MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou3lem3 23816
Description: Lemma for aaliou3 23823. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aaliou3lem.a 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
aaliou3lem.b 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
Assertion
Ref Expression
aaliou3lem3 (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑏,𝑐   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑐)

Proof of Theorem aaliou3lem3
StepHypRef Expression
1 eqid 2605 . . 3 (ℤ𝐴) = (ℤ𝐴)
2 nnz 11228 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
3 uzid 11530 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
5 aaliou3lem.a . . . 4 𝐺 = (𝑐 ∈ (ℤ𝐴) ↦ ((2↑-(!‘𝐴)) · ((1 / 2)↑(𝑐𝐴))))
65aaliou3lem1 23814 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑏) ∈ ℝ)
7 aaliou3lem.b . . . . . 6 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ (2↑-(!‘𝑎)))
85, 7aaliou3lem2 23815 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ (0(,](𝐺𝑏)))
9 0xr 9938 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
10 elioc2 12059 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑏) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑏) ∈ (0(,](𝐺𝑏)) ↔ ((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏))))
119, 6, 10sylancr 693 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝑏) ∈ (0(,](𝐺𝑏)) ↔ ((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏))))
128, 11mpbid 220 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → ((𝐹𝑏) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏)))
1312simp1d 1065 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ)
14 halfcn 11090 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℂ
1514a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℂ)
16 halfre 11089 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
17 halfgt0 11091 . . . . . . . . 9 0 < (1 / 2)
1816, 17elrpii 11663 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ+
19 rprege0 11675 . . . . . . . 8 ((1 / 2) ∈ ℝ+ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)))
20 absid 13826 . . . . . . . 8 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
2118, 19, 20mp2b 10 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
22 halflt1 11093 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
2321, 22eqbrtri 4594 . . . . . 6 (abs‘(1 / 2)) < 1
2423a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 2)) < 1)
25 2rp 11665 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ+
26 nnnn0 11142 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
27 faccl 12883 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℕ)
2928nnzd 11309 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) ∈ ℤ)
3029znegcld 11312 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → -(!‘𝐴) ∈ ℤ)
31 rpexpcl 12692 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ+ ∧ -(!‘𝐴) ∈ ℤ) → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
3225, 30, 31sylancr 693 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℝ+)
3332rpcnd 11702 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ)
342, 15, 24, 33, 5geolim3 23811 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
35 seqex 12616 . . . . 5 seq𝐴( + , 𝐺) ∈ V
36 ovex 6551 . . . . 5 ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) ∈ V
3735, 36breldm 5234 . . . 4 (seq𝐴( + , 𝐺) ⇝ ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
3834, 37syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
3912simp2d 1066 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 < (𝐹𝑏))
4013, 39elrpd 11697 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
4140rpge0d 11704 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → 0 ≤ (𝐹𝑏))
4212simp3d 1067 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) ≤ (𝐺𝑏))
431, 4, 6, 13, 38, 41, 42cvgcmp 14331 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
44 eqidd 2606 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐹𝑏) = (𝐹𝑏))
451, 1, 4, 44, 40, 43isumrpcl 14356 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+)
46 eqidd 2606 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑏) = (𝐺𝑏))
471, 2, 44, 13, 46, 6, 42, 43, 38isumle 14357 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐺𝑏))
486recnd 9920 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (ℤ𝐴)) → (𝐺𝑏) ∈ ℂ)
491, 2, 46, 48, 34isumclim 14272 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐺𝑏) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))))
50 1mhlfehlf 11094 . . . . . 6 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
5150oveq2i 6534 . . . . 5 ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2))
52 2cn 10934 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
53 mulcl 9872 . . . . . . . 8 (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
5433, 52, 53sylancl 692 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) · 2) ∈ ℂ)
5554div1d 10638 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
56 1rp 11664 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
57 rpcnne0 11678 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0)
59 2cnne0 11085 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
60 divdiv2 10582 . . . . . . . 8 (((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
6158, 59, 60mp3an23 1407 . . . . . . 7 ((2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
6233, 61syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (((2↑-(!‘𝐴)) · 2) / 1))
63 mulcom 9874 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ (2↑-(!‘𝐴)) ∈ ℂ) → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
6452, 33, 63sylancr 693 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → (2 · (2↑-(!‘𝐴))) = ((2↑-(!‘𝐴)) · 2))
6555, 62, 643eqtr4d 2649 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 / 2)) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6651, 65syl5eq 2651 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((2↑-(!‘𝐴)) / (1 − (1 / 2))) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6749, 66eqtrd 2639 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐺𝑏) = (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6847, 67breqtrd 4599 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴))))
6943, 45, 683jca 1234 1 (𝐴 ∈ ℕ → (seq𝐴( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ∈ ℝ+ ∧ Σ𝑏 ∈ (ℤ𝐴)(𝐹𝑏) ≤ (2 · (2↑-(!‘𝐴)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775   class class class wbr 4573  cmpt 4633  dom cdm 5024  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791   · cmul 9793  *cxr 9925   < clt 9926  cle 9927  cmin 10113  -cneg 10114   / cdiv 10529  cn 10863  2c2 10913  0cn0 11135  cz 11206  cuz 11515  +crp 11660  (,]cioc 11999  seqcseq 12614  cexp 12673  !cfa 12873  abscabs 13764  cli 14005  Σcsu 14206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-ioc 12003  df-ico 12004  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-seq 12615  df-exp 12674  df-fac 12874  df-hash 12931  df-shft 13597  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-limsup 13992  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207
This theorem is referenced by:  aaliou3lem4  23818  aaliou3lem7  23821
  Copyright terms: Public domain W3C validator