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Theorem nosupbnd2 32177
Description: Bounding law from above for the surreal supremum. Proposition 4.3 of [Lipparini] p. 6. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
nosupbnd2.1 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
nosupbnd2 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍 ↔ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑆,𝑎,𝑔   𝑣,𝑢,𝑥,𝑦   𝑍,𝑎,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)   𝑍(𝑦,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem nosupbnd2
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 2005 . . . . . 6 𝑥((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)
2 nfcv 2944 . . . . . . . . 9 𝑥𝑍
3 nosupbnd2.1 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
4 nfre1 3188 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦
5 nfriota1 6836 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
65nfdm 5562 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
7 nfcv 2944 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥2𝑜
86, 7nfop 4604 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜
98nfsn 4428 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥{⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}
105, 9nfun 3962 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩})
11 nfcv 2944 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥{𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))}
12 nfiota1 6060 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))
1311, 12nfmpt 4933 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥)))
144, 10, 13nfif 4302 . . . . . . . . . . 11 𝑥if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
153, 14nfcxfr 2942 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑆
1615nfdm 5562 . . . . . . . . 9 𝑥dom 𝑆
172, 16nfres 5593 . . . . . . . 8 𝑥(𝑍 ↾ dom 𝑆)
18 nfcv 2944 . . . . . . . 8 𝑥 <s
1917, 18, 15nfbr 4884 . . . . . . 7 𝑥(𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆
2019nfn 1944 . . . . . 6 𝑥 ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆
211, 20nfim 1987 . . . . 5 𝑥(((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
22 simpl 470 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦))
23 rspe 3186 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
2423adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
25 nomaxmo 32162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 No → ∃*𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
26253ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) → ∃*𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
2726ad2antrl 710 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ∃*𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
28 reu5 3344 . . . . . . . . . . 11 (∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ↔ (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ∃*𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦))
2924, 27, 28sylanbrc 574 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
30 riota1 6847 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ↔ (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ↔ (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥))
3222, 31mpbid 223 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥)
33 nosupbnd2lem1 32176 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑥) <s (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 2𝑜⟩}))
34333expb 1142 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑥) <s (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 2𝑜⟩}))
35 dmeq 5519 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = dom 𝑥)
36 suceq 5997 . . . . . . . . . . . . 13 (dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = dom 𝑥 → suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = suc dom 𝑥)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = suc dom 𝑥)
3837reseq2d 5591 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) = (𝑍 ↾ suc dom 𝑥))
39 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥)
4035opeq1d 4594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → ⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩ = ⟨dom 𝑥, 2𝑜⟩)
4140sneqd 4376 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩} = {⟨dom 𝑥, 2𝑜⟩})
4239, 41uneq12d 3961 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}) = (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 2𝑜⟩}))
4338, 42breq12d 4850 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → ((𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) <s ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}) ↔ (𝑍 ↾ suc dom 𝑥) <s (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 2𝑜⟩})))
4443notbid 309 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → (¬ (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) <s ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}) ↔ ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑥) <s (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 2𝑜⟩})))
4534, 44syl5ibrcom 238 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → ¬ (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) <s ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩})))
4632, 45mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) <s ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}))
47 iftrue 4279 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥)))) = ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}))
483, 47syl5eq 2848 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦𝑆 = ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}))
4923, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) → 𝑆 = ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}))
5049dmeqd 5521 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) → dom 𝑆 = dom ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}))
51 2on 7799 . . . . . . . . . . . . . . 15 2𝑜 ∈ On
5251elexi 3403 . . . . . . . . . . . . . 14 2𝑜 ∈ V
5352dmsnop 5815 . . . . . . . . . . . . 13 dom {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩} = {dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)}
5453uneq2i 3957 . . . . . . . . . . . 12 (dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ dom {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}) = (dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)})
55 dmun 5526 . . . . . . . . . . . 12 dom ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}) = (dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ dom {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩})
56 df-suc 5936 . . . . . . . . . . . 12 suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = (dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)})
5754, 55, 563eqtr4i 2834 . . . . . . . . . . 11 dom ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}) = suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
5850, 57syl6eq 2852 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) → dom 𝑆 = suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦))
5958reseq2d 5591 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)))
6059adantr 468 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)))
6149adantr 468 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → 𝑆 = ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}))
6260, 61breq12d 4850 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ↔ (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) <s ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩})))
6346, 62mtbird 316 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
6463exp31 408 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)))
6521, 64rexlimi 3208 . . . 4 (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
6665imp 395 . . 3 ((∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
673nosupno 32164 . . . . . . . 8 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) → 𝑆 No )
68673adant3 1155 . . . . . . 7 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) → 𝑆 No )
6968ad2antrl 710 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → 𝑆 No )
70 nodmon 32118 . . . . . . 7 (𝑆 No → dom 𝑆 ∈ On)
7169, 70syl 17 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → dom 𝑆 ∈ On)
72 noreson 32128 . . . . . 6 ((𝑆 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
7369, 71, 72syl2anc 575 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
74 simprl3 1278 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → 𝑍 No )
75 noreson 32128 . . . . . 6 ((𝑍 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
7674, 71, 75syl2anc 575 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
77 dmres 5616 . . . . . . 7 dom (𝑆 ↾ dom 𝑆) = (dom 𝑆 ∩ dom 𝑆)
78 inss2 4024 . . . . . . 7 (dom 𝑆 ∩ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆
7977, 78eqsstri 3826 . . . . . 6 dom (𝑆 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆
8079a1i 11 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → dom (𝑆 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆)
81 dmres 5616 . . . . . . 7 dom (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (dom 𝑆 ∩ dom 𝑍)
82 inss1 4023 . . . . . . 7 (dom 𝑆 ∩ dom 𝑍) ⊆ dom 𝑆
8381, 82eqsstri 3826 . . . . . 6 dom (𝑍 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆
8483a1i 11 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → dom (𝑍 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆)
853nosupdm 32165 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → dom 𝑆 = {𝑔 ∣ ∃𝑝𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))})
8685abeq2d 2914 . . . . . . . . . 10 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → (𝑔 ∈ dom 𝑆 ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))))
8786adantr 468 . . . . . . . . 9 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑔 ∈ dom 𝑆 ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))))
88 simprl 778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑝𝐴)
89 simplrr 787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)
90 breq1 4840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑝 → (𝑎 <s 𝑍𝑝 <s 𝑍))
9190rspcv 3494 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝𝐴 → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍𝑝 <s 𝑍))
9288, 89, 91sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑝 <s 𝑍)
93 simprl1 1274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → 𝐴 No )
9493adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝐴 No )
9594, 88sseldd 3793 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑝 No )
9674adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑍 No )
97 sltso 32142 . . . . . . . . . . . . . . 15 <s Or No
98 soasym 31973 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( <s Or No ∧ (𝑝 No 𝑍 No )) → (𝑝 <s 𝑍 → ¬ 𝑍 <s 𝑝))
9997, 98mpan 673 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 No 𝑍 No ) → (𝑝 <s 𝑍 → ¬ 𝑍 <s 𝑝))
10095, 96, 99syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → (𝑝 <s 𝑍 → ¬ 𝑍 <s 𝑝))
10192, 100mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ¬ 𝑍 <s 𝑝)
102 nodmon 32118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 No → dom 𝑝 ∈ On)
10395, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → dom 𝑝 ∈ On)
104 simprrl 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑔 ∈ dom 𝑝)
105 onelon 5955 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom 𝑝 ∈ On ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑝) → 𝑔 ∈ On)
106103, 104, 105syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑔 ∈ On)
107 sucelon 7241 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ On ↔ suc 𝑔 ∈ On)
108106, 107sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → suc 𝑔 ∈ On)
109 sltres 32130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 No 𝑝 No ∧ suc 𝑔 ∈ On) → ((𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑝 ↾ suc 𝑔) → 𝑍 <s 𝑝))
11096, 95, 108, 109syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ((𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑝 ↾ suc 𝑔) → 𝑍 <s 𝑝))
111101, 110mtod 189 . . . . . . . . . . 11 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ¬ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑝 ↾ suc 𝑔))
112 simpll 774 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
113 simprl2 1276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → 𝐴 ∈ V)
11493, 113jca 503 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
115114adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
116 simprrr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))
117 breq1 4840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑞 → (𝑣 <s 𝑝𝑞 <s 𝑝))
118117notbid 309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑞 → (¬ 𝑣 <s 𝑝 ↔ ¬ 𝑞 <s 𝑝))
119 reseq1 5585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑞 → (𝑣 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))
120119eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑞 → ((𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔) ↔ (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))
121118, 120imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑞 → ((¬ 𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ↔ (¬ 𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))
122121cbvralv 3356 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ↔ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))
123116, 122sylibr 225 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)))
1243nosupres 32168 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑝𝐴𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)))) → (𝑆 ↾ suc 𝑔) = (𝑝 ↾ suc 𝑔))
125112, 115, 88, 104, 123, 124syl113anc 1494 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → (𝑆 ↾ suc 𝑔) = (𝑝 ↾ suc 𝑔))
126125breq2d 4849 . . . . . . . . . . 11 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ((𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔) ↔ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑝 ↾ suc 𝑔)))
127111, 126mtbird 316 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ¬ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔))
128127rexlimdvaa 3216 . . . . . . . . 9 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (∃𝑝𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))) → ¬ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔)))
12987, 128sylbid 231 . . . . . . . 8 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑔 ∈ dom 𝑆 → ¬ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔)))
130129imp 395 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → ¬ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔))
13169adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → 𝑆 No )
132 nodmord 32121 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 No → Ord dom 𝑆)
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → Ord dom 𝑆)
134 simpr 473 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → 𝑔 ∈ dom 𝑆)
135 ordsucss 7242 . . . . . . . . . 10 (Ord dom 𝑆 → (𝑔 ∈ dom 𝑆 → suc 𝑔 ⊆ dom 𝑆))
136133, 134, 135sylc 65 . . . . . . . . 9 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → suc 𝑔 ⊆ dom 𝑆)
137136resabs1d 5625 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) = (𝑍 ↾ suc 𝑔))
138136resabs1d 5625 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) = (𝑆 ↾ suc 𝑔))
139137, 138breq12d 4850 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → (((𝑍 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) <s ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) ↔ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔)))
140130, 139mtbird 316 . . . . . 6 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → ¬ ((𝑍 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) <s ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔))
141140ralrimiva 3150 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ∀𝑔 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑍 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) <s ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔))
142 noresle 32161 . . . . 5 ((((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∈ No ∧ (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No ) ∧ (dom (𝑆 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆 ∧ dom (𝑍 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆 ∧ ∀𝑔 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑍 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) <s ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔))) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑆 ↾ dom 𝑆))
14373, 76, 80, 84, 141, 142syl23anc 1489 . . . 4 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑆 ↾ dom 𝑆))
144 nofun 32117 . . . . . . 7 (𝑆 No → Fun 𝑆)
14569, 144syl 17 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → Fun 𝑆)
146 funrel 6112 . . . . . 6 (Fun 𝑆 → Rel 𝑆)
147 resdm 5640 . . . . . 6 (Rel 𝑆 → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
148145, 146, 1473syl 18 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
149148breq2d 4849 . . . 4 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑆 ↾ dom 𝑆) ↔ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
150143, 149mtbid 315 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
15166, 150pm2.61ian 837 . 2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
152 simpll1 1262 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐴 No )
153 simpll2 1264 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐴 ∈ V)
154 simpr 473 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎𝐴)
1553nosupbnd1 32175 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
156152, 153, 154, 155syl3anc 1483 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
157 simplr 776 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
158 simpl1 1235 . . . . . . . 8 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → 𝐴 No )
159158sselda 3792 . . . . . . 7 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 No )
160152, 153, 67syl2anc 575 . . . . . . . 8 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑆 No )
161160, 70syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → dom 𝑆 ∈ On)
162 noreson 32128 . . . . . . 7 ((𝑎 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
163159, 161, 162syl2anc 575 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
164 simpll3 1266 . . . . . . 7 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑍 No )
165164, 161, 75syl2anc 575 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
166 sotr3 31972 . . . . . . 7 (( <s Or No ∧ ((𝑎 ↾ dom 𝑆) ∈ No 𝑆 No ∧ (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No )) → (((𝑎 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆)))
16797, 166mpan 673 . . . . . 6 (((𝑎 ↾ dom 𝑆) ∈ No 𝑆 No ∧ (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No ) → (((𝑎 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆)))
168163, 160, 165, 167syl3anc 1483 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → (((𝑎 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆)))
169156, 157, 168mp2and 682 . . . 4 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆))
170 sltres 32130 . . . . 5 ((𝑎 No 𝑍 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → ((𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑎 <s 𝑍))
171159, 164, 161, 170syl3anc 1483 . . . 4 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → ((𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑎 <s 𝑍))
172169, 171mpd 15 . . 3 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 <s 𝑍)
173172ralrimiva 3150 . 2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)
174151, 173impbida 826 1 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍 ↔ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2155  {cab 2788  wral 3092  wrex 3093  ∃!wreu 3094  ∃*wrmo 3095  Vcvv 3387  cun 3761  cin 3762  wss 3763  ifcif 4273  {csn 4364  cop 4370   class class class wbr 4837  cmpt 4916   Or wor 5225  dom cdm 5305  cres 5307  Rel wrel 5310  Ord word 5929  Oncon0 5930  suc csuc 5932  cio 6056  Fun wfun 6089  cfv 6095  crio 6828  2𝑜c2o 7784   No csur 32108   <s cslt 32109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-ord 5933  df-on 5934  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-1o 7790  df-2o 7791  df-no 32111  df-slt 32112  df-bday 32113
This theorem is referenced by:  noetalem3  32180
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