Theorem atantayl3 25517

Description: The Taylor series for arctan(𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
atantayl3.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))

Assertion

Ref	Expression
atantayl3	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , 𝐹) ⇝ (arctan‘𝐴))

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem atantayl3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atantayl3.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
2		2nn0 11915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4		nn0mulcl 11934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
5	2, 3, 4	sylancr 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 11958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
7		ax-1cn 10595	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
8		pncan 10892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
9	6, 7, 8	sylancl 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
10	9	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
11		nn0cn 11908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
12	11	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
13		2cnd 11716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
14		2ne0 11742	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 0)
16	12, 13, 15	divcan3d 11421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
17	10, 16	eqtr2d 2857	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 = ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2))
18	17	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) = (-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
19	18	oveq1d 7171	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) = ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
20	19	mpteq2dva 5161	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))))
21	1, 20	syl5eq 2868	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))))
22	21	seqeq3d 13378	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , 𝐹) = seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))))
23		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘))))
24	23	atantayl2 25516	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘))))) ⇝ (arctan‘𝐴))
25		neg1cn 11752	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
26		expcl 13448	. . . . . . 7 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
27	25, 3, 26	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
28		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
29		peano2nn0 11938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0)
30	5, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ0)
31	28, 30	expcld 13511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
32		nn0p1nn 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
33	5, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
34	33	nncnd 11654	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℂ)
35	33	nnne0d 11688	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ≠ 0)
36	31, 34, 35	divcld 11416	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
37	27, 36	mulcld 10661	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑𝑛) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
38	19, 37	eqeltrrd 2914	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ ℂ)
39		oveq1 7163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑘 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
40	39	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((𝑘 − 1) / 2) = ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2))
41	40	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (-1↑((𝑘 − 1) / 2)) = (-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
42		oveq2 7164	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝐴↑𝑘) = (𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)))
43		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → 𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1))
44	42, 43	oveq12d 7174	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((𝐴↑𝑘) / 𝑘) = ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1)))
45	41, 44	oveq12d 7174	. . . 4 ⊢ (𝑘 = ((2 · 𝑛) + 1) → ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘)) = ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))
46	38, 45	iserodd 16172	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘𝐴) ↔ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((-1↑((𝑘 − 1) / 2)) · ((𝐴↑𝑘) / 𝑘))))) ⇝ (arctan‘𝐴)))
47	24, 46	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((-1↑((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) · ((𝐴↑((2 · 𝑛) + 1)) / ((2 · 𝑛) + 1))))) ⇝ (arctan‘𝐴))
48	22, 47	eqbrtrd 5088	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq0( + , 𝐹) ⇝ (arctan‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ifcif 4467   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   < clt 10675   − cmin 10870  -cneg 10871   / cdiv 11297  ℕcn 11638  2c2 11693  ℕ₀cn0 11898  seqcseq 13370  ↑cexp 13430  abscabs 14593   ⇝ cli 14841   ∥ cdvds 15607  arctancatan 25442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-tan 15425  df-pi 15426  df-dvds 15608  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-cmp 21995  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24464  df-dv 24465  df-ulm 24965  df-log 25140  df-atan 25445

This theorem is referenced by:  log2cnv  25522