Theorem sucneqoni 37621

Description: Inequality of an ordinal set with its successor. Does not use the axiom of regularity. (Contributed by ML, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sucneqoni.1	⊢ 𝑋 = suc 𝑌
sucneqoni.2	⊢ 𝑌 ∈ On

Assertion

Ref	Expression
sucneqoni	⊢ 𝑋 ≠ 𝑌

Proof of Theorem sucneqoni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucneqoni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = suc 𝑌
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑋 = suc 𝑌)
3		sucneqoni.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ On
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑌 ∈ On)
5	2, 4	sucneqond 37620	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑋 ≠ 𝑌)
6	5	mptru 1549	1 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑌

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Oncon0 6325  suc csuc 6327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329  df-suc 6331

This theorem is referenced by:  finxpreclem3  37648