Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fibp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fibp1 29592
Description: Value of the Fibonacci sequence at higher indices. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
fibp1 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))

Proof of Theorem fibp1
Dummy variables 𝑤 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fib 29588 . . . 4 Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))))
21fveq1i 6085 . . 3 (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1))
32a1i 11 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)))
4 nn0ex 11141 . . . 4 0 ∈ V
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ℕ0 ∈ V)
6 0nn0 11150 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
76a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℕ0)
8 1nn0 11151 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
98a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
107, 9s2cld 13408 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ⟨“01”⟩ ∈ Word ℕ0)
11 eqid 2605 . . 3 (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))) = (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))))
12 fiblem 29589 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0
1312a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))):(Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩))))⟶ℕ0)
14 eluzp1p1 11541 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
15 nnuz 11551 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
1614, 15eleq2s 2701 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
17 s2len 13426 . . . . . 6 (#‘⟨“01”⟩) = 2
18 1p1e2 10977 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1917, 18eqtr4i 2630 . . . . 5 (#‘⟨“01”⟩) = (1 + 1)
2019fveq2i 6087 . . . 4 (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)) = (ℤ‘(1 + 1))
2116, 20syl6eleqr 2694 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘(#‘⟨“01”⟩)))
225, 10, 11, 13, 21sseqp1 29586 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))))‘(𝑁 + 1)) = ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
23 id 22 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑡𝑤 = 𝑡)
24 fveq2 6084 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑡 → (#‘𝑤) = (#‘𝑡))
2524oveq1d 6538 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑡 → ((#‘𝑤) − 2) = ((#‘𝑡) − 2))
2623, 25fveq12d 6090 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) = (𝑡‘((#‘𝑡) − 2)))
2724oveq1d 6538 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑡 → ((#‘𝑤) − 1) = ((#‘𝑡) − 1))
2823, 27fveq12d 6090 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)) = (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)))
2926, 28oveq12d 6541 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))) = ((𝑡‘((#‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((#‘𝑡) − 1))))
3029cbvmptv 4668 . . . 4 (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑡‘((#‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((#‘𝑡) − 1))))
3130a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1)))) = (𝑡 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑡‘((#‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)))))
32 simpr 475 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
331a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))))
3433reseq1d 5299 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
3532, 34eqtr4d 2642 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
36 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
3736fveq2d 6088 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (#‘𝑡) = (#‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
385, 10, 11, 13sseqf 29583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0)
391a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → Fibci = (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))))
4039feq1d 5925 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci:ℕ0⟶ℕ0 ↔ (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))):ℕ0⟶ℕ0))
4138, 40mpbird 245 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → Fibci:ℕ0⟶ℕ0)
42 nnnn0 11142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4342, 9nn0addcld 11198 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
445, 41, 43subiwrdlen 29577 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
4544adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (#‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
4637, 45eqtrd 2639 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))
4746oveq1d 6538 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((#‘𝑡) − 2) = ((𝑁 + 1) − 2))
48 nncn 10871 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
49 1cnd 9908 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
50 2cnd 10936 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
5148, 49, 50addsubassd 10259 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 + (1 − 2)))
5248, 50, 49subsub2d 10268 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 + (1 − 2)))
53 2m1e1 10978 . . . . . . . . . . . 12 (2 − 1) = 1
5453oveq2i 6534 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
5651, 52, 553eqtr2d 2645 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
5756adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 2) = (𝑁 − 1))
5847, 57eqtrd 2639 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((#‘𝑡) − 2) = (𝑁 − 1))
5958fveq2d 6088 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((#‘𝑡) − 2)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
6036fveq1d 6086 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘(𝑁 − 1)) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)))
61 nnm1nn0 11177 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
62 peano2nn 10875 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
63 nnre 10870 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
64 2re 10933 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
6663, 65readdcld 9921 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℝ)
67 1red 9907 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
68 2rp 11665 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
7063, 69ltaddrpd 11733 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 2))
7163, 66, 67, 70ltsub1dd 10484 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < ((𝑁 + 2) − 1))
7248, 50, 49addsubassd 10259 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + (2 − 1)))
7353oveq2i 6534 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
7472, 73syl6eq 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
7571, 74breqtrd 4599 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1))
76 elfzo0 12327 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) < (𝑁 + 1)))
7761, 62, 75, 76syl3anbrc 1238 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
7877adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
79 fvres 6098 . . . . . . 7 ((𝑁 − 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
8078, 79syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘(𝑁 − 1)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
8159, 60, 803eqtrd 2643 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((#‘𝑡) − 2)) = (Fibci‘(𝑁 − 1)))
8246oveq1d 6538 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((#‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
83 simpl 471 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
8483nncnd 10879 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℂ)
85 1cnd 9908 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℂ)
8684, 85pncand 10240 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8782, 86eqtrd 2639 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((#‘𝑡) − 1) = 𝑁)
8887fveq2d 6088 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)) = (𝑡𝑁))
8936fveq1d 6086 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡𝑁) = ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁))
90 nn0fz0 12257 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
9142, 90sylib 206 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
92 nnz 11228 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
93 fzval3 12355 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9591, 94eleqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
9695adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
97 fvres 6098 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
9896, 97syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (Fibci‘𝑁))
9988, 89, 983eqtrd 2643 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)) = (Fibci‘𝑁))
10081, 99oveq12d 6541 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((#‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((#‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
10135, 100syldan 485 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑡 = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑡‘((#‘𝑡) − 2)) + (𝑡‘((#‘𝑡) − 1))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
10239reseq1d 5299 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
1035, 41, 43subiwrd 29576 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word ℕ0)
104 ovex 6551 . . . . . . . . 9 (⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))) ∈ V
1051, 104eqeltri 2679 . . . . . . . 8 Fibci ∈ V
106105resex 5346 . . . . . . 7 (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V
107106a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V)
10818fveq2i 6087 . . . . . . . 8 (ℤ‘(1 + 1)) = (ℤ‘2)
10916, 108syl6eleq 2693 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘2))
11044, 109eqeltrd 2683 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ‘2))
111 hashf 12937 . . . . . . 7 #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
112 ffn 5940 . . . . . . 7 (#:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → # Fn V)
113 elpreima 6226 . . . . . . 7 (# Fn V → ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (# “ (ℤ‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (#‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ‘2))))
114111, 112, 113mp2b 10 . . . . . 6 ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (# “ (ℤ‘2)) ↔ ((Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ V ∧ (#‘(Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) ∈ (ℤ‘2)))
115107, 110, 114sylanbrc 694 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (# “ (ℤ‘2)))
116103, 115elind 3755 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))))
117102, 116eqeltrrd 2684 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))))
118 ovex 6551 . . . 4 ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V
119118a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)) ∈ V)
12031, 101, 117, 119fvmptd 6178 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))‘((⟨“01”⟩seqstr(𝑤 ∈ (Word ℕ0 ∩ (# “ (ℤ‘2))) ↦ ((𝑤‘((#‘𝑤) − 2)) + (𝑤‘((#‘𝑤) − 1))))) ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
1213, 22, 1203eqtrd 2643 1 (𝑁 ∈ ℕ → (Fibci‘(𝑁 + 1)) = ((Fibci‘(𝑁 − 1)) + (Fibci‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3168  cun 3533  cin 3534  {csn 4120   class class class wbr 4573  cmpt 4633  ccnv 5023  cres 5026  cima 5027   Fn wfn 5781  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  cr 9787  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791  +∞cpnf 9923   < clt 9926  cmin 10113  cn 10863  2c2 10913  0cn0 11135  cz 11206  cuz 11515  +crp 11660  ...cfz 12148  ..^cfzo 12285  #chash 12930  Word cword 13088  ⟨“cs2 13379  seqstrcsseq 29574  Fibcicfib 29587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-hash 12931  df-word 13096  df-lsw 13097  df-concat 13098  df-s1 13099  df-substr 13100  df-s2 13386  df-sseq 29575  df-fib 29588
This theorem is referenced by:  fib2  29593  fib3  29594  fib4  29595  fib5  29596  fib6  29597
  Copyright terms: Public domain W3C validator