Theorem wfis2f 6327

Description: Well-Ordered Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfis2f.1	⊢ 𝑅 We 𝐴
wfis2f.2	⊢ 𝑅 Se 𝐴
wfis2f.3	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
wfis2f.4	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
wfis2f.5	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
wfis2f	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem wfis2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfis2f.1	. . 3 ⊢ 𝑅 We 𝐴
2		wfis2f.2	. . 3 ⊢ 𝑅 Se 𝐴
3		wfis2f.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
4		wfis2f.4	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5		wfis2f.5	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
6	3, 4, 5	wfis2fg 6326	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)
7	1, 2, 6	mp2an 692	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑
8	7	rspec 3228	1 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   Se wse 5589   We wwe 5590  Predcpred 6273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-cnv 5646  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274

This theorem is referenced by: (None)