NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  opkltfing GIF version

Theorem opkltfing 4449
Description: Kuratowski ordered pair membership in finite less than. (Contributed by SF, 27-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
opkltfing ((A V B W) → (⟪A, B <fin ↔ (A x Nn B = ((A +c x) +c 1c))))
Distinct variable groups:   x,A   x,B
Allowed substitution hints:   V(x)   W(x)

Proof of Theorem opkltfing
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ltfin 4441 . 2 <fin = {y zw(y = ⟪z, w (z x Nn w = ((z +c x) +c 1c)))}
2 neeq1 2524 . . 3 (z = A → (zA))
3 addceq1 4383 . . . . . 6 (z = A → (z +c x) = (A +c x))
43addceq1d 4389 . . . . 5 (z = A → ((z +c x) +c 1c) = ((A +c x) +c 1c))
54eqeq2d 2364 . . . 4 (z = A → (w = ((z +c x) +c 1c) ↔ w = ((A +c x) +c 1c)))
65rexbidv 2635 . . 3 (z = A → (x Nn w = ((z +c x) +c 1c) ↔ x Nn w = ((A +c x) +c 1c)))
72, 6anbi12d 691 . 2 (z = A → ((z x Nn w = ((z +c x) +c 1c)) ↔ (A x Nn w = ((A +c x) +c 1c))))
8 eqeq1 2359 . . . 4 (w = B → (w = ((A +c x) +c 1c) ↔ B = ((A +c x) +c 1c)))
98rexbidv 2635 . . 3 (w = B → (x Nn w = ((A +c x) +c 1c) ↔ x Nn B = ((A +c x) +c 1c)))
109anbi2d 684 . 2 (w = B → ((A x Nn w = ((A +c x) +c 1c)) ↔ (A x Nn B = ((A +c x) +c 1c))))
111, 7, 10opkelopkabg 4245 1 ((A V B W) → (⟪A, B <fin ↔ (A x Nn B = ((A +c x) +c 1c))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 176   wa 358   = wceq 1642   wcel 1710  wne 2516  wrex 2615  c0 3550  copk 4057  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373   +c cplc 4375   <fin cltfin 4433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-rex 2620  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-addc 4378  df-ltfin 4441
This theorem is referenced by:  ltfinirr  4457  leltfintr  4458  ltfintr  4459  ltfinp1  4462  lefinlteq  4463  ltfintri  4466  ltlefin  4468  tfinltfinlem1  4500  tfinltfin  4501  sfinltfin  4535
  Copyright terms: Public domain W3C validator