ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulclsr Unicode version

Theorem mulclsr 7576
Description: Closure of multiplication on signed reals. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulclsr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  .R  B
)  e.  R. )

Proof of Theorem mulclsr
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7549 . . 3  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 oveq1 5781 . . . 4  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  A  -> 
( [ <. x ,  y >. ]  ~R  .R 
[ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  ( A  .R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  ) )
32eleq1d 2208 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  A  -> 
( ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  .R 
[ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  <->  ( A  .R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) ) )
4 oveq2 5782 . . . 4  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~R  =  B  -> 
( A  .R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  ( A  .R  B ) )
54eleq1d 2208 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~R  =  B  -> 
( ( A  .R  [
<. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  <->  ( A  .R  B )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) ) )
6 mulsrpr 7568 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  .R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  [ <. (
( x  .P.  z
)  +P.  ( y  .P.  w ) ) ,  ( ( x  .P.  w )  +P.  (
y  .P.  z )
) >. ]  ~R  )
7 mulclpr 7394 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( x  .P.  z
)  e.  P. )
8 mulclpr 7394 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( y  .P.  w
)  e.  P. )
9 addclpr 7359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .P.  z
)  e.  P.  /\  ( y  .P.  w
)  e.  P. )  ->  ( ( x  .P.  z )  +P.  (
y  .P.  w )
)  e.  P. )
107, 8, 9syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  /\  ( y  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  .P.  z )  +P.  ( y  .P.  w
) )  e.  P. )
1110an4s 577 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  .P.  z )  +P.  ( y  .P.  w
) )  e.  P. )
12 mulclpr 7394 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( x  .P.  w
)  e.  P. )
13 mulclpr 7394 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( y  .P.  z
)  e.  P. )
14 addclpr 7359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .P.  w
)  e.  P.  /\  ( y  .P.  z
)  e.  P. )  ->  ( ( x  .P.  w )  +P.  (
y  .P.  z )
)  e.  P. )
1512, 13, 14syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  w  e.  P. )  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( (
x  .P.  w )  +P.  ( y  .P.  z
) )  e.  P. )
1615an42s 578 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  .P.  w )  +P.  ( y  .P.  z
) )  e.  P. )
1711, 16jca 304 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
( x  .P.  z
)  +P.  ( y  .P.  w ) )  e. 
P.  /\  ( (
x  .P.  w )  +P.  ( y  .P.  z
) )  e.  P. ) )
18 opelxpi 4571 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  .P.  z )  +P.  (
y  .P.  w )
)  e.  P.  /\  ( ( x  .P.  w )  +P.  (
y  .P.  z )
)  e.  P. )  -> 
<. ( ( x  .P.  z )  +P.  (
y  .P.  w )
) ,  ( ( x  .P.  w )  +P.  ( y  .P.  z ) ) >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
19 enrex 7559 . . . . . 6  |-  ~R  e.  _V
2019ecelqsi 6483 . . . . 5  |-  ( <.
( ( x  .P.  z )  +P.  (
y  .P.  w )
) ,  ( ( x  .P.  w )  +P.  ( y  .P.  z ) ) >.  e.  ( P.  X.  P. )  ->  [ <. (
( x  .P.  z
)  +P.  ( y  .P.  w ) ) ,  ( ( x  .P.  w )  +P.  (
y  .P.  z )
) >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
2117, 18, 203syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  [ <. (
( x  .P.  z
)  +P.  ( y  .P.  w ) ) ,  ( ( x  .P.  w )  +P.  (
y  .P.  z )
) >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
226, 21eqeltrd 2216 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  .R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
231, 3, 5, 222ecoptocl 6517 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  .R  B
)  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
2423, 1eleqtrrdi 2233 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  .R  B
)  e.  R. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   <.cop 3530    X. cxp 4537  (class class class)co 5774   [cec 6427   /.cqs 6428   P.cnp 7113    +P. cpp 7115    .P. cmp 7116    ~R cer 7118   R.cnr 7119    .R cmr 7124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7126  df-pli 7127  df-mi 7128  df-lti 7129  df-plpq 7166  df-mpq 7167  df-enq 7169  df-nqqs 7170  df-plqqs 7171  df-mqqs 7172  df-1nqqs 7173  df-rq 7174  df-ltnqqs 7175  df-enq0 7246  df-nq0 7247  df-0nq0 7248  df-plq0 7249  df-mq0 7250  df-inp 7288  df-iplp 7290  df-imp 7291  df-enr 7548  df-nr 7549  df-mr 7551
This theorem is referenced by:  pn0sr  7593  negexsr  7594  caucvgsrlemoffval  7618  caucvgsrlemofff  7619  map2psrprg  7627  mulcnsr  7657  mulresr  7660  mulcnsrec  7665  axmulcl  7688  axmulrcl  7689  axmulcom  7693  axmulass  7695  axdistr  7696  axrnegex  7701
  Copyright terms: Public domain W3C validator