Theorem 2ecoptocl 6897

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
2ecoptocl.1	|- S = ( ( C X. D ) /. R )
2ecoptocl.2	|- ( [ <. x , y >. ] R = A -> ( ph <-> ps ) )
2ecoptocl.3	|- ( [ <. z , w >. ] R = B -> ( ps <-> ch ) )
2ecoptocl.4	|- ( ( ( x e. C /\ y e. D ) /\ ( z e. C /\ w e. D ) ) -> ph )

Assertion

Ref	Expression
2ecoptocl	|- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ch )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, A   z, B, w   x, C, y, z, w   x, D, y, z, w   z, S, w   x, R, y, z, w   ps, x, y   ch, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   ps( z, w)   ch( x, y)   B( x, y)   S( x, y)

Proof of Theorem 2ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ecoptocl.1	. . 3 |- S = ( ( C X. D ) /. R )
2		2ecoptocl.3	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] R = B -> ( ps <-> ch ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] R = B -> ( ( A e. S -> ps ) <-> ( A e. S -> ch ) ) )
4		2ecoptocl.2	. . . . . 6 |- ( [ <. x , y >. ] R = A -> ( ph <-> ps ) )
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( [ <. x , y >. ] R = A -> ( ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ph ) <-> ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ps ) ) )
6		2ecoptocl.4	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. C /\ y e. D ) /\ ( z e. C /\ w e. D ) ) -> ph )
7	6	ex 115	. . . . 5 |- ( ( x e. C /\ y e. D ) -> ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ph ) )
8	1, 5, 7	ecoptocl 6896	. . . 4 |- ( A e. S -> ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ps ) )
9	8	com12 30	. . 3 |- ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ( A e. S -> ps ) )
10	1, 3, 9	ecoptocl 6896	. 2 |- ( B e. S -> ( A e. S -> ch ) )
11	10	impcom 125	1 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ch )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   X. cxp 4772   [cec 6805   /.cqs 6806

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-ec 6809  df-qs 6813

This theorem is used by:  3ecoptocl  6898  ecovcom  6916  ecovicom  6917  addclnq  7742  mulclnq  7743  nqtri3or  7763  ltexnqq  7775  addclnq0  7818  mulclnq0  7819  distrnq0  7826  mulcomnq0  7827  addassnq0  7829  addclsr  8120  mulclsr  8121  mulgt0sr  8145  aptisr  8146