Theorem sucneqoni 38069

Description: Inequality of an ordinal set with its successor. Does not use the axiom of regularity. (Contributed by ML, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sucneqoni.1	⊢ 𝑋 = suc 𝑌
sucneqoni.2	⊢ 𝑌 ∈ On

Assertion

Ref	Expression
sucneqoni	⊢ 𝑋 ≠ 𝑌

Proof of Theorem sucneqoni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucneqoni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = suc 𝑌
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑋 = suc 𝑌)
3		sucneqoni.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ On
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑌 ∈ On)
5	2, 4	sucneqond 38068	. 2 ⊢ (⊤ → 𝑋 ≠ 𝑌)
6	5	mptru 1577	1 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑌

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Oncon0 6364  suc csuc 6366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370

This theorem is used by:  finxpreclem3  38096