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Theorem nosupbnd2 27667
Description: Bounding law from above for the surreal supremum. Proposition 4.3 of [Lipparini] p. 6. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
nosupbnd2.1 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
nosupbnd2 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍 ↔ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑆,𝑎,𝑔   𝑣,𝑢,𝑥,𝑦   𝑍,𝑎,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢)   𝑍(𝑦,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem nosupbnd2
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1909 . . . . . 6 𝑥((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)
2 nfcv 2892 . . . . . . . . 9 𝑥𝑍
3 nosupbnd2.1 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
4 nfre1 3273 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦
5 nfriota1 7379 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
65nfdm 5947 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
7 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥2o
86, 7nfop 4885 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o
98nfsn 4707 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥{⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}
105, 9nfun 4158 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩})
11 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥{𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))}
12 nfiota1 6497 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))
1311, 12nfmpt 5250 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥)))
144, 10, 13nfif 4554 . . . . . . . . . . 11 𝑥if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
153, 14nfcxfr 2890 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑆
1615nfdm 5947 . . . . . . . . 9 𝑥dom 𝑆
172, 16nfres 5981 . . . . . . . 8 𝑥(𝑍 ↾ dom 𝑆)
18 nfcv 2892 . . . . . . . 8 𝑥 <s
1917, 18, 15nfbr 5190 . . . . . . 7 𝑥(𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆
2019nfn 1852 . . . . . 6 𝑥 ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆
211, 20nfim 1891 . . . . 5 𝑥(((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
22 simpl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦))
23 rspe 3237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
2423adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
25 nomaxmo 27649 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 No → ∃*𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
26253ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) → ∃*𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
2726ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ∃*𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
28 reu5 3366 . . . . . . . . . . 11 (∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ↔ (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ∃*𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦))
2924, 27, 28sylanbrc 581 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
30 riota1 7394 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ↔ (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ↔ (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥))
3222, 31mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥)
33 nosupbnd2lem1 27666 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑥) <s (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 2o⟩}))
34333expb 1117 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑥) <s (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 2o⟩}))
35 dmeq 5900 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = dom 𝑥)
36 suceq 6430 . . . . . . . . . . . . 13 (dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = dom 𝑥 → suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = suc dom 𝑥)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = suc dom 𝑥)
3837reseq2d 5979 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) = (𝑍 ↾ suc dom 𝑥))
39 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥)
4035opeq1d 4875 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → ⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩ = ⟨dom 𝑥, 2o⟩)
4140sneqd 4636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩} = {⟨dom 𝑥, 2o⟩})
4239, 41uneq12d 4157 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}) = (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 2o⟩}))
4338, 42breq12d 5156 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → ((𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) <s ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}) ↔ (𝑍 ↾ suc dom 𝑥) <s (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 2o⟩})))
4443notbid 317 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → (¬ (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) <s ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}) ↔ ¬ (𝑍 ↾ suc dom 𝑥) <s (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, 2o⟩})))
4534, 44syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = 𝑥 → ¬ (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) <s ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩})))
4632, 45mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) <s ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}))
47 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥)))) = ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}))
483, 47eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦𝑆 = ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}))
4923, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) → 𝑆 = ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}))
5049dmeqd 5902 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) → dom 𝑆 = dom ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}))
51 2on 8499 . . . . . . . . . . . . . . 15 2o ∈ On
5251elexi 3483 . . . . . . . . . . . . . 14 2o ∈ V
5352dmsnop 6215 . . . . . . . . . . . . 13 dom {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩} = {dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)}
5453uneq2i 4153 . . . . . . . . . . . 12 (dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ dom {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}) = (dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)})
55 dmun 5907 . . . . . . . . . . . 12 dom ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}) = (dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ dom {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩})
56 df-suc 6370 . . . . . . . . . . . 12 suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) = (dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)})
5754, 55, 563eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . 11 dom ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}) = suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
5850, 57eqtrdi 2781 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) → dom 𝑆 = suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦))
5958reseq2d 5979 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)))
6059adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)))
6149adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → 𝑆 = ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}))
6260, 61breq12d 5156 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ↔ (𝑍 ↾ suc dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)) <s ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩})))
6346, 62mtbird 324 . . . . . 6 (((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
6463exp31 418 . . . . 5 (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)))
6521, 64rexlimi 3247 . . . 4 (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
6665imp 405 . . 3 ((∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
673nosupno 27654 . . . . . . . 8 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) → 𝑆 No )
68673adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) → 𝑆 No )
6968ad2antrl 726 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → 𝑆 No )
70 nodmon 27601 . . . . . . 7 (𝑆 No → dom 𝑆 ∈ On)
7169, 70syl 17 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → dom 𝑆 ∈ On)
72 noreson 27611 . . . . . 6 ((𝑆 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
7369, 71, 72syl2anc 582 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
74 simprl3 1217 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → 𝑍 No )
75 noreson 27611 . . . . . 6 ((𝑍 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
7674, 71, 75syl2anc 582 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
77 dmres 6011 . . . . . . 7 dom (𝑆 ↾ dom 𝑆) = (dom 𝑆 ∩ dom 𝑆)
78 inss2 4224 . . . . . . 7 (dom 𝑆 ∩ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆
7977, 78eqsstri 4007 . . . . . 6 dom (𝑆 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆
8079a1i 11 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → dom (𝑆 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆)
81 dmres 6011 . . . . . . 7 dom (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (dom 𝑆 ∩ dom 𝑍)
82 inss1 4223 . . . . . . 7 (dom 𝑆 ∩ dom 𝑍) ⊆ dom 𝑆
8381, 82eqsstri 4007 . . . . . 6 dom (𝑍 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆
8483a1i 11 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → dom (𝑍 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆)
853nosupdm 27655 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → dom 𝑆 = {𝑔 ∣ ∃𝑝𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))})
8685eqabrd 2868 . . . . . . . . . 10 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → (𝑔 ∈ dom 𝑆 ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))))
8786adantr 479 . . . . . . . . 9 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑔 ∈ dom 𝑆 ↔ ∃𝑝𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))))
88 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑝𝐴)
89 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)
90 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑝 → (𝑎 <s 𝑍𝑝 <s 𝑍))
9190rspcv 3597 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝𝐴 → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍𝑝 <s 𝑍))
9288, 89, 91sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑝 <s 𝑍)
93 simprl1 1215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → 𝐴 No )
9493adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝐴 No )
9594, 88sseldd 3973 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑝 No )
9674adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑍 No )
97 sltso 27627 . . . . . . . . . . . . . . 15 <s Or No
98 soasym 5615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( <s Or No ∧ (𝑝 No 𝑍 No )) → (𝑝 <s 𝑍 → ¬ 𝑍 <s 𝑝))
9997, 98mpan 688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 No 𝑍 No ) → (𝑝 <s 𝑍 → ¬ 𝑍 <s 𝑝))
10095, 96, 99syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → (𝑝 <s 𝑍 → ¬ 𝑍 <s 𝑝))
10192, 100mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ¬ 𝑍 <s 𝑝)
102 nodmon 27601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 No → dom 𝑝 ∈ On)
10395, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → dom 𝑝 ∈ On)
104 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑔 ∈ dom 𝑝)
105 onelon 6389 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom 𝑝 ∈ On ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑝) → 𝑔 ∈ On)
106103, 104, 105syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → 𝑔 ∈ On)
107 onsucb 7818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ On ↔ suc 𝑔 ∈ On)
108106, 107sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → suc 𝑔 ∈ On)
109 sltres 27613 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑍 No 𝑝 No ∧ suc 𝑔 ∈ On) → ((𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑝 ↾ suc 𝑔) → 𝑍 <s 𝑝))
11096, 95, 108, 109syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ((𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑝 ↾ suc 𝑔) → 𝑍 <s 𝑝))
111101, 110mtod 197 . . . . . . . . . . 11 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ¬ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑝 ↾ suc 𝑔))
112 simpll 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
113 simprl2 1216 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → 𝐴 ∈ V)
11493, 113jca 510 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
115114adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
116 simprrr 780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))
117 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑞 → (𝑣 <s 𝑝𝑞 <s 𝑝))
118117notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑞 → (¬ 𝑣 <s 𝑝 ↔ ¬ 𝑞 <s 𝑝))
119 reseq1 5973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑞 → (𝑣 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))
120119eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑞 → ((𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔) ↔ (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))
121118, 120imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑞 → ((¬ 𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ↔ (¬ 𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))
122121cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ↔ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔)))
123116, 122sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)))
1243nosupres 27658 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑝𝐴𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)))) → (𝑆 ↾ suc 𝑔) = (𝑝 ↾ suc 𝑔))
125112, 115, 88, 104, 123, 124syl113anc 1379 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → (𝑆 ↾ suc 𝑔) = (𝑝 ↾ suc 𝑔))
126125breq2d 5155 . . . . . . . . . . 11 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ((𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔) ↔ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑝 ↾ suc 𝑔)))
127111, 126mtbird 324 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ (𝑝𝐴 ∧ (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))))) → ¬ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔))
128127rexlimdvaa 3146 . . . . . . . . 9 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (∃𝑝𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑞𝐴𝑞 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝑔) = (𝑞 ↾ suc 𝑔))) → ¬ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔)))
12987, 128sylbid 239 . . . . . . . 8 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑔 ∈ dom 𝑆 → ¬ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔)))
130129imp 405 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → ¬ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔))
13169adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → 𝑆 No )
132 nodmord 27604 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 No → Ord dom 𝑆)
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → Ord dom 𝑆)
134 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → 𝑔 ∈ dom 𝑆)
135 ordsucss 7819 . . . . . . . . . 10 (Ord dom 𝑆 → (𝑔 ∈ dom 𝑆 → suc 𝑔 ⊆ dom 𝑆))
136133, 134, 135sylc 65 . . . . . . . . 9 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → suc 𝑔 ⊆ dom 𝑆)
137136resabs1d 6007 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) = (𝑍 ↾ suc 𝑔))
138136resabs1d 6007 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) = (𝑆 ↾ suc 𝑔))
139137, 138breq12d 5156 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → (((𝑍 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) <s ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) ↔ (𝑍 ↾ suc 𝑔) <s (𝑆 ↾ suc 𝑔)))
140130, 139mtbird 324 . . . . . 6 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) ∧ 𝑔 ∈ dom 𝑆) → ¬ ((𝑍 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) <s ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔))
141140ralrimiva 3136 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ∀𝑔 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑍 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) <s ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔))
142 noresle 27648 . . . . 5 ((((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∈ No ∧ (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No ) ∧ (dom (𝑆 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆 ∧ dom (𝑍 ↾ dom 𝑆) ⊆ dom 𝑆 ∧ ∀𝑔 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑍 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔) <s ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ↾ suc 𝑔))) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑆 ↾ dom 𝑆))
14373, 76, 80, 84, 141, 142syl23anc 1374 . . . 4 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑆 ↾ dom 𝑆))
144 nofun 27600 . . . . . . 7 (𝑆 No → Fun 𝑆)
14569, 144syl 17 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → Fun 𝑆)
146 funrel 6565 . . . . . 6 (Fun 𝑆 → Rel 𝑆)
147 resdm 6025 . . . . . 6 (Rel 𝑆 → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
148145, 146, 1473syl 18 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
149148breq2d 5155 . . . 4 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑆 ↾ dom 𝑆) ↔ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
150143, 149mtbid 323 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
15166, 150pm2.61ian 810 . 2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
152 simpll1 1209 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐴 No )
153 simpll2 1210 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝐴 ∈ V)
154 simpr 483 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎𝐴)
1553nosupbnd1 27665 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
156152, 153, 154, 155syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
157 simplr 767 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
158 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → 𝐴 No )
159158sselda 3972 . . . . . . 7 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 No )
160152, 153, 67syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑆 No )
161160, 70syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → dom 𝑆 ∈ On)
162 noreson 27611 . . . . . . 7 ((𝑎 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
163159, 161, 162syl2anc 582 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
164 simpll3 1211 . . . . . . 7 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑍 No )
165164, 161, 75syl2anc 582 . . . . . 6 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No )
166 sotr3 5623 . . . . . . 7 (( <s Or No ∧ ((𝑎 ↾ dom 𝑆) ∈ No 𝑆 No ∧ (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No )) → (((𝑎 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆)))
16797, 166mpan 688 . . . . . 6 (((𝑎 ↾ dom 𝑆) ∈ No 𝑆 No ∧ (𝑍 ↾ dom 𝑆) ∈ No ) → (((𝑎 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆)))
168163, 160, 165, 167syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → (((𝑎 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆)))
169156, 157, 168mp2and 697 . . . 4 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → (𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆))
170 sltres 27613 . . . . 5 ((𝑎 No 𝑍 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → ((𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑎 <s 𝑍))
171159, 164, 161, 170syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → ((𝑎 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑎 <s 𝑍))
172169, 171mpd 15 . . 3 ((((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) ∧ 𝑎𝐴) → 𝑎 <s 𝑍)
173172ralrimiva 3136 . 2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) ∧ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → ∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍)
174151, 173impbida 799 1 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑍 No ) → (∀𝑎𝐴 𝑎 <s 𝑍 ↔ ¬ (𝑍 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2702  wral 3051  wrex 3060  ∃!wreu 3362  ∃*wrmo 3363  Vcvv 3463  cun 3937  cin 3938  wss 3939  ifcif 4524  {csn 4624  cop 4630   class class class wbr 5143  cmpt 5226   Or wor 5583  dom cdm 5672  cres 5674  Rel wrel 5677  Ord word 6363  Oncon0 6364  suc csuc 6366  cio 6493  Fun wfun 6537  cfv 6543  crio 7371  2oc2o 8479   No csur 27591   <s cslt 27592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-1o 8485  df-2o 8486  df-no 27594  df-slt 27595  df-bday 27596
This theorem is referenced by:  nosupinfsep  27683  noetasuplem4  27687
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