Theorem sotric 5622

Description: A strict order relation satisfies strict trichotomy. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
sotric	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))

Proof of Theorem sotric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sonr 5616	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
2		breq2 5147	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵𝑅𝐵 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
3	2	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝑅𝐶))
4	1, 3	syl5ibcom 245	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐵 = 𝐶 → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
5	4	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵 = 𝐶 → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
6		so2nr 5620	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵))
7		imnan 399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵𝑅𝐶 → ¬ 𝐶𝑅𝐵) ↔ ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵))
8	6, 7	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 → ¬ 𝐶𝑅𝐵))
9	8	con2d 134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐶𝑅𝐵 → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
10	5, 9	jaod 860	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
11		solin 5619	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵))
12		3orass 1090	. . . . 5 ⊢ ((𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵) ↔ (𝐵𝑅𝐶 ∨ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))
13	11, 12	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ∨ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))
14	13	ord 865	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝐵𝑅𝐶 → (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))
15	10, 14	impbid 212	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵) ↔ ¬ 𝐵𝑅𝐶))
16	15	con2bid 354	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143   Or wor 5591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-po 5592  df-so 5593

This theorem is referenced by:  soasym  5625  sotr2  5626  sotr3  5633  sotri2  6149  sotri3  6150  somin1  6153  somincom  6154  soisores  7347  soisoi  7348  fimaxg  9323  suplub2  9501  supgtoreq  9510  fiming  9538  infsupprpr  9544  ordtypelem7  9564  fpwwe2  10683  indpi  10947  nqereu  10969  ltsonq  11009  prub  11034  ltapr  11085  suplem2pr  11093  ltsosr  11134  axpre-lttri  11205  noetasuplem4  27781  noetainflem4  27785  sleloe  27799  prproropf1olem4  47493