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Theorem iserodd 15762
Description: Collect the odd terms in a sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iserodd.f ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
iserodd.h (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
iserodd (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))) ⇝ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑛   𝑘,𝑛,𝜑
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem iserodd
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11935 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 nnuz 11936 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
3 0zd 11601 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4 1zzd 11620 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
5 2nn0 11521 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
7 nn0mulcl 11541 . . . . 5 ((2 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑚) ∈ ℕ0)
86, 7sylan 489 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑚) ∈ ℕ0)
9 nn0p1nn 11544 . . . 4 ((2 · 𝑚) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑚) + 1) ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑚) + 1) ∈ ℕ)
11 eqid 2760 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))
1210, 11fmptd 6549 . 2 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)):ℕ0⟶ℕ)
13 nn0mulcl 11541 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑖) ∈ ℕ0)
146, 13sylan 489 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑖) ∈ ℕ0)
1514nn0red 11564 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑖) ∈ ℝ)
16 peano2nn0 11545 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
17 nn0mulcl 11541 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0) → (2 · (𝑖 + 1)) ∈ ℕ0)
186, 16, 17syl2an 495 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑖 + 1)) ∈ ℕ0)
1918nn0red 11564 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
20 1red 10267 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
21 nn0re 11513 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
2221adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
2322ltp1d 11166 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 < (𝑖 + 1))
2416adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
2524nn0red 11564 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
26 2re 11302 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
2726a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
28 2pos 11324 . . . . . . 7 0 < 2
2928a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 0 < 2)
30 ltmul2 11086 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (2 · 𝑖) < (2 · (𝑖 + 1))))
3122, 25, 27, 29, 30syl112anc 1481 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 < (𝑖 + 1) ↔ (2 · 𝑖) < (2 · (𝑖 + 1))))
3223, 31mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑖) < (2 · (𝑖 + 1)))
3315, 19, 20, 32ltadd1dd 10850 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑖) + 1) < ((2 · (𝑖 + 1)) + 1))
34 oveq2 6822 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑖 → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑖))
3534oveq1d 6829 . . . . 5 (𝑚 = 𝑖 → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑖) + 1))
36 ovex 6842 . . . . 5 ((2 · 𝑖) + 1) ∈ V
3735, 11, 36fvmpt 6445 . . . 4 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖) = ((2 · 𝑖) + 1))
3837adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖) = ((2 · 𝑖) + 1))
39 oveq2 6822 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑖 + 1) → (2 · 𝑚) = (2 · (𝑖 + 1)))
4039oveq1d 6829 . . . . 5 (𝑚 = (𝑖 + 1) → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · (𝑖 + 1)) + 1))
41 ovex 6842 . . . . 5 ((2 · (𝑖 + 1)) + 1) ∈ V
4240, 11, 41fvmpt 6445 . . . 4 ((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘(𝑖 + 1)) = ((2 · (𝑖 + 1)) + 1))
4324, 42syl 17 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘(𝑖 + 1)) = ((2 · (𝑖 + 1)) + 1))
4433, 38, 433brtr4d 4836 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖) < ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘(𝑖 + 1)))
45 eldifi 3875 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
46 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
47 0cnd 10245 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 2 ∥ 𝑛) → 0 ∈ ℂ)
48 nnz 11611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
4948adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
50 odd2np1 15287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛))
52 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℤ)
53 nnm1nn0 11546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
5453ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
5554nn0red 11564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
5654nn0ge0d 11566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 0 ≤ (𝑛 − 1))
5726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 2 ∈ ℝ)
5828a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 0 < 2)
59 divge0 11104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛 − 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑛 − 1) / 2))
6055, 56, 57, 58, 59syl22anc 1478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 0 ≤ ((𝑛 − 1) / 2))
61 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)
6261oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (𝑛 − 1))
63 2cn 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℂ
64 zcn 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
6564ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℂ)
66 mulcl 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
6763, 65, 66sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
68 ax-1cn 10206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
69 pncan 10499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
7067, 68, 69sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (((2 · 𝑘) + 1) − 1) = (2 · 𝑘))
7162, 70eqtr3d 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → (𝑛 − 1) = (2 · 𝑘))
7271oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → ((𝑛 − 1) / 2) = ((2 · 𝑘) / 2))
73 2cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 2 ∈ ℂ)
74 2ne0 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 2 ≠ 0)
7665, 73, 75divcan3d 11018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → ((2 · 𝑘) / 2) = 𝑘)
7772, 76eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → ((𝑛 − 1) / 2) = 𝑘)
7860, 77breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 0 ≤ 𝑘)
79 elnn0z 11602 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑘))
8052, 78, 79sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8180ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0))
82 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛) → ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛)
8382eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛) → 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1))
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛) → 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1)))
8581, 84jcad 556 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ0𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1))))
8685reximdv2 3152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = 𝑛 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1)))
8751, 86sylbid 230 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1)))
88 iserodd.f . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
89 iserodd.h . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 = 𝐶)
9089eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
9188, 90syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 ∈ ℂ))
9291rexlimdva 3169 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 ∈ ℂ))
9392adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → 𝐵 ∈ ℂ))
9487, 93syld 47 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛𝐵 ∈ ℂ))
9594imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → 𝐵 ∈ ℂ)
9647, 95ifclda 4264 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵) ∈ ℂ)
97 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))
9897fvmpt2 6454 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))
9946, 96, 98syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))
10045, 99sylan2 492 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))
101 eldif 3725 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))))
102 vex 3343 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 ∈ V
103 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑘 → (2 · 𝑚) = (2 · 𝑘))
104103oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑘 → ((2 · 𝑚) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
105104cbvmptv 4902 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑘) + 1))
106105elrnmpt 5527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ V → (𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1)))
107102, 106ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1))
10887, 107syl6ibr 242 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))))
109108con1d 139 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (¬ 𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)) → 2 ∥ 𝑛))
110109impr 650 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑛 ∈ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → 2 ∥ 𝑛)
111101, 110sylan2b 493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → 2 ∥ 𝑛)
112111iftrued 4238 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵) = 0)
113100, 112eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0)
114113ralrimiva 3104 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0)
115 nfv 1992 . . . . 5 𝑗((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0
116 nffvmpt1 6361 . . . . . 6 𝑛((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗)
117116nfeq1 2916 . . . . 5 𝑛((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0
118 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗))
119118eqeq1d 2762 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0 ↔ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0))
120115, 117, 119cbvral 3306 . . . 4 (∀𝑛 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑛) = 0 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0)
121114, 120sylib 208 . . 3 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0)
122121r19.21bi 3070 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℕ ∖ ran (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1)))) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) = 0)
12396, 97fmptd 6549 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵)):ℕ⟶ℂ)
124123ffvelrnda 6523 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘𝑗) ∈ ℂ)
125 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
126 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
127126fvmpt2 6454 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
128125, 88, 127syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑘) = 𝐶)
129 ovex 6842 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑘) + 1) ∈ V
130104, 11, 129fvmpt 6445 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
131130adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘) = ((2 · 𝑘) + 1))
132131fveq2d 6357 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((2 · 𝑘) + 1)))
133 nn0mulcl 11541 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
1346, 133sylan 489 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ0)
135 nn0p1nn 11544 . . . . . . . . 9 ((2 · 𝑘) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
136134, 135syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
137 2z 11621 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
138 nn0z 11612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
139138adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
140 dvdsmul1 15225 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑘))
141137, 139, 140sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∥ (2 · 𝑘))
142134nn0zd 11692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
143 2nn 11397 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
145 1lt2 11406 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 < 2)
147 ndvdsp1 15357 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑘) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ (2 · 𝑘) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
148142, 144, 146, 147syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (2 · 𝑘) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
149141, 148mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1))
150149iffalsed 4241 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶) = 𝐶)
151150, 88eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶) ∈ ℂ)
152 breq2 4808 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → (2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1)))
153152, 89ifbieq2d 4255 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((2 · 𝑘) + 1) → if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶))
154153, 97fvmptg 6443 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ ∧ if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((2 · 𝑘) + 1)) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶))
155136, 151, 154syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((2 · 𝑘) + 1)) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) + 1), 0, 𝐶))
156132, 155, 1503eqtrd 2798 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) = 𝐶)
157128, 156eqtr4d 2797 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)))
158157ralrimiva 3104 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)))
159 nfv 1992 . . . . 5 𝑖((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘))
160 nffvmpt1 6361 . . . . . 6 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖)
161160nfeq1 2916 . . . . 5 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖))
162 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖))
163 fveq2 6353 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖))
164163fveq2d 6357 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖)))
165162, 164eqeq12d 2775 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖))))
166159, 161, 165cbvral 3306 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑘) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑘)) ↔ ∀𝑖 ∈ ℕ0 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖)))
167158, 166sylib 208 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ0 ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖)))
168167r19.21bi 3070 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))‘((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((2 · 𝑚) + 1))‘𝑖)))
1691, 2, 3, 4, 12, 44, 122, 124, 168isercoll2 14618 1 (𝜑 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)) ⇝ 𝐴 ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, 𝐵))) ⇝ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  cdif 3712  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478   / cdiv 10896  cn 11232  2c2 11282  0cn0 11504  cz 11589  seqcseq 13015  cli 14434  cdvds 15202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-dvds 15203
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