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Theorem noinfbnd1lem1 27768
Description: Lemma for noinfbnd1 27774. Establish a soft lower bound. (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
noinfbnd1.1 𝑇 = if(∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
noinfbnd1lem1 ((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) → ¬ (𝑈 ↾ dom 𝑇) <s 𝑇)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑣,𝑈   𝑔,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem noinfbnd1lem1
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noinfbnd1.1 . . . 4 𝑇 = if(∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐵𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
21noinfno 27763 . . 3 ((𝐵 No 𝐵𝑉) → 𝑇 No )
323ad2ant2 1135 . 2 ((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) → 𝑇 No )
4 simp2l 1200 . . . 4 ((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) → 𝐵 No )
5 simp3 1139 . . . 4 ((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈𝐵)
64, 5sseldd 3984 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 No )
7 nodmon 27695 . . . 4 (𝑇 No → dom 𝑇 ∈ On)
83, 7syl 17 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) → dom 𝑇 ∈ On)
9 noreson 27705 . . 3 ((𝑈 No ∧ dom 𝑇 ∈ On) → (𝑈 ↾ dom 𝑇) ∈ No )
106, 8, 9syl2anc 584 . 2 ((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) → (𝑈 ↾ dom 𝑇) ∈ No )
11 ssidd 4007 . 2 ((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) → dom 𝑇 ⊆ dom 𝑇)
12 dmres 6030 . . . 4 dom (𝑈 ↾ dom 𝑇) = (dom 𝑇 ∩ dom 𝑈)
13 inss1 4237 . . . 4 (dom 𝑇 ∩ dom 𝑈) ⊆ dom 𝑇
1412, 13eqsstri 4030 . . 3 dom (𝑈 ↾ dom 𝑇) ⊆ dom 𝑇
1514a1i 11 . 2 ((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) → dom (𝑈 ↾ dom 𝑇) ⊆ dom 𝑇)
16 nodmord 27698 . . . . . . . 8 (𝑇 No → Ord dom 𝑇)
173, 16syl 17 . . . . . . 7 ((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) → Ord dom 𝑇)
18 ordsucss 7838 . . . . . . 7 (Ord dom 𝑇 → ( ∈ dom 𝑇 → suc ⊆ dom 𝑇))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) → ( ∈ dom 𝑇 → suc ⊆ dom 𝑇))
2019imp 406 . . . . 5 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ ∈ dom 𝑇) → suc ⊆ dom 𝑇)
2120resabs1d 6026 . . . 4 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ ∈ dom 𝑇) → ((𝑈 ↾ dom 𝑇) ↾ suc ) = (𝑈 ↾ suc ))
221noinfdm 27764 . . . . . . . . 9 (¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → dom 𝑇 = { ∣ ∃𝑝𝐵 ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐵𝑝 <s 𝑞 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑞 ↾ suc )))})
2322eleq2d 2827 . . . . . . . 8 (¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → ( ∈ dom 𝑇 ∈ { ∣ ∃𝑝𝐵 ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐵𝑝 <s 𝑞 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑞 ↾ suc )))}))
24 abid 2718 . . . . . . . . 9 ( ∈ { ∣ ∃𝑝𝐵 ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐵𝑝 <s 𝑞 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑞 ↾ suc )))} ↔ ∃𝑝𝐵 ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐵𝑝 <s 𝑞 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑞 ↾ suc ))))
25 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑣 → (𝑝 <s 𝑞𝑝 <s 𝑣))
2625notbid 318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑣 → (¬ 𝑝 <s 𝑞 ↔ ¬ 𝑝 <s 𝑣))
27 reseq1 5991 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑣 → (𝑞 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))
2827eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑣 → ((𝑝 ↾ suc ) = (𝑞 ↾ suc ) ↔ (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc )))
2926, 28imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑣 → ((¬ 𝑝 <s 𝑞 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑞 ↾ suc )) ↔ (¬ 𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))
3029cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑞𝐵𝑝 <s 𝑞 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑞 ↾ suc )) ↔ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc )))
3130anbi2i 623 . . . . . . . . . 10 (( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐵𝑝 <s 𝑞 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑞 ↾ suc ))) ↔ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))
3231rexbii 3094 . . . . . . . . 9 (∃𝑝𝐵 ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐵𝑝 <s 𝑞 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑞 ↾ suc ))) ↔ ∃𝑝𝐵 ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))
3324, 32bitri 275 . . . . . . . 8 ( ∈ { ∣ ∃𝑝𝐵 ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐵𝑝 <s 𝑞 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑞 ↾ suc )))} ↔ ∃𝑝𝐵 ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))
3423, 33bitrdi 287 . . . . . . 7 (¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → ( ∈ dom 𝑇 ↔ ∃𝑝𝐵 ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc )))))
35343ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) → ( ∈ dom 𝑇 ↔ ∃𝑝𝐵 ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc )))))
36 simpl2l 1227 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → 𝐵 No )
37 simprl 771 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → 𝑝𝐵)
3836, 37sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → 𝑝 No )
396adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → 𝑈 No )
40 sltso 27721 . . . . . . . . . . . 12 <s Or No
41 soasym 5625 . . . . . . . . . . . 12 (( <s Or No ∧ (𝑝 No 𝑈 No )) → (𝑝 <s 𝑈 → ¬ 𝑈 <s 𝑝))
4240, 41mpan 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 No 𝑈 No ) → (𝑝 <s 𝑈 → ¬ 𝑈 <s 𝑝))
4338, 39, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → (𝑝 <s 𝑈 → ¬ 𝑈 <s 𝑝))
44 nodmon 27695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 No → dom 𝑝 ∈ On)
4538, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → dom 𝑝 ∈ On)
46 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → ∈ dom 𝑝)
47 onelon 6409 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝑝 ∈ On ∧ ∈ dom 𝑝) → ∈ On)
4845, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → ∈ On)
49 onsucb 7837 . . . . . . . . . . . 12 ( ∈ On ↔ suc ∈ On)
5048, 49sylib 218 . . . . . . . . . . 11 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → suc ∈ On)
51 sltres 27707 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 No 𝑝 No ∧ suc ∈ On) → ((𝑈 ↾ suc ) <s (𝑝 ↾ suc ) → 𝑈 <s 𝑝))
5239, 38, 50, 51syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → ((𝑈 ↾ suc ) <s (𝑝 ↾ suc ) → 𝑈 <s 𝑝))
5343, 52nsyld 156 . . . . . . . . 9 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → (𝑝 <s 𝑈 → ¬ (𝑈 ↾ suc ) <s (𝑝 ↾ suc )))
54 noreson 27705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 No ∧ suc ∈ On) → (𝑈 ↾ suc ) ∈ No )
5539, 50, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → (𝑈 ↾ suc ) ∈ No )
56 sonr 5616 . . . . . . . . . . . . . 14 (( <s Or No ∧ (𝑈 ↾ suc ) ∈ No ) → ¬ (𝑈 ↾ suc ) <s (𝑈 ↾ suc ))
5740, 56mpan 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ↾ suc ) ∈ No → ¬ (𝑈 ↾ suc ) <s (𝑈 ↾ suc ))
5855, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → ¬ (𝑈 ↾ suc ) <s (𝑈 ↾ suc ))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) ∧ ¬ 𝑝 <s 𝑈) → ¬ (𝑈 ↾ suc ) <s (𝑈 ↾ suc ))
60 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑈 → (𝑝 <s 𝑣𝑝 <s 𝑈))
6160notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑈 → (¬ 𝑝 <s 𝑣 ↔ ¬ 𝑝 <s 𝑈))
62 reseq1 5991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑈 → (𝑣 ↾ suc ) = (𝑈 ↾ suc ))
6362eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑈 → ((𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ) ↔ (𝑝 ↾ suc ) = (𝑈 ↾ suc )))
6461, 63imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑈 → ((¬ 𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc )) ↔ (¬ 𝑝 <s 𝑈 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑈 ↾ suc ))))
65 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc )))
66 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → 𝑈𝐵)
6764, 65, 66rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → (¬ 𝑝 <s 𝑈 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑈 ↾ suc )))
6867imp 406 . . . . . . . . . . . 12 ((((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) ∧ ¬ 𝑝 <s 𝑈) → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑈 ↾ suc ))
6968breq2d 5155 . . . . . . . . . . 11 ((((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) ∧ ¬ 𝑝 <s 𝑈) → ((𝑈 ↾ suc ) <s (𝑝 ↾ suc ) ↔ (𝑈 ↾ suc ) <s (𝑈 ↾ suc )))
7059, 69mtbird 325 . . . . . . . . . 10 ((((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) ∧ ¬ 𝑝 <s 𝑈) → ¬ (𝑈 ↾ suc ) <s (𝑝 ↾ suc ))
7170ex 412 . . . . . . . . 9 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → (¬ 𝑝 <s 𝑈 → ¬ (𝑈 ↾ suc ) <s (𝑝 ↾ suc )))
7253, 71pm2.61d 179 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → ¬ (𝑈 ↾ suc ) <s (𝑝 ↾ suc ))
73 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → ¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
74 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → (𝐵 No 𝐵𝑉))
751noinfres 27767 . . . . . . . . . 10 ((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ (𝑝𝐵 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc )))) → (𝑇 ↾ suc ) = (𝑝 ↾ suc ))
7673, 74, 37, 46, 65, 75syl113anc 1384 . . . . . . . . 9 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → (𝑇 ↾ suc ) = (𝑝 ↾ suc ))
7776breq2d 5155 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → ((𝑈 ↾ suc ) <s (𝑇 ↾ suc ) ↔ (𝑈 ↾ suc ) <s (𝑝 ↾ suc )))
7872, 77mtbird 325 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ (𝑝𝐵 ∧ ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))))) → ¬ (𝑈 ↾ suc ) <s (𝑇 ↾ suc ))
7978rexlimdvaa 3156 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) → (∃𝑝𝐵 ( ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐵𝑝 <s 𝑣 → (𝑝 ↾ suc ) = (𝑣 ↾ suc ))) → ¬ (𝑈 ↾ suc ) <s (𝑇 ↾ suc )))
8035, 79sylbid 240 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) → ( ∈ dom 𝑇 → ¬ (𝑈 ↾ suc ) <s (𝑇 ↾ suc )))
8180imp 406 . . . 4 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ ∈ dom 𝑇) → ¬ (𝑈 ↾ suc ) <s (𝑇 ↾ suc ))
8221, 81eqnbrtrd 5161 . . 3 (((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) ∧ ∈ dom 𝑇) → ¬ ((𝑈 ↾ dom 𝑇) ↾ suc ) <s (𝑇 ↾ suc ))
8382ralrimiva 3146 . 2 ((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) → ∀ ∈ dom 𝑇 ¬ ((𝑈 ↾ dom 𝑇) ↾ suc ) <s (𝑇 ↾ suc ))
84 noresle 27742 . 2 (((𝑇 No ∧ (𝑈 ↾ dom 𝑇) ∈ No ) ∧ (dom 𝑇 ⊆ dom 𝑇 ∧ dom (𝑈 ↾ dom 𝑇) ⊆ dom 𝑇 ∧ ∀ ∈ dom 𝑇 ¬ ((𝑈 ↾ dom 𝑇) ↾ suc ) <s (𝑇 ↾ suc ))) → ¬ (𝑈 ↾ dom 𝑇) <s 𝑇)
853, 10, 11, 15, 83, 84syl23anc 1379 1 ((¬ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 No 𝐵𝑉) ∧ 𝑈𝐵) → ¬ (𝑈 ↾ dom 𝑇) <s 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wral 3061  wrex 3070  cun 3949  cin 3950  wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626  cop 4632   class class class wbr 5143  cmpt 5225   Or wor 5591  dom cdm 5685  cres 5687  Ord word 6383  Oncon0 6384  suc csuc 6386  cio 6512  cfv 6561  crio 7387  1oc1o 8499   No csur 27684   <s cslt 27685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fo 6567  df-fv 6569  df-riota 7388  df-1o 8506  df-2o 8507  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689
This theorem is referenced by:  noinfbnd1lem2  27769  noinfbnd1lem6  27773
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