Theorem noinfbnd1lem4 27707

Description: Lemma for noinfbnd1 27710. If 𝑈 is a prolongment of 𝑇 and in 𝐵, then (𝑈‘dom 𝑇) is not undefined. (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
noinfbnd1.1	⊢ 𝑇 = if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
noinfbnd1lem4	⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) → (𝑈‘dom 𝑇) ≠ ∅)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑣,𝑈   𝑔,𝑉   𝑥,𝑈,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑈(𝑢,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem noinfbnd1lem4

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
2		simpl2 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
3		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → 𝑤 ∈ 𝐵)
4		simpl3 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))
5		simp2l 1201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) → 𝐵 ⊆ No )
6	5	sselda 3922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ No )
7		simp3l 1203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
8	5, 7	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) → 𝑈 ∈ No )
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ No )
10		ltsso 27657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ <s Or No
11		soasym 5566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (( <s Or No ∧ (𝑤 ∈ No ∧ 𝑈 ∈ No )) → (𝑤 <s 𝑈 → ¬ 𝑈 <s 𝑤))
12	10, 11	mpan 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ No ∧ 𝑈 ∈ No ) → (𝑤 <s 𝑈 → ¬ 𝑈 <s 𝑤))
13	6, 9, 12	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑤 <s 𝑈 → ¬ 𝑈 <s 𝑤))
14	13	impr 454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → ¬ 𝑈 <s 𝑤)
15	3, 14	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑤))
16		noinfbnd1.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
17	16	noinfbnd1lem2 27705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑤))) → (𝑤 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
18	1, 2, 4, 15, 17	syl112anc 1377	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → (𝑤 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
19	16	noinfbnd1lem3 27706	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑤 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) → (𝑤‘dom 𝑇) ≠ 1o)
20	1, 2, 3, 18, 19	syl112anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → (𝑤‘dom 𝑇) ≠ 1o)
21	20	neneqd 2938	. . . . . 6 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → ¬ (𝑤‘dom 𝑇) = 1o)
22	21	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑤 <s 𝑈 → ¬ (𝑤‘dom 𝑇) = 1o))
23		imnan 399	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 <s 𝑈 → ¬ (𝑤‘dom 𝑇) = 1o) ↔ ¬ (𝑤 <s 𝑈 ∧ (𝑤‘dom 𝑇) = 1o))
24	22, 23	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ¬ (𝑤 <s 𝑈 ∧ (𝑤‘dom 𝑇) = 1o))
25	24	nrexdv 3133	. . 3 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) → ¬ ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤 <s 𝑈 ∧ (𝑤‘dom 𝑇) = 1o))
26		breq2 5090	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (𝑦 <s 𝑥 ↔ 𝑦 <s 𝑈))
27	26	rexbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 <s 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 <s 𝑈))
28		simpl1 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
29		dfral2 3089	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 <s 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 <s 𝑥)
30		ralnex 3064	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 <s 𝑥)
31	30	rexbii 3085	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ¬ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 <s 𝑥)
32	29, 31	xchbinxr 335	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 <s 𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
33	28, 32	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 <s 𝑥)
34		simpl3l 1230	. . . . . 6 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) → 𝑈 ∈ 𝐵)
35	27, 33, 34	rspcdva 3566	. . . . 5 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 <s 𝑈)
36		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝑦 <s 𝑈 ↔ 𝑤 <s 𝑈))
37	36	cbvrexvw 3217	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 <s 𝑈 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 <s 𝑈)
38	35, 37	sylib 218	. . . 4 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 <s 𝑈)
39		simpl2l 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) → 𝐵 ⊆ No )
40	39	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → 𝐵 ⊆ No )
41		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → 𝑤 ∈ 𝐵)
42	40, 41	sseldd 3923	. . . . . . . 8 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → 𝑤 ∈ No )
43	34	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
44	40, 43	sseldd 3923	. . . . . . . 8 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → 𝑈 ∈ No )
45		simpl2 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) → (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
46	16	noinfno 27699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ No )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) → 𝑇 ∈ No )
48	47	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → 𝑇 ∈ No )
49		nodmon 27631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ No → dom 𝑇 ∈ On)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → dom 𝑇 ∈ On)
51		simpll1 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
52		simpll2 1215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
53		simpll3 1216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇))
54		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → 𝑤 <s 𝑈)
55	42, 44, 12	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → (𝑤 <s 𝑈 → ¬ 𝑈 <s 𝑤))
56	54, 55	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → ¬ 𝑈 <s 𝑤)
57	41, 56	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑈 <s 𝑤))
58	51, 52, 53, 57, 17	syl112anc 1377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → (𝑤 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
59		simpl3r 1231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) → (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
60	59	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)
61	58, 60	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → (𝑤 ↾ dom 𝑇) = (𝑈 ↾ dom 𝑇))
62		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → (𝑈‘dom 𝑇) = ∅)
63		nogt01o 27677	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 ∈ No ∧ 𝑈 ∈ No ∧ dom 𝑇 ∈ On) ∧ ((𝑤 ↾ dom 𝑇) = (𝑈 ↾ dom 𝑇) ∧ 𝑤 <s 𝑈) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) → (𝑤‘dom 𝑇) = 1o)
64	42, 44, 50, 61, 54, 62, 63	syl321anc 1395	. . . . . . 7 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ 𝑤 <s 𝑈)) → (𝑤‘dom 𝑇) = 1o)
65	64	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑤 <s 𝑈 → (𝑤‘dom 𝑇) = 1o))
66	65	ancld 550	. . . . 5 ⊢ ((((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → (𝑤 <s 𝑈 → (𝑤 <s 𝑈 ∧ (𝑤‘dom 𝑇) = 1o)))
67	66	reximdva 3151	. . . 4 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) → (∃𝑤 ∈ 𝐵 𝑤 <s 𝑈 → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤 <s 𝑈 ∧ (𝑤‘dom 𝑇) = 1o)))
68	38, 67	mpd 15	. . 3 ⊢ (((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) ∧ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑤 <s 𝑈 ∧ (𝑤‘dom 𝑇) = 1o))
69	25, 68	mtand 816	. 2 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) → ¬ (𝑈‘dom 𝑇) = ∅)
70	69	neqned 2940	1 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) = 𝑇)) → (𝑈‘dom 𝑇) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ifcif 4467  {csn 4568  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   Or wor 5532  dom cdm 5625   ↾ cres 5627  Oncon0 6318  suc csuc 6320  ℩cio 6447  ‘cfv 6493  ℩crio 7317  1_oc1o 8392   No csur 27620   <s clts 27621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fo 6499  df-fv 6501  df-riota 7318  df-1o 8399  df-2o 8400  df-no 27623  df-lts 27624  df-bday 27625

This theorem is referenced by:  noinfbnd1lem5  27708  noinfbnd1lem6  27709