Theorem sotric 5576

Description: A strict order relation satisfies strict trichotomy. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
sotric	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))

Proof of Theorem sotric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sonr 5570	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
2		breq2 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
3	2	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝑅𝐶))
4	1, 3	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 = 𝐶 → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
5	4	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 = 𝐶 → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
6		so2nr 5574	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵))
7		imnan 399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵𝑅𝐶 → ¬ 𝐶𝑅𝐵) ↔ ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵))
8	6, 7	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 → ¬ 𝐶𝑅𝐵))
9	8	con2d 134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐶𝑅𝐵 → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
10	5, 9	jaod 859	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
11		solin 5573	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵))
12		3orass 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵) ↔ (𝐵𝑅𝐶 ∨ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))
13	11, 12	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ∨ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))
14	13	ord 864	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝐵𝑅𝐶 → (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))
15	10, 14	impbid 212	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵) ↔ ¬ 𝐵𝑅𝐶))
16	15	con2bid 354	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107   Or wor 5545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-po 5546  df-so 5547

This theorem is referenced by:  soasym  5579  sotr2  5580  sotr3  5587  sotri2  6102  sotri3  6103  somin1  6106  somincom  6107  soisores  7302  soisoi  7303  fimaxg  9234  suplub2  9412  supgtoreq  9422  fiming  9451  infsupprpr  9457  ordtypelem7  9477  fpwwe2  10596  indpi  10860  nqereu  10882  ltsonq  10922  prub  10947  ltapr  10998  suplem2pr  11006  ltsosr  11047  axpre-lttri  11118  noetasuplem4  27648  noetainflem4  27652  sleloe  27666  prproropf1olem4  47507