Theorem tz6.12i 6907

Description: Corollary of Theorem 6.12(2) of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tz6.12i	⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 → 𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem tz6.12i

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
2		neeq1 3019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝑦 → ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ ↔ 𝑦 ≠ ∅))
3		tz6.12-2 6868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (𝐹‘𝐴) = ∅)
4	3	necon1ai 2984	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → ∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦)
5		tz6.12c 6903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → ((𝐹‘𝐴) = 𝑦 ↔ 𝐴𝐹𝑦))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → ((𝐹‘𝐴) = 𝑦 ↔ 𝐴𝐹𝑦))
7	6	biimpcd 252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝑦 → ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐴𝐹𝑦))
8	2, 7	sylbird 263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝑦 → (𝑦 ≠ ∅ → 𝐴𝐹𝑦))
9	8	eqcoms 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝐴) → (𝑦 ≠ ∅ → 𝐴𝐹𝑦))
10		neeq1 3019	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝐴) → (𝑦 ≠ ∅ ↔ (𝐹‘𝐴) ≠ ∅))
11		breq2 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝐴) → (𝐴𝐹𝑦 ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))
12	9, 10, 11	3imtr3d 296	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))
13	1, 12	vtocle 3522	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴))
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))
15		neeq1 3019	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
16		breq2 5112	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 → (𝐴𝐹(𝐹‘𝐴) ↔ 𝐴𝐹𝐵))
17	14, 15, 16	3imtr3d 296	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴𝐹𝐵))
18	17	com12 33	1 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 → 𝐴𝐹𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569  ∃!weu 2595   ≠ wne 2957  ∅c0 4285   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-nul 5268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-iota 6492  df-fv 6544

This theorem is used by:  fvbr0  6908  fvclss  7239  dcomex  10437