MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptc 23634
Description: Function-builder for derivative: derivative of a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptid.1 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptc.2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
dvmptc (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆 ↦ 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvmptc
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . 2 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2 dvmptid.1 . 2 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
31cnfldtopon 22499 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4 toponmax 20642 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
53, 4mp1i 13 . 2 (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
6 recnprss 23581 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
72, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
8 df-ss 3570 . . 3 (𝑆 ⊆ ℂ ↔ (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
97, 8sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∩ ℂ) = 𝑆)
10 dvmptc.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1110adantr 481 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
12 0cnd 9980 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
13 dvconst 23593 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
1410, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
15 fconstmpt 5125 . . . 4 (ℂ × {𝐴}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)
1615oveq2i 6618 . . 3 (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴))
17 fconstmpt 5125 . . 3 (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
1814, 16, 173eqtr3g 2678 . 2 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
191, 2, 5, 9, 11, 12, 18dvmptres3 23632 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆 ↦ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cin 3555  wss 3556  {csn 4150  {cpr 4152  cmpt 4675   × cxp 5074  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881  cr 9882  0cc0 9883  TopOpenctopn 16006  fldccnfld 19668  TopOnctopon 20637   D cdv 23540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-icc 12127  df-fz 12272  df-seq 12745  df-exp 12804  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-rest 16007  df-topn 16008  df-topgen 16028  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-fbas 19665  df-fg 19666  df-cnfld 19669  df-top 20621  df-topon 20638  df-topsp 20651  df-bases 20664  df-cld 20736  df-ntr 20737  df-cls 20738  df-nei 20815  df-lp 20853  df-perf 20854  df-cn 20944  df-cnp 20945  df-haus 21032  df-fil 21563  df-fm 21655  df-flim 21656  df-flf 21657  df-xms 22038  df-ms 22039  df-cncf 22594  df-limc 23543  df-dv 23544
This theorem is referenced by:  dvmptcmul  23640  dvmptfsum  23649  dvef  23654  rolle  23664  dvlipcn  23668  dvtaylp  24035  taylthlem2  24039  advlog  24307  advlogexp  24308  logtayl  24313  loglesqrt  24406  dvatan  24569  lgamgulmlem2  24663  log2sumbnd  25140  dvasin  33149  dvacos  33150  areacirclem1  33153  lhe4.4ex1a  38031  binomcxplemdvbinom  38055  dvsinax  39449  dvmptconst  39451  dvasinbx  39458  dvcosax  39464  itgiccshift  39519  itgperiod  39520  itgsbtaddcnst  39521  fourierdlem60  39706  fourierdlem61  39707
  Copyright terms: Public domain W3C validator