Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcnlem2 22946
 Description: The inner product operation of a complex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipcn.h , = (·𝑖𝑊)
ipcn.d 𝐷 = (dist‘𝑊)
ipcn.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
ipcn.t 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))
ipcn.u 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))
ipcn.w (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
ipcn.a (𝜑𝐴𝑉)
ipcn.b (𝜑𝐵𝑉)
ipcn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ipcn.x (𝜑𝑋𝑉)
ipcn.y (𝜑𝑌𝑉)
ipcn.1 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < 𝑈)
ipcn.2 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < 𝑇)
Assertion
Ref Expression
ipcnlem2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑋 , 𝑌))) < 𝑅)

Proof of Theorem ipcnlem2
StepHypRef Expression
1 ipcn.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
2 ipcn.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 ipcn.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 ipcn.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 ipcn.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
64, 5cphipcl 22894 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
71, 2, 3, 6syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → (𝐴 , 𝐵) ∈ ℂ)
8 ipcn.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
9 ipcn.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
104, 5cphipcl 22894 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
111, 8, 9, 10syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → (𝑋 , 𝑌) ∈ ℂ)
124, 5cphipcl 22894 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉𝑌𝑉) → (𝐴 , 𝑌) ∈ ℂ)
131, 2, 9, 12syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → (𝐴 , 𝑌) ∈ ℂ)
14 ipcn.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1514rpred 11816 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
167, 13subcld 10337 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)) ∈ ℂ)
1716abscld 14104 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ∈ ℝ)
18 cphnlm 22875 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmMod)
191, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ NrmMod)
20 nlmngp 22386 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ NrmGrp)
22 ipcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑊)
234, 22nmcl 22325 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
2421, 2, 23syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
254, 22nmge0 22326 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
2621, 2, 25syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐴))
2724, 26ge0p1rpd 11846 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
2827rpred 11816 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴) + 1) ∈ ℝ)
29 ngpms 22309 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ MetSp)
3021, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ MetSp)
31 ipcn.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘𝑊)
324, 31mscl 22171 . . . . 5 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) ∈ ℝ)
3330, 3, 9, 32syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) ∈ ℝ)
3428, 33remulcld 10015 . . 3 (𝜑 → (((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
3515rehalfcld 11224 . . 3 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
3624, 33remulcld 10015 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) ∈ ℝ)
37 eqid 2626 . . . . . . . 8 (-g𝑊) = (-g𝑊)
385, 4, 37cphsubdi 22912 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝑌𝑉)) → (𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)))
391, 2, 3, 9, 38syl13anc 1325 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌)) = ((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌)))
4039fveq2d 6154 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌))) = (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))))
41 ngpgrp 22308 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ Grp)
4221, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
434, 37grpsubcl 17411 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → (𝐵(-g𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
4442, 3, 9, 43syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(-g𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
454, 5, 22ipcau 22940 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴𝑉 ∧ (𝐵(-g𝑊)𝑌) ∈ 𝑉) → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌))))
461, 2, 44, 45syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌))))
4722, 4, 37, 31ngpds 22313 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌)))
4821, 3, 9, 47syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌)))
4948oveq2d 6621 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑊)𝑌))))
5046, 49breqtrrd 4646 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐴 , (𝐵(-g𝑊)𝑌))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)))
5140, 50eqbrtrrd 4642 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ≤ ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)))
52 msxms 22164 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ ∞MetSp)
5330, 52syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
544, 31xmsge0 22173 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → 0 ≤ (𝐵𝐷𝑌))
5553, 3, 9, 54syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐷𝑌))
5624lep1d 10900 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝐴) ≤ ((𝑁𝐴) + 1))
5724, 28, 33, 55, 56lemul1ad 10908 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝑌)) ≤ (((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)))
5817, 36, 34, 51, 57letrd 10139 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) ≤ (((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)))
59 ipcn.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < 𝑇)
60 ipcn.t . . . . 5 𝑇 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))
6159, 60syl6breq 4659 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1)))
6233, 35, 27ltmuldiv2d 11864 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐵𝐷𝑌) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1))))
6361, 62mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (((𝑁𝐴) + 1) · (𝐵𝐷𝑌)) < (𝑅 / 2))
6417, 34, 35, 58, 63lelttrd 10140 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝐴 , 𝑌))) < (𝑅 / 2))
6513, 11subcld 10337 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)) ∈ ℂ)
6665abscld 14104 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ∈ ℝ)
674, 31mscl 22171 . . . . 5 ((𝑊 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉𝑋𝑉) → (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
6830, 2, 8, 67syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ)
694, 22nmcl 22325 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
7021, 3, 69syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
7114rphalfcld 11828 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
7271, 27rpdivcld 11833 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐴) + 1)) ∈ ℝ+)
7360, 72syl5eqel 2708 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
7473rpred 11816 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
7570, 74readdcld 10014 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ)
7668, 75remulcld 10015 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)) ∈ ℝ)
774, 22nmcl 22325 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁𝑌) ∈ ℝ)
7821, 9, 77syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑌) ∈ ℝ)
7968, 78remulcld 10015 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)) ∈ ℝ)
805, 4, 37cphsubdir 22911 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌) = ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)))
811, 2, 8, 9, 80syl13anc 1325 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌) = ((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌)))
8281fveq2d 6154 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌)) = (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))))
834, 37grpsubcl 17411 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝑋𝑉) → (𝐴(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
8442, 2, 8, 83syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
854, 5, 22ipcau 22940 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉) → (abs‘((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)) · (𝑁𝑌)))
861, 84, 9, 85syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)) · (𝑁𝑌)))
8722, 4, 37, 31ngpds 22313 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑉𝑋𝑉) → (𝐴𝐷𝑋) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)))
8821, 2, 8, 87syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)))
8988oveq1d 6620 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)) = ((𝑁‘(𝐴(-g𝑊)𝑋)) · (𝑁𝑌)))
9086, 89breqtrrd 4646 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐴(-g𝑊)𝑋) , 𝑌)) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)))
9182, 90eqbrtrrd 4642 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)))
924, 31xmsge0 22173 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑉𝑋𝑉) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑋))
9353, 2, 8, 92syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑋))
9478, 70resubcld 10403 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ∈ ℝ)
954, 22, 37nm2dif 22334 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑌𝑉𝐵𝑉) → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝐵)))
9621, 9, 3, 95syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝐵)))
9722, 4, 37, 31ngpdsr 22314 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉𝑌𝑉) → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝐵)))
9821, 3, 9, 97syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) = (𝑁‘(𝑌(-g𝑊)𝐵)))
9996, 98breqtrrd 4646 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ (𝐵𝐷𝑌))
10033, 74, 59ltled 10130 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑌) ≤ 𝑇)
10194, 33, 74, 99, 100letrd 10139 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ 𝑇)
10278, 70, 74lesubadd2d 10571 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁𝑌) − (𝑁𝐵)) ≤ 𝑇 ↔ (𝑁𝑌) ≤ ((𝑁𝐵) + 𝑇)))
103101, 102mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑌) ≤ ((𝑁𝐵) + 𝑇))
10478, 75, 68, 93, 103lemul2ad 10909 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · (𝑁𝑌)) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)))
10566, 79, 76, 91, 104letrd 10139 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) ≤ ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)))
106 ipcn.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < 𝑈)
107 ipcn.u . . . . 5 𝑈 = ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))
108106, 107syl6breq 4659 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇)))
109 0red 9986 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1104, 22nmge0 22326 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑉) → 0 ≤ (𝑁𝐵))
11121, 3, 110syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝐵))
11270, 73ltaddrpd 11849 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝐵) < ((𝑁𝐵) + 𝑇))
113109, 70, 75, 111, 112lelttrd 10140 . . . . 5 (𝜑 → 0 < ((𝑁𝐵) + 𝑇))
114 ltmuldiv 10841 . . . . 5 (((𝐴𝐷𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ (((𝑁𝐵) + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝑁𝐵) + 𝑇))) → (((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))))
11568, 35, 75, 113, 114syl112anc 1327 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑋) < ((𝑅 / 2) / ((𝑁𝐵) + 𝑇))))
116108, 115mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑋) · ((𝑁𝐵) + 𝑇)) < (𝑅 / 2))
11766, 76, 35, 105, 116lelttrd 10140 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝑌) − (𝑋 , 𝑌))) < (𝑅 / 2))
1187, 11, 13, 15, 64, 117abs3lemd 14129 1 (𝜑 → (abs‘((𝐴 , 𝐵) − (𝑋 , 𝑌))) < 𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   class class class wbr 4618  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℂcc 9879  ℝcr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886   < clt 10019   ≤ cle 10020   − cmin 10211   / cdiv 10629  2c2 11015  ℝ+crp 11776  abscabs 13903  Basecbs 15776  ·𝑖cip 15862  distcds 15866  Grpcgrp 17338  -gcsg 17340  ∞MetSpcxme 22027  MetSpcmt 22028  normcnm 22286  NrmGrpcngp 22287  NrmModcnlm 22290  ℂPreHilccph 22869 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12120  df-fz 12266  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-0g 16018  df-topgen 16020  df-xrs 16078  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-mhm 17251  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-subg 17507  df-ghm 17574  df-cmn 18111  df-abl 18112  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-cring 18466  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-invr 18588  df-dvr 18599  df-rnghom 18631  df-drng 18665  df-subrg 18694  df-staf 18761  df-srng 18762  df-lmod 18781  df-lmhm 18936  df-lvec 19017  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-cnfld 19661  df-phl 19885  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-xms 22030  df-ms 22031  df-nm 22292  df-ngp 22293  df-tng 22294  df-nlm 22296  df-clm 22766  df-cph 22871  df-tch 22872 This theorem is referenced by:  ipcnlem1  22947
 Copyright terms: Public domain W3C validator