Theorem tz6.12i 6886

Description: Corollary of Theorem 6.12(2) of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tz6.12i	⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 → 𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem tz6.12i

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6871	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
2		neeq1 2987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝑦 → ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ ↔ 𝑦 ≠ ∅))
3		tz6.12-2 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → (𝐹‘𝐴) = ∅)
4	3	necon1ai 2952	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → ∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦)
5		tz6.12c 6880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃!𝑦 𝐴𝐹𝑦 → ((𝐹‘𝐴) = 𝑦 ↔ 𝐴𝐹𝑦))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → ((𝐹‘𝐴) = 𝑦 ↔ 𝐴𝐹𝑦))
7	6	biimpcd 249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝑦 → ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐴𝐹𝑦))
8	2, 7	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝑦 → (𝑦 ≠ ∅ → 𝐴𝐹𝑦))
9	8	eqcoms 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝐴) → (𝑦 ≠ ∅ → 𝐴𝐹𝑦))
10		neeq1 2987	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝐴) → (𝑦 ≠ ∅ ↔ (𝐹‘𝐴) ≠ ∅))
11		breq2 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝐴) → (𝐴𝐹𝑦 ↔ 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))
12	9, 10, 11	3imtr3d 293	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝐴) → ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))
13	1, 12	vtocle 3521	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴))
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ → 𝐴𝐹(𝐹‘𝐴)))
15		neeq1 2987	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
16		breq2 5111	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 → (𝐴𝐹(𝐹‘𝐴) ↔ 𝐴𝐹𝐵))
17	14, 15, 16	3imtr3d 293	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴𝐹𝐵))
18	17	com12 32	1 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 → 𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540  ∃!weu 2561   ≠ wne 2925  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-iota 6464  df-fv 6519

This theorem is referenced by:  fvbr0  6887  fvclss  7215  dcomex  10400