Theorem sotric 5616

Description: A strict order relation satisfies strict trichotomy. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
sotric	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))

Proof of Theorem sotric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sonr 5611	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
2		breq2 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
3	2	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝑅𝐶))
4	1, 3	syl5ibcom 244	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 = 𝐶 → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
5	4	adantrr 714	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 = 𝐶 → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
6		so2nr 5614	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵))
7		imnan 399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵𝑅𝐶 → ¬ 𝐶𝑅𝐵) ↔ ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵))
8	6, 7	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 → ¬ 𝐶𝑅𝐵))
9	8	con2d 134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐶𝑅𝐵 → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
10	5, 9	jaod 856	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
11		solin 5613	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵))
12		3orass 1089	. . . . 5 ⊢ ((𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵) ↔ (𝐵𝑅𝐶 ∨ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))
13	11, 12	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ∨ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))
14	13	ord 861	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝐵𝑅𝐶 → (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))
15	10, 14	impbid 211	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵) ↔ ¬ 𝐵𝑅𝐶))
16	15	con2bid 354	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148   Or wor 5587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-po 5588  df-so 5589

This theorem is referenced by:  soasym  5619  sotr2  5620  sotr3  5627  sotri2  6130  sotri3  6131  somin1  6134  somincom  6135  soisores  7327  soisoi  7328  fimaxg  9296  suplub2  9462  supgtoreq  9471  fiming  9499  infsupprpr  9505  ordtypelem7  9525  fpwwe2  10644  indpi  10908  nqereu  10930  ltsonq  10970  prub  10995  ltapr  11046  suplem2pr  11054  ltsosr  11095  axpre-lttri  11166  noetasuplem4  27581  noetainflem4  27585  sleloe  27599  prproropf1olem4  46632