ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2ecoptocl GIF version

Theorem 2ecoptocl 6625
Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
2ecoptocl.1 𝑆 = ((𝐶 × 𝐷) / 𝑅)
2ecoptocl.2 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
2ecoptocl.3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓𝜒))
2ecoptocl.4 (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → 𝜑)
Assertion
Ref Expression
2ecoptocl ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝜒)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝐴   𝑧,𝐵,𝑤   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤   𝑧,𝑆,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑧,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝜓(𝑧,𝑤)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 2ecoptocl
StepHypRef Expression
1 2ecoptocl.1 . . 3 𝑆 = ((𝐶 × 𝐷) / 𝑅)
2 2ecoptocl.3 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓𝜒))
32imbi2d 230 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → ((𝐴𝑆𝜓) ↔ (𝐴𝑆𝜒)))
4 2ecoptocl.2 . . . . . 6 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑𝜓))
54imbi2d 230 . . . . 5 ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜑) ↔ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜓)))
6 2ecoptocl.4 . . . . . 6 (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑧𝐶𝑤𝐷)) → 𝜑)
76ex 115 . . . . 5 ((𝑥𝐶𝑦𝐷) → ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜑))
81, 5, 7ecoptocl 6624 . . . 4 (𝐴𝑆 → ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → 𝜓))
98com12 30 . . 3 ((𝑧𝐶𝑤𝐷) → (𝐴𝑆𝜓))
101, 3, 9ecoptocl 6624 . 2 (𝐵𝑆 → (𝐴𝑆𝜒))
1110impcom 125 1 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝜒)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  cop 3597   × cxp 4626  [cec 6535   / cqs 6536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-ec 6539  df-qs 6543
This theorem is referenced by:  3ecoptocl  6626  ecovcom  6644  ecovicom  6645  addclnq  7376  mulclnq  7377  nqtri3or  7397  ltexnqq  7409  addclnq0  7452  mulclnq0  7453  distrnq0  7460  mulcomnq0  7461  addassnq0  7463  addclsr  7754  mulclsr  7755  mulgt0sr  7779  aptisr  7780
  Copyright terms: Public domain W3C validator