NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  ltfinp1 GIF version

Theorem ltfinp1 4462
Description: One plus a finite cardinal is strictly greater. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltfinp1 ((A V A) → ⟪A, (A +c 1c)⟫ <fin )

Proof of Theorem ltfinp1
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . 3 ((A V A) → A)
2 peano1 4402 . . . 4 0c Nn
3 addcid1 4405 . . . . . 6 (A +c 0c) = A
43addceq1i 4386 . . . . 5 ((A +c 0c) +c 1c) = (A +c 1c)
54eqcomi 2357 . . . 4 (A +c 1c) = ((A +c 0c) +c 1c)
6 addceq2 4384 . . . . . . 7 (x = 0c → (A +c x) = (A +c 0c))
76addceq1d 4389 . . . . . 6 (x = 0c → ((A +c x) +c 1c) = ((A +c 0c) +c 1c))
87eqeq2d 2364 . . . . 5 (x = 0c → ((A +c 1c) = ((A +c x) +c 1c) ↔ (A +c 1c) = ((A +c 0c) +c 1c)))
98rspcev 2955 . . . 4 ((0c Nn (A +c 1c) = ((A +c 0c) +c 1c)) → x Nn (A +c 1c) = ((A +c x) +c 1c))
102, 5, 9mp2an 653 . . 3 x Nn (A +c 1c) = ((A +c x) +c 1c)
111, 10jctir 524 . 2 ((A V A) → (A x Nn (A +c 1c) = ((A +c x) +c 1c)))
12 1cex 4142 . . . . 5 1c V
13 addcexg 4393 . . . . 5 ((A V 1c V) → (A +c 1c) V)
1412, 13mpan2 652 . . . 4 (A V → (A +c 1c) V)
15 opkltfing 4449 . . . 4 ((A V (A +c 1c) V) → (⟪A, (A +c 1c)⟫ <fin ↔ (A x Nn (A +c 1c) = ((A +c x) +c 1c))))
1614, 15mpdan 649 . . 3 (A V → (⟪A, (A +c 1c)⟫ <fin ↔ (A x Nn (A +c 1c) = ((A +c x) +c 1c))))
1716adantr 451 . 2 ((A V A) → (⟪A, (A +c 1c)⟫ <fin ↔ (A x Nn (A +c 1c) = ((A +c x) +c 1c))))
1811, 17mpbird 223 1 ((A V A) → ⟪A, (A +c 1c)⟫ <fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 176   wa 358   = wceq 1642   wcel 1710  wne 2516  wrex 2615  Vcvv 2859  c0 3550  copk 4057  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   +c cplc 4375   <fin cltfin 4433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-ltfin 4441
This theorem is referenced by:  ltfintri  4466
  Copyright terms: Public domain W3C validator