Theorem 2ecoptocl 6792

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by NM, 23-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
2ecoptocl.1	⊢ 𝑆 = ((𝐶 × 𝐷) / 𝑅)
2ecoptocl.2	⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2ecoptocl.3	⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
2ecoptocl.4	⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
2ecoptocl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝜒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝐴   𝑧,𝐵,𝑤   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤   𝑧,𝑆,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑥,𝑦   𝜒,𝑧,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝜓(𝑧,𝑤)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem 2ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ecoptocl.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((𝐶 × 𝐷) / 𝑅)
2		2ecoptocl.3	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	2	imbi2d 230	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩]𝑅 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜓) ↔ (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜒)))
4		2ecoptocl.2	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩]𝑅 = 𝐴 → (((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝜑) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝜓)))
6		2ecoptocl.4	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷)) → 𝜑)
7	6	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝜑))
8	1, 5, 7	ecoptocl 6791	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 → ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → 𝜓))
9	8	com12 30	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜓))
10	1, 3, 9	ecoptocl 6791	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑆 → (𝐴 ∈ 𝑆 → 𝜒))
11	10	impcom 125	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝜒)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ⟨cop 3672   × cxp 4723  [cec 6700   / cqs 6701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-ec 6704  df-qs 6708

This theorem is referenced by:  3ecoptocl  6793  ecovcom  6811  ecovicom  6812  addclnq  7595  mulclnq  7596  nqtri3or  7616  ltexnqq  7628  addclnq0  7671  mulclnq0  7672  distrnq0  7679  mulcomnq0  7680  addassnq0  7682  addclsr  7973  mulclsr  7974  mulgt0sr  7998  aptisr  7999