Theorem 2ecoptocl 6857

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
2ecoptocl.1	|- S = ( ( C X. D ) /. R )
2ecoptocl.2	|- ( [ <. x , y >. ] R = A -> ( ph <-> ps ) )
2ecoptocl.3	|- ( [ <. z , w >. ] R = B -> ( ps <-> ch ) )
2ecoptocl.4	|- ( ( ( x e. C /\ y e. D ) /\ ( z e. C /\ w e. D ) ) -> ph )

Assertion

Ref	Expression
2ecoptocl	|- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ch )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, A   z, B, w   x, C, y, z, w   x, D, y, z, w   z, S, w   x, R, y, z, w   ps, x, y   ch, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   ps( z, w)   ch( x, y)   B( x, y)   S( x, y)

Proof of Theorem 2ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ecoptocl.1	. . 3 |- S = ( ( C X. D ) /. R )
2		2ecoptocl.3	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] R = B -> ( ps <-> ch ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] R = B -> ( ( A e. S -> ps ) <-> ( A e. S -> ch ) ) )
4		2ecoptocl.2	. . . . . 6 |- ( [ <. x , y >. ] R = A -> ( ph <-> ps ) )
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( [ <. x , y >. ] R = A -> ( ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ph ) <-> ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ps ) ) )
6		2ecoptocl.4	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. C /\ y e. D ) /\ ( z e. C /\ w e. D ) ) -> ph )
7	6	ex 115	. . . . 5 |- ( ( x e. C /\ y e. D ) -> ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ph ) )
8	1, 5, 7	ecoptocl 6856	. . . 4 |- ( A e. S -> ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ps ) )
9	8	com12 30	. . 3 |- ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ( A e. S -> ps ) )
10	1, 3, 9	ecoptocl 6856	. 2 |- ( B e. S -> ( A e. S -> ch ) )
11	10	impcom 125	1 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ch )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   <.cop 3692   X. cxp 4747   [cec 6765   /.cqs 6766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-ec 6769  df-qs 6773

This theorem is referenced by:  3ecoptocl  6858  ecovcom  6876  ecovicom  6877  addclnq  7690  mulclnq  7691  nqtri3or  7711  ltexnqq  7723  addclnq0  7766  mulclnq0  7767  distrnq0  7774  mulcomnq0  7775  addassnq0  7777  addclsr  8068  mulclsr  8069  mulgt0sr  8093  aptisr  8094