Theorem cnvso 6290

Description: The converse of a strict order relation is a strict order relation. (Contributed by NM, 15-Jun-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cnvso	⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)

Proof of Theorem cnvso

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvpo 6289	. . 3 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 ↔ ◡𝑅 Po 𝐴)
2		ralcom 3292	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
3		vex 3457	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
4		vex 3457	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
5	3, 4	brcnv 5866	. . . . . 6 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦)
6		equcom 2051	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦)
7	4, 3	brcnv 5866	. . . . . 6 ⊢ (𝑥◡𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥)
8	5, 6, 7	3orbi123i 1174	. . . . 5 ⊢ ((𝑦◡𝑅𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥◡𝑅𝑦) ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
9	8	2ralbii 3139	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥◡𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥))
10	2, 9	bitr4i 281	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥◡𝑅𝑦))
11	1, 10	anbi12i 640	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥)) ↔ (◡𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥◡𝑅𝑦)))
12		df-so 5568	. 2 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦𝑅𝑥)))
13		df-so 5568	. 2 ⊢ (◡𝑅 Or 𝐴 ↔ (◡𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥 ∨ 𝑥◡𝑅𝑦)))
14	11, 12, 13	3bitr4i 306	1 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102  ∀wral 3078   class class class wbr 5107   Po wpo 5565   Or wor 5566  ^◡ccnv 5658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-po 5567  df-so 5568  df-cnv 5667

This theorem is used by:  infexd  9458  eqinf  9459  infval  9461  infcl  9463  inflb  9464  infglb  9465  infglbb  9466  fiinfcl  9477  infltoreq  9478  infempty  9483  infiso  9484  wofib  9521  oemapso  9665  cflim2  10269  fin23lem40  10357  gtso  11319  nomaxmo  27942  tosglb  33423  xrsclat  33459  xrge0iifiso  34453  socnv  36351  welb  38494  xrgtso  46183