Theorem ltfinp1 4463

Description: One plus a finite cardinal is strictly greater. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltfinp1	⊢ ((A ∈ V ∧ A ≠ ∅) → ⟪A, (A +c 1c)⟫ ∈ <fin )

Proof of Theorem ltfinp1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 447	. . 3 ⊢ ((A ∈ V ∧ A ≠ ∅) → A ≠ ∅)
2		peano1 4403	. . . 4 ⊢ 0c ∈ Nn
3		addcid1 4406	. . . . . 6 ⊢ (A +c 0c) = A
4	3	addceq1i 4387	. . . . 5 ⊢ ((A +c 0c) +c 1c) = (A +c 1c)
5	4	eqcomi 2357	. . . 4 ⊢ (A +c 1c) = ((A +c 0c) +c 1c)
6		addceq2 4385	. . . . . . 7 ⊢ (x = 0c → (A +c x) = (A +c 0c))
7	6	addceq1d 4390	. . . . . 6 ⊢ (x = 0c → ((A +c x) +c 1c) = ((A +c 0c) +c 1c))
8	7	eqeq2d 2364	. . . . 5 ⊢ (x = 0c → ((A +c 1c) = ((A +c x) +c 1c) ↔ (A +c 1c) = ((A +c 0c) +c 1c)))
9	8	rspcev 2956	. . . 4 ⊢ ((0c ∈ Nn ∧ (A +c 1c) = ((A +c 0c) +c 1c)) → ∃x ∈ Nn (A +c 1c) = ((A +c x) +c 1c))
10	2, 5, 9	mp2an 653	. . 3 ⊢ ∃x ∈ Nn (A +c 1c) = ((A +c x) +c 1c)
11	1, 10	jctir 524	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ A ≠ ∅) → (A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ Nn (A +c 1c) = ((A +c x) +c 1c)))
12		1cex 4143	. . . . 5 ⊢ 1c ∈ V
13		addcexg 4394	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ V ∧ 1c ∈ V) → (A +c 1c) ∈ V)
14	12, 13	mpan2 652	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → (A +c 1c) ∈ V)
15		opkltfing 4450	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ (A +c 1c) ∈ V) → (⟪A, (A +c 1c)⟫ ∈ <fin ↔ (A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ Nn (A +c 1c) = ((A +c x) +c 1c))))
16	14, 15	mpdan 649	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (⟪A, (A +c 1c)⟫ ∈ <fin ↔ (A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ Nn (A +c 1c) = ((A +c x) +c 1c))))
17	16	adantr 451	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ A ≠ ∅) → (⟪A, (A +c 1c)⟫ ∈ <fin ↔ (A ≠ ∅ ∧ ∃x ∈ Nn (A +c 1c) = ((A +c x) +c 1c))))
18	11, 17	mpbird 223	1 ⊢ ((A ∈ V ∧ A ≠ ∅) → ⟪A, (A +c 1c)⟫ ∈ <fin )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517  ∃wrex 2616  Vcvv 2860  ∅c0 3551  ⟪copk 4058  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374  0_cc0c 4375   +_c cplc 4376   <_fin cltfin 4434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-ltfin 4442

This theorem is referenced by:  ltfintri  4467