MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ge0p1rpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ge0p1rpd 11737
Description: A nonnegative number plus one is a positive number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ge0p1rp.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
ge0p1rpd (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem ge0p1rpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ge0p1rp.2 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3 ge0p1rp 11697 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anc 691 1 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977   class class class wbr 4578  (class class class)co 6527  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796  cle 9932  +crp 11667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-rp 11668
This theorem is referenced by:  lo1bddrp  14053  o1rlimmul  14146  mertenslem1  14404  mertenslem2  14405  nlmvscnlem2  22247  nlmvscnlem1  22248  nghmcn  22307  cnheibor  22510  ipcnlem2  22796  ipcnlem1  22797  pjthlem1  22961  itg2const2  23259  itgulm  23911  abelthlem8  23942  loglesqrt  24244  logdiflbnd  24466  ftalem4  24547  logfacrlim  24694  dchrisumlem3  24925  pntrsumo1  24999  smcnlem  26730  pjhthlem1  27428  faclimlem1  30676  faclimlem3  30678  faclim  30679  iprodfac  30680  isbnd3  32547  totbndbnd  32552  rrntotbnd  32599  wallispilem4  38755  wallispi  38757  wallispi2lem1  38758  stirlinglem1  38761  stirlinglem4  38764  stirlinglem6  38766  stirlinglem10  38770  stirlinglem11  38771  stirlinglem12  38772  stirlinglem13  38773  fourierdlem30  38824  fourierdlem77  38870
  Copyright terms: Public domain W3C validator