Theorem wfis2f 6061

Description: Well Founded Induction schema, using implicit substitution. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
wfis2f.1	⊢ 𝑅 We 𝐴
wfis2f.2	⊢ 𝑅 Se 𝐴
wfis2f.3	⊢ Ⅎ𝑦𝜓
wfis2f.4	⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
wfis2f.5	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
wfis2f	⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝜓(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem wfis2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfis2f.1	. . 3 ⊢ 𝑅 We 𝐴
2		wfis2f.2	. . 3 ⊢ 𝑅 Se 𝐴
3		wfis2f.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝜓
4		wfis2f.4	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5		wfis2f.5	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑦)𝜓 → 𝜑))
6	3, 4, 5	wfis2fg 6060	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑)
7	1, 2, 6	mp2an 688	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝜑
8	7	rspec 3174	1 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207  Ⅎwnf 1765   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105   Se wse 5400   We wwe 5401  Predcpred 6022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pr 5221

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-br 4963  df-opab 5025  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-cnv 5451  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023

This theorem is referenced by: (None)