ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulclsr Unicode version

Theorem mulclsr 7816
Description: Closure of multiplication on signed reals. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulclsr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  .R  B
)  e.  R. )

Proof of Theorem mulclsr
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7789 . . 3  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 oveq1 5926 . . . 4  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  A  -> 
( [ <. x ,  y >. ]  ~R  .R 
[ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  ( A  .R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  ) )
32eleq1d 2262 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  A  -> 
( ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  .R 
[ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  <->  ( A  .R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) ) )
4 oveq2 5927 . . . 4  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~R  =  B  -> 
( A  .R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  ( A  .R  B ) )
54eleq1d 2262 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~R  =  B  -> 
( ( A  .R  [
<. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  <->  ( A  .R  B )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) ) )
6 mulsrpr 7808 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  .R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  [ <. (
( x  .P.  z
)  +P.  ( y  .P.  w ) ) ,  ( ( x  .P.  w )  +P.  (
y  .P.  z )
) >. ]  ~R  )
7 mulclpr 7634 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( x  .P.  z
)  e.  P. )
8 mulclpr 7634 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( y  .P.  w
)  e.  P. )
9 addclpr 7599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .P.  z
)  e.  P.  /\  ( y  .P.  w
)  e.  P. )  ->  ( ( x  .P.  z )  +P.  (
y  .P.  w )
)  e.  P. )
107, 8, 9syl2an 289 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  /\  ( y  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  .P.  z )  +P.  ( y  .P.  w
) )  e.  P. )
1110an4s 588 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  .P.  z )  +P.  ( y  .P.  w
) )  e.  P. )
12 mulclpr 7634 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( x  .P.  w
)  e.  P. )
13 mulclpr 7634 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( y  .P.  z
)  e.  P. )
14 addclpr 7599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .P.  w
)  e.  P.  /\  ( y  .P.  z
)  e.  P. )  ->  ( ( x  .P.  w )  +P.  (
y  .P.  z )
)  e.  P. )
1512, 13, 14syl2an 289 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  w  e.  P. )  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( (
x  .P.  w )  +P.  ( y  .P.  z
) )  e.  P. )
1615an42s 589 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  .P.  w )  +P.  ( y  .P.  z
) )  e.  P. )
1711, 16jca 306 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
( x  .P.  z
)  +P.  ( y  .P.  w ) )  e. 
P.  /\  ( (
x  .P.  w )  +P.  ( y  .P.  z
) )  e.  P. ) )
18 opelxpi 4692 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  .P.  z )  +P.  (
y  .P.  w )
)  e.  P.  /\  ( ( x  .P.  w )  +P.  (
y  .P.  z )
)  e.  P. )  -> 
<. ( ( x  .P.  z )  +P.  (
y  .P.  w )
) ,  ( ( x  .P.  w )  +P.  ( y  .P.  z ) ) >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
19 enrex 7799 . . . . . 6  |-  ~R  e.  _V
2019ecelqsi 6645 . . . . 5  |-  ( <.
( ( x  .P.  z )  +P.  (
y  .P.  w )
) ,  ( ( x  .P.  w )  +P.  ( y  .P.  z ) ) >.  e.  ( P.  X.  P. )  ->  [ <. (
( x  .P.  z
)  +P.  ( y  .P.  w ) ) ,  ( ( x  .P.  w )  +P.  (
y  .P.  z )
) >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
2117, 18, 203syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  [ <. (
( x  .P.  z
)  +P.  ( y  .P.  w ) ) ,  ( ( x  .P.  w )  +P.  (
y  .P.  z )
) >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
226, 21eqeltrd 2270 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  .R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
231, 3, 5, 222ecoptocl 6679 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  .R  B
)  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
2423, 1eleqtrrdi 2287 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  .R  B
)  e.  R. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2164   <.cop 3622    X. cxp 4658  (class class class)co 5919   [cec 6587   /.cqs 6588   P.cnp 7353    +P. cpp 7355    .P. cmp 7356    ~R cer 7358   R.cnr 7359    .R cmr 7364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-2o 6472  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-pli 7367  df-mi 7368  df-lti 7369  df-plpq 7406  df-mpq 7407  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-plqqs 7411  df-mqqs 7412  df-1nqqs 7413  df-rq 7414  df-ltnqqs 7415  df-enq0 7486  df-nq0 7487  df-0nq0 7488  df-plq0 7489  df-mq0 7490  df-inp 7528  df-iplp 7530  df-imp 7531  df-enr 7788  df-nr 7789  df-mr 7791
This theorem is referenced by:  pn0sr  7833  negexsr  7834  caucvgsrlemoffval  7858  caucvgsrlemofff  7859  map2psrprg  7867  mulcnsr  7897  mulresr  7900  mulcnsrec  7905  axmulcl  7928  axmulrcl  7929  axmulcom  7933  axmulass  7935  axdistr  7936  axrnegex  7941
  Copyright terms: Public domain W3C validator