Theorem wfis2f 6301

Description: Well-Ordered Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfis2f.1	⊢ 𝑅 We 𝐴
wfis2f.2	⊢ 𝑅 Se 𝐴
wfis2f.3	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
wfis2f.4	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
wfis2f.5	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
wfis2f	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem wfis2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfis2f.1	. . 3 ⊢ 𝑅 We 𝐴
2		wfis2f.2	. . 3 ⊢ 𝑅 Se 𝐴
3		wfis2f.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
4		wfis2f.4	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5		wfis2f.5	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
6	3, 4, 5	wfis2fg 6300	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)
7	1, 2, 6	mp2an 692	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑
8	7	rspec 3223	1 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   Se wse 5565   We wwe 5566  Predcpred 6247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-cnv 5622  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248

This theorem is referenced by: (None)