Theorem sucneqoni 36754

Description: Inequality of an ordinal set with its successor. Does not use the axiom of regularity. (Contributed by ML, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sucneqoni.1	⊢ 𝑋 = suc 𝑌
sucneqoni.2	⊢ 𝑌 ∈ On

Assertion

Ref	Expression
sucneqoni	⊢ 𝑋 ≠ 𝑌

Proof of Theorem sucneqoni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucneqoni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = suc 𝑌
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑋 = suc 𝑌)
3		sucneqoni.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ On
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑌 ∈ On)
5	2, 4	sucneqond 36753	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑋 ≠ 𝑌)
6	5	mptru 1540	1 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑌

Syntax hints:   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  Oncon0 6358  suc csuc 6360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364

This theorem is referenced by:  finxpreclem3  36781