MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sotric Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sotric 5617
Description: A strict order relation satisfies strict trichotomy. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.)
Assertion
Ref Expression
sotric ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶𝑅𝐵)))

Proof of Theorem sotric
StepHypRef Expression
1 sonr 5612 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
2 breq2 5153 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶))
32notbid 318 . . . . . 6 (𝐵 = 𝐶 → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝑅𝐶))
41, 3syl5ibcom 244 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴) → (𝐵 = 𝐶 → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
54adantrr 716 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴)) → (𝐵 = 𝐶 → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
6 so2nr 5615 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶𝐶𝑅𝐵))
7 imnan 401 . . . . . 6 ((𝐵𝑅𝐶 → ¬ 𝐶𝑅𝐵) ↔ ¬ (𝐵𝑅𝐶𝐶𝑅𝐵))
86, 7sylibr 233 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 → ¬ 𝐶𝑅𝐵))
98con2d 134 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴)) → (𝐶𝑅𝐵 → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
105, 9jaod 858 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴)) → ((𝐵 = 𝐶𝐶𝑅𝐵) → ¬ 𝐵𝑅𝐶))
11 solin 5614 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶𝐵 = 𝐶𝐶𝑅𝐵))
12 3orass 1091 . . . . 5 ((𝐵𝑅𝐶𝐵 = 𝐶𝐶𝑅𝐵) ↔ (𝐵𝑅𝐶 ∨ (𝐵 = 𝐶𝐶𝑅𝐵)))
1311, 12sylib 217 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ∨ (𝐵 = 𝐶𝐶𝑅𝐵)))
1413ord 863 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴)) → (¬ 𝐵𝑅𝐶 → (𝐵 = 𝐶𝐶𝑅𝐵)))
1510, 14impbid 211 . 2 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴)) → ((𝐵 = 𝐶𝐶𝑅𝐵) ↔ ¬ 𝐵𝑅𝐶))
1615con2bid 355 1 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵𝐴𝐶𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶𝑅𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3o 1087   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5149   Or wor 5588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-po 5589  df-so 5590
This theorem is referenced by:  soasym  5620  sotr2  5621  sotr3  5628  sotri2  6131  sotri3  6132  somin1  6135  somincom  6136  soisores  7324  soisoi  7325  fimaxg  9290  suplub2  9456  supgtoreq  9465  fiming  9493  infsupprpr  9499  ordtypelem7  9519  fpwwe2  10638  indpi  10902  nqereu  10924  ltsonq  10964  prub  10989  ltapr  11040  suplem2pr  11048  ltsosr  11089  axpre-lttri  11160  noetasuplem4  27239  noetainflem4  27243  sleloe  27257  prproropf1olem4  46174
  Copyright terms: Public domain W3C validator