Theorem wfis2f 6364

Description: Well-Ordered Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfis2f.1	⊢ 𝑅 We 𝐴
wfis2f.2	⊢ 𝑅 Se 𝐴
wfis2f.3	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
wfis2f.4	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
wfis2f.5	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
wfis2f	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem wfis2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfis2f.1	. . 3 ⊢ 𝑅 We 𝐴
2		wfis2f.2	. . 3 ⊢ 𝑅 Se 𝐴
3		wfis2f.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
4		wfis2f.4	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5		wfis2f.5	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
6	3, 4, 5	wfis2fg 6362	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)
7	1, 2, 6	mp2an 691	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑
8	7	rspec 3244	1 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058   Se wse 5631   We wwe 5632  Predcpred 6304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5149  df-opab 5211  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-cnv 5686  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305

This theorem is referenced by: (None)