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Theorem nosupbnd2 33508
 Description: Bounding law from above for the surreal supremum. Proposition 4.3 of [Lipparini] p. 6. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
nosupbnd2.1 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
nosupbnd2 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍 ↔ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑆,𝑎,𝑔   𝑣,𝑢,𝑥,𝑦   𝑍,𝑎,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)   𝑍(𝑦,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem nosupbnd2
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . . . . . 6 𝑥((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)
2 nfcv 2919 . . . . . . . . 9 𝑥𝑍
3 nosupbnd2.1 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
4 nfre1 3230 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦
5 nfriota1 7120 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
65nfdm 5796 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
7 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥2o
86, 7nfop 4782 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o
98nfsn 4603 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥{⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}
105, 9nfun 4072 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩})
11 nfcv 2919 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥{𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))}
12 nfiota1 6300 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))
1311, 12nfmpt 5132 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥)))
144, 10, 13nfif 4453 . . . . . . . . . . 11 𝑥if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
153, 14nfcxfr 2917 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑆
1615nfdm 5796 . . . . . . . . 9 𝑥dom 𝑆
172, 16nfres 5829 . . . . . . . 8 𝑥(𝑍 ↾ dom 𝑆)
18 nfcv 2919 . . . . . . . 8 𝑥 <s
1917, 18, 15nfbr 5082 . . . . . . 7 𝑥(𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆
2019nfn 1858 . . . . . 6 𝑥 ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆
211, 20nfim 1897 . . . . 5 𝑥(((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
22 simpl 486 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦))
23 rspe 3228 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
2423adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
25 nomaxmo 33490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 No → ∃*𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
26253ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) → ∃*𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
2726ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ∃*𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
28 reu5 3340 . . . . . . . . . . 11 (∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ↔ (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ∃*𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦))
2924, 27, 28sylanbrc 586 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
30 riota1 7134 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ↔ (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ↔ (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥))
3222, 31mpbid 235 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥)
33 nosupbnd2lem1 33507 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑥) <s (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 2o⟩}))
34333expb 1117 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑥) <s (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 2o⟩}))
35 dmeq 5748 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = dom 𝑥)
36 suceq 6238 . . . . . . . . . . . . 13 (dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = dom 𝑥 → suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = suc dom 𝑥)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = suc dom 𝑥)
3837reseq2d 5827 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) = (𝑍 ↾ suc dom 𝑥))
39 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥)
4035opeq1d 4772 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → ⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩ = ⟨dom 𝑥, 2o⟩)
4140sneqd 4537 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩} = {⟨dom 𝑥, 2o⟩})
4239, 41uneq12d 4071 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}) = (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 2o⟩}))
4338, 42breq12d 5048 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → ((𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) <s ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}) ↔ (𝑍 ↾ suc dom 𝑥) <s (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 2o⟩})))
4443notbid 321 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → (¬ (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) <s ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}) ↔ ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑥) <s (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 2o⟩})))
4534, 44syl5ibrcom 250 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → ¬ (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) <s ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩})))
4632, 45mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) <s ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}))
47 iftrue 4429 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥)))) = ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}))
483, 47syl5eq 2805 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦𝑆 = ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}))
4923, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) → 𝑆 = ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}))
5049dmeqd 5750 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) → dom 𝑆 = dom ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}))
51 2on 8126 . . . . . . . . . . . . . . 15 2o ∈ On
5251elexi 3429 . . . . . . . . . . . . . 14 2o ∈ V
5352dmsnop 6049 . . . . . . . . . . . . 13 dom {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩} = {dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)}
5453uneq2i 4067 . . . . . . . . . . . 12 (dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ dom {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}) = (dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)})
55 dmun 5755 . . . . . . . . . . . 12 dom ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}) = (dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ dom {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩})
56 df-suc 6179 . . . . . . . . . . . 12 suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = (dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)})
5754, 55, 563eqtr4i 2791 . . . . . . . . . . 11 dom ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}) = suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
5850, 57eqtrdi 2809 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) → dom 𝑆 = suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦))
5958reseq2d 5827 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)))
6059adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)))
6149adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → 𝑆 = ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}))
6260, 61breq12d 5048 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ↔ (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) <s ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩})))
6346, 62mtbird 328 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
6463exp31 423 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)))
6521, 64rexlimi 3239 . . . 4 (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
6665imp 410 . . 3 ((∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
673nosupno 33495 . . . . . . . 8 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) → 𝑆 No )
68673adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) → 𝑆 No )
6968ad2antrl 727 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → 𝑆 No )
70 nodmon 33442 . . . . . . 7 (𝑆 No → dom 𝑆 ∈ On)
7169, 70syl 17 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → dom 𝑆 ∈ On)
72 noreson 33452 . . . . . 6 ((𝑆 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
7369, 71, 72syl2anc 587 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
74 simprl3 1217 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → 𝑍 No )
75 noreson 33452 . . . . . 6 ((𝑍 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
7674, 71, 75syl2anc 587 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
77 dmres 5849 . . . . . . 7 dom (𝑆 ↾ dom 𝑆) = (dom 𝑆 ∩ dom 𝑆)
78 inss2 4136 . . . . . . 7 (dom 𝑆 ∩ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆
7977, 78eqsstri 3928 . . . . . 6 dom (𝑆 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆
8079a1i 11 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → dom (𝑆 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆)
81 dmres 5849 . . . . . . 7 dom (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (dom 𝑆 ∩ dom 𝑍)
82 inss1 4135 . . . . . . 7 (dom 𝑆 ∩ dom 𝑍) ⊆ dom 𝑆
8381, 82eqsstri 3928 . . . . . 6 dom (𝑍 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆
8483a1i 11 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → dom (𝑍 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆)
853nosupdm 33496 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → dom 𝑆 = {𝑔 ∣ ∃𝑝𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))})
8685abeq2d 2886 . . . . . . . . . 10 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → (𝑔 ∈ dom 𝑆 ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))))
8786adantr 484 . . . . . . . . 9 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑔 ∈ dom 𝑆 ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))))
88 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑝𝐴)
89 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)
90 breq1 5038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑝 → (𝑎 <s 𝑍𝑝 <s 𝑍))
9190rspcv 3538 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝𝐴 → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍𝑝 <s 𝑍))
9288, 89, 91sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑝 <s 𝑍)
93 simprl1 1215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → 𝐴 No )
9493adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝐴 No )
9594, 88sseldd 3895 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑝 No )
9674adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑍 No )
97 sltso 33468 . . . . . . . . . . . . . . 15 <s Or No
98 soasym 5476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( <s Or No ∧ (𝑝 No 𝑍 No )) → (𝑝 <s 𝑍 → ¬ 𝑍 <s 𝑝))
9997, 98mpan 689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 No 𝑍 No ) → (𝑝 <s 𝑍 → ¬ 𝑍 <s 𝑝))
10095, 96, 99syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → (𝑝 <s 𝑍 → ¬ 𝑍 <s 𝑝))
10192, 100mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ¬ 𝑍 <s 𝑝)
102 nodmon 33442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 No → dom 𝑝 ∈ On)
10395, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → dom 𝑝 ∈ On)
104 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑔 ∈ dom 𝑝)
105 onelon 6198 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom 𝑝 ∈ On ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑝) → 𝑔 ∈ On)
106103, 104, 105syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑔 ∈ On)
107 sucelon 7536 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ On ↔ suc 𝑔 ∈ On)
108106, 107sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → suc 𝑔 ∈ On)
109 sltres 33454 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 No 𝑝 No ∧ suc 𝑔 ∈ On) → ((𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑝 ↾ suc 𝑔) → 𝑍 <s 𝑝))
11096, 95, 108, 109syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ((𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑝 ↾ suc 𝑔) → 𝑍 <s 𝑝))
111101, 110mtod 201 . . . . . . . . . . 11 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ¬ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑝 ↾ suc 𝑔))
112 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
113 simprl2 1216 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → 𝐴 ∈ V)
11493, 113jca 515 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
115114adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
116 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))
117 breq1 5038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑞 → (𝑣 <s 𝑝𝑞 <s 𝑝))
118117notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑞 → (¬ 𝑣 <s 𝑝 ↔ ¬ 𝑞 <s 𝑝))
119 reseq1 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑞 → (𝑣 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))
120119eqeq2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑞 → ((𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔) ↔ (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))
121118, 120imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑞 → ((¬ 𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ↔ (¬ 𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))
122121cbvralvw 3361 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ↔ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))
123116, 122sylibr 237 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)))
1243nosupres 33499 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑝𝐴𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)))) → (𝑆 ↾ suc 𝑔) = (𝑝 ↾ suc 𝑔))
125112, 115, 88, 104, 123, 124syl113anc 1379 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → (𝑆 ↾ suc 𝑔) = (𝑝 ↾ suc 𝑔))
126125breq2d 5047 . . . . . . . . . . 11 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ((𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔) ↔ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑝 ↾ suc 𝑔)))
127111, 126mtbird 328 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ¬ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔))
128127rexlimdvaa 3209 . . . . . . . . 9 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (∃𝑝𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))) → ¬ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔)))
12987, 128sylbid 243 . . . . . . . 8 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑔 ∈ dom 𝑆 → ¬ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔)))
130129imp 410 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → ¬ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔))
13169adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → 𝑆 No )
132 nodmord 33445 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 No → Ord dom 𝑆)
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → Ord dom 𝑆)
134 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → 𝑔 ∈ dom 𝑆)
135 ordsucss 7537 . . . . . . . . . 10 (Ord dom 𝑆 → (𝑔 ∈ dom 𝑆 → suc 𝑔 ⊆ dom 𝑆))
136133, 134, 135sylc 65 . . . . . . . . 9 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → suc 𝑔 ⊆ dom 𝑆)
137136resabs1d 5858 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) = (𝑍 ↾ suc 𝑔))
138136resabs1d 5858 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) = (𝑆 ↾ suc 𝑔))
139137, 138breq12d 5048 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → (((𝑍 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) <s ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) ↔ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔)))
140130, 139mtbird 328 . . . . . 6 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → ¬ ((𝑍 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) <s ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔))
141140ralrimiva 3113 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ∀𝑔 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑍 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) <s ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔))
142 noresle 33489 . . . . 5 ((((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∈ No ∧ (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No ) ∧ (dom (𝑆 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆 ∧ dom (𝑍 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆 ∧ ∀𝑔 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑍 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) <s ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔))) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑆 ↾ dom 𝑆))
14373, 76, 80, 84, 141, 142syl23anc 1374 . . . 4 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑆 ↾ dom 𝑆))
144 nofun 33441 . . . . . . 7 (𝑆 No → Fun 𝑆)
14569, 144syl 17 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → Fun 𝑆)
146 funrel 6356 . . . . . 6 (Fun 𝑆 → Rel 𝑆)
147 resdm 5872 . . . . . 6 (Rel 𝑆 → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
148145, 146, 1473syl 18 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
149148breq2d 5047 . . . 4 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑆 ↾ dom 𝑆) ↔ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
150143, 149mtbid 327 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
15166, 150pm2.61ian 811 . 2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
152 simpll1 1209 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐴 No )
153 simpll2 1210 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐴 ∈ V)
154 simpr 488 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎𝐴)
1553nosupbnd1 33506 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
156152, 153, 154, 155syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
157 simplr 768 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
158 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → 𝐴 No )
159158sselda 3894 . . . . . . 7 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 No )
160152, 153, 67syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑆 No )
161160, 70syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → dom 𝑆 ∈ On)
162 noreson 33452 . . . . . . 7 ((𝑎 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
163159, 161, 162syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
164 simpll3 1211 . . . . . . 7 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑍 No )
165164, 161, 75syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
166 sotr3 33253 . . . . . . 7 (( <s Or No ∧ ((𝑎 ↾ dom 𝑆) ∈ No 𝑆 No ∧ (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No )) → (((𝑎 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆)))
16797, 166mpan 689 . . . . . 6 (((𝑎 ↾ dom 𝑆) ∈ No 𝑆 No ∧ (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No ) → (((𝑎 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆)))
168163, 160, 165, 167syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → (((𝑎 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆)))
169156, 157, 168mp2and 698 . . . 4 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆))
170 sltres 33454 . . . . 5 ((𝑎 No 𝑍 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → ((𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑎 <s 𝑍))
171159, 164, 161, 170syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → ((𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑎 <s 𝑍))
172169, 171mpd 15 . . 3 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 <s 𝑍)
173172ralrimiva 3113 . 2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)
174151, 173impbida 800 1 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍 ↔ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2735  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  ∃!wreu 3072  ∃*wrmo 3073  Vcvv 3409   ∪ cun 3858   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  ifcif 4423  {csn 4525  ⟨cop 4531   class class class wbr 5035   ↦ cmpt 5115   Or wor 5445  dom cdm 5527   ↾ cres 5529  Rel wrel 5532  Ord word 6172  Oncon0 6173  suc csuc 6175  ℩cio 6296  Fun wfun 6333  ‘cfv 6339  ℩crio 7112  2oc2o 8111   No csur 33432
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