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Theorem 4sqlem14 15605
Description: Lemma for 4sq 15611. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘2))
4sq.a (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
Assertion
Ref Expression
4sqlem14 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐺   𝑛,𝐻   𝐴,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑛   𝑛,𝐹   𝑖,𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑖,𝑛   𝜑,𝑛   𝑆,𝑖,𝑛   𝑅,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

Proof of Theorem 4sqlem14
StepHypRef Expression
1 4sq.r . 2 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2 4sq.6 . . . . . . . . . 10 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
3 ssrab2 3672 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆} ⊆ ℕ
42, 3eqsstri 3620 . . . . . . . . 9 𝑇 ⊆ ℕ
5 4sq.7 . . . . . . . . . 10 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
6 nnuz 11683 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
74, 6sseqtri 3622 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ⊆ (ℤ‘1)
8 4sq.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
9 4sq.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
10 4sq.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
11 4sq.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
12 4sq.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
138, 9, 10, 11, 12, 2, 54sqlem13 15604 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
1413simpld 475 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
15 infssuzcl 11732 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ⊆ (ℤ‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
167, 14, 15sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
175, 16syl5eqel 2702 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝑇)
184, 17sseldi 3586 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1918nnzd 11441 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
20 prmz 15332 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2111, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
22 dvdsmul1 14946 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
2319, 21, 22syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
24 4sq.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
25 4sq.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2624, 18, 254sqlem8 15592 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)))
27 4sq.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
28 4sq.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
2927, 18, 284sqlem8 15592 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))
30 zsqcl 12890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3124, 30syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3224, 18, 254sqlem5 15589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
3332simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ ℤ)
34 zsqcl2 12897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ0)
3635nn0zd 11440 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
3731, 36zsubcld 11447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ)
38 zsqcl 12890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
3927, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
4027, 18, 284sqlem5 15589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
4140simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
42 zsqcl2 12897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ0)
4443nn0zd 11440 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
4539, 44zsubcld 11447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
46 dvds2add 14958 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))))
4719, 37, 45, 46syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))))
4826, 29, 47mp2and 714 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
4924zcnd 11443 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5049sqcld 12962 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
5127zcnd 11443 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5251sqcld 12962 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
5333zcnd 11443 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
5453sqcld 12962 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
5541zcnd 11443 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
5655sqcld 12962 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
5750, 52, 54, 56addsub4d 10399 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
5848, 57breqtrrd 4651 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
59 4sq.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
60 4sq.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
6159, 18, 604sqlem8 15592 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)))
62 4sq.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
63 4sq.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
6462, 18, 634sqlem8 15592 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))
65 zsqcl 12890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
6659, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
6759, 18, 604sqlem5 15589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
6867simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
69 zsqcl2 12897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℕ0)
7170nn0zd 11440 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
7266, 71zsubcld 11447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ)
73 zsqcl 12890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
7462, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
7562, 18, 634sqlem5 15589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
7675simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
77 zsqcl2 12897 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℕ0)
7978nn0zd 11440 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
8074, 79zsubcld 11447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
81 dvds2add 14958 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))))
8219, 72, 80, 81syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))))
8361, 64, 82mp2and 714 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
8459zcnd 11443 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
8584sqcld 12962 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
8662zcnd 11443 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
8786sqcld 12962 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
8868zcnd 11443 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
8988sqcld 12962 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℂ)
9076zcnd 11443 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ ℂ)
9190sqcld 12962 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℂ)
9285, 87, 89, 91addsub4d 10399 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
9383, 92breqtrrd 4651 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
9431, 39zaddcld 11446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
9535, 43nn0addcld 11315 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ0)
9695nn0zd 11440 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
9794, 96zsubcld 11447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ)
9866, 74zaddcld 11446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
9970, 78nn0addcld 11315 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℕ0)
10099nn0zd 11440 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
10198, 100zsubcld 11447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
102 dvds2add 14958 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
10319, 97, 101, 102syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
10458, 93, 103mp2and 714 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
105 4sq.p . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
106105oveq1d 6630 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
10750, 52addcld 10019 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
10885, 87addcld 10019 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
10954, 56addcld 10019 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
11089, 91addcld 10019 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℂ)
111107, 108, 109, 110addsub4d 10399 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
112106, 111eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
113104, 112breqtrrd 4651 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
11419, 21zmulcld 11448 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ)
11596, 100zaddcld 11446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
116114, 115zsubcld 11447 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∈ ℤ)
117 dvds2sub 14959 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃) ∧ 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))))
11819, 114, 116, 117syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃) ∧ 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))))
11923, 113, 118mp2and 714 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
12018nncnd 10996 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
121 prmnn 15331 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
12211, 121syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
123122nncnd 10996 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
124120, 123mulcld 10020 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℂ)
125109, 110addcld 10019 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
126124, 125nncand 10357 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
127119, 126breqtrd 4649 . . . 4 (𝜑𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
12818nnne0d 11025 . . . . 5 (𝜑𝑀 ≠ 0)
12995, 99nn0addcld 11315 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℕ0)
130129nn0zd 11440 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
131 dvdsval2 14929 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
13219, 128, 130, 131syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
133127, 132mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ)
134129nn0red 11312 . . . 4 (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
135129nn0ge0d 11314 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
13618nnred 10995 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
13718nngt0d 11024 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑀)
138 divge0 10852 . . . 4 ((((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
139134, 135, 136, 137, 138syl22anc 1324 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
140 elnn0z 11350 . . 3 (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)))
141133, 139, 140sylanbrc 697 . 2 (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ0)
1421, 141syl5eqel 2702 1 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wne 2790  wrex 2909  {crab 2912  wss 3560  c0 3897   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  infcinf 8307  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226   / cdiv 10644  cn 10980  2c2 11030  0cn0 11252  cz 11337  cuz 11647  ...cfz 12284   mod cmo 12624  cexp 12816  cdvds 14926  cprime 15328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-dvds 14927  df-gcd 15160  df-prm 15329  df-gz 15577
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