Theorem sucneqoni 37571

Description: Inequality of an ordinal set with its successor. Does not use the axiom of regularity. (Contributed by ML, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sucneqoni.1	⊢ 𝑋 = suc 𝑌
sucneqoni.2	⊢ 𝑌 ∈ On

Assertion

Ref	Expression
sucneqoni	⊢ 𝑋 ≠ 𝑌

Proof of Theorem sucneqoni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucneqoni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = suc 𝑌
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑋 = suc 𝑌)
3		sucneqoni.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ On
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑌 ∈ On)
5	2, 4	sucneqond 37570	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑋 ≠ 𝑌)
6	5	mptru 1548	1 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑌

Syntax hints:   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Oncon0 6317  suc csuc 6319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323

This theorem is referenced by:  finxpreclem3  37598