Theorem fiinfg 9188

Description: Lemma showing existence and closure of infimum of a finite set. (Contributed by AV, 6-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fiinfg	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fiinfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiming 9187	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦))
2		equcom 2022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
3		sotrieq2 5524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ¬ 𝑥𝑅𝑦)))
4	3	ancom2s 646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ¬ 𝑥𝑅𝑦)))
5	2, 4	syl5bb 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ¬ 𝑥𝑅𝑦)))
6	5	simprbda 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ¬ 𝑦𝑅𝑥)
7	6	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
8	7	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
9	8	a1dd 50	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) → ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
10		pm2.27 42	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) → 𝑥𝑅𝑦))
11		soasym 5525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝑅𝑦 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
12	11	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥𝑅𝑦 → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13	10, 12	syl9r 78	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) → ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
14	9, 13	pm2.61dne 3030	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) → ¬ 𝑦𝑅𝑥))
15	14	ralimdva 3102	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
16		breq1 5073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑦))
17	16	rspcev 3552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)
18	17	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))
19	18	ralrimivw 3108	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))
21	15, 20	jctird 526	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
22	21	reximdva 3202	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
23	22	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥𝑅𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦))))
24	1, 23	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑧𝑅𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ∅c0 4253   class class class wbr 5070   Or wor 5493  Fincfn 8691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-om 7688  df-en 8692  df-fin 8695

This theorem is referenced by:  fiinf2g  9189