)
3 sotrieq2 5620 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑦𝐴𝑥𝐴)) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ¬ 𝑥𝑅𝑦)))
43ancom2s 648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ¬ 𝑥𝑅𝑦)))
52, 4bitrid 282 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ¬ 𝑥𝑅𝑦)))
65simprbda 497 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ¬ 𝑦𝑅𝑥)
76ex 411 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
87anassrs 466 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
98a1dd 50 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) → ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
10 pm2.27 42 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦 → ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) → 𝑥𝑅𝑦))
11 soasym 5621 . . . . . . . . 9 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝑅𝑦 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1211anassrs 466 . . . . . . . 8 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑅𝑦 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1310, 12syl9r 78 . . . . . . 7 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 → ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) → ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
149, 13pm2.61dne 3017 . . . . . 6 (((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1514ralimdva 3156 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
16 breq1 5152 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑅𝑦𝑥𝑅𝑦))
1716rspcev 3606 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦)
1817ex 411 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦))
1918ralrimivw 3139 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦))
2019adantl 480 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) → ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦))
2115, 20jctird 525 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
2221reximdva 3157 . . 3 (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
23223ad2ant1 1130 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
241, 23mpd 15 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐴 𝑧𝑅𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  c0 4322   class class class wbr 5149   Or wor 5589  Fincfn 8964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-om 7872  df-en 8965  df-fin 8968
This theorem is referenced by:  fiinf2g  9525
  Copyright terms: Public domain W3C validator