Theorem mulclsr 7744

Description: Closure of multiplication on signed reals. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulclsr	|- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A .R B ) e. R. )

Proof of Theorem mulclsr

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7717	. . 3 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		oveq1 5876	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. z , w >. ] ~R ) = ( A .R [ <. z , w >. ] ~R ) )
3	2	eleq1d 2246	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) <-> ( A .R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) )
4		oveq2 5877	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~R = B -> ( A .R [ <. z , w >. ] ~R ) = ( A .R B ) )
5	4	eleq1d 2246	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~R = B -> ( ( A .R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) <-> ( A .R B ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) )
6		mulsrpr 7736	. . . 4 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. z , w >. ] ~R ) = [ <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. ] ~R )
7		mulclpr 7562	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ z e. P. ) -> ( x .P. z ) e. P. )
8		mulclpr 7562	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. P. /\ w e. P. ) -> ( y .P. w ) e. P. )
9		addclpr 7527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .P. z ) e. P. /\ ( y .P. w ) e. P. ) -> ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. )
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. P. /\ z e. P. ) /\ ( y e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. )
11	10	an4s 588	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. )
12		mulclpr 7562	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ w e. P. ) -> ( x .P. w ) e. P. )
13		mulclpr 7562	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( y .P. z ) e. P. )
14		addclpr 7527	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .P. w ) e. P. /\ ( y .P. z ) e. P. ) -> ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. )
15	12, 13, 14	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. P. /\ w e. P. ) /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. )
16	15	an42s 589	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. )
17	11, 16	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. /\ ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. ) )
18		opelxpi 4655	. . . . 5 |- ( ( ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. /\ ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. ) -> <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. e. ( P. X. P. ) )
19		enrex 7727	. . . . . 6 |- ~R e. _V
20	19	ecelqsi 6583	. . . . 5 |- ( <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
21	17, 18, 20	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> [ <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
22	6, 21	eqeltrd 2254	. . 3 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
23	1, 3, 5, 22	2ecoptocl 6617	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A .R B ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
24	23, 1	eleqtrrdi 2271	1 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A .R B ) e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3594   X. cxp 4621  (class class class)co 5869   [cec 6527   /.cqs 6528   P.cnp 7281   +P. cpp 7283   .P. cmp 7284   ~R cer 7286   R.cnr 7287   .R cmr 7292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-1nqqs 7341  df-rq 7342  df-ltnqqs 7343  df-enq0 7414  df-nq0 7415  df-0nq0 7416  df-plq0 7417  df-mq0 7418  df-inp 7456  df-iplp 7458  df-imp 7459  df-enr 7716  df-nr 7717  df-mr 7719

This theorem is referenced by:  pn0sr  7761  negexsr  7762  caucvgsrlemoffval  7786  caucvgsrlemofff  7787  map2psrprg  7795  mulcnsr  7825  mulresr  7828  mulcnsrec  7833  axmulcl  7856  axmulrcl  7857  axmulcom  7861  axmulass  7863  axdistr  7864  axrnegex  7869