Theorem 2ecoptocl 6691

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
2ecoptocl.1	|- S = ( ( C X. D ) /. R )
2ecoptocl.2	|- ( [ <. x , y >. ] R = A -> ( ph <-> ps ) )
2ecoptocl.3	|- ( [ <. z , w >. ] R = B -> ( ps <-> ch ) )
2ecoptocl.4	|- ( ( ( x e. C /\ y e. D ) /\ ( z e. C /\ w e. D ) ) -> ph )

Assertion

Ref	Expression
2ecoptocl	|- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ch )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, A   z, B, w   x, C, y, z, w   x, D, y, z, w   z, S, w   x, R, y, z, w   ps, x, y   ch, z, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, w)   ps( z, w)   ch( x, y)   B( x, y)   S( x, y)

Proof of Theorem 2ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ecoptocl.1	. . 3 |- S = ( ( C X. D ) /. R )
2		2ecoptocl.3	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] R = B -> ( ps <-> ch ) )
3	2	imbi2d 230	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] R = B -> ( ( A e. S -> ps ) <-> ( A e. S -> ch ) ) )
4		2ecoptocl.2	. . . . . 6 |- ( [ <. x , y >. ] R = A -> ( ph <-> ps ) )
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( [ <. x , y >. ] R = A -> ( ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ph ) <-> ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ps ) ) )
6		2ecoptocl.4	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. C /\ y e. D ) /\ ( z e. C /\ w e. D ) ) -> ph )
7	6	ex 115	. . . . 5 |- ( ( x e. C /\ y e. D ) -> ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ph ) )
8	1, 5, 7	ecoptocl 6690	. . . 4 |- ( A e. S -> ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ps ) )
9	8	com12 30	. . 3 |- ( ( z e. C /\ w e. D ) -> ( A e. S -> ps ) )
10	1, 3, 9	ecoptocl 6690	. 2 |- ( B e. S -> ( A e. S -> ch ) )
11	10	impcom 125	1 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ch )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   <.cop 3626   X. cxp 4662   [cec 6599   /.cqs 6600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-ec 6603  df-qs 6607

This theorem is referenced by:  3ecoptocl  6692  ecovcom  6710  ecovicom  6711  addclnq  7459  mulclnq  7460  nqtri3or  7480  ltexnqq  7492  addclnq0  7535  mulclnq0  7536  distrnq0  7543  mulcomnq0  7544  addassnq0  7546  addclsr  7837  mulclsr  7838  mulgt0sr  7862  aptisr  7863