Theorem mulclsr 7703

Description: Closure of multiplication on signed reals. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulclsr	|- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A .R B ) e. R. )

Proof of Theorem mulclsr

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7676	. . 3 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		oveq1 5857	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. z , w >. ] ~R ) = ( A .R [ <. z , w >. ] ~R ) )
3	2	eleq1d 2239	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) <-> ( A .R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) )
4		oveq2 5858	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~R = B -> ( A .R [ <. z , w >. ] ~R ) = ( A .R B ) )
5	4	eleq1d 2239	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~R = B -> ( ( A .R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) <-> ( A .R B ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) )
6		mulsrpr 7695	. . . 4 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. z , w >. ] ~R ) = [ <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. ] ~R )
7		mulclpr 7521	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ z e. P. ) -> ( x .P. z ) e. P. )
8		mulclpr 7521	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. P. /\ w e. P. ) -> ( y .P. w ) e. P. )
9		addclpr 7486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .P. z ) e. P. /\ ( y .P. w ) e. P. ) -> ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. )
10	7, 8, 9	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. P. /\ z e. P. ) /\ ( y e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. )
11	10	an4s 583	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. )
12		mulclpr 7521	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ w e. P. ) -> ( x .P. w ) e. P. )
13		mulclpr 7521	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( y .P. z ) e. P. )
14		addclpr 7486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .P. w ) e. P. /\ ( y .P. z ) e. P. ) -> ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. )
15	12, 13, 14	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. P. /\ w e. P. ) /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. )
16	15	an42s 584	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. )
17	11, 16	jca 304	. . . . 5 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. /\ ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. ) )
18		opelxpi 4641	. . . . 5 |- ( ( ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. /\ ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. ) -> <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. e. ( P. X. P. ) )
19		enrex 7686	. . . . . 6 |- ~R e. _V
20	19	ecelqsi 6563	. . . . 5 |- ( <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
21	17, 18, 20	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> [ <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
22	6, 21	eqeltrd 2247	. . 3 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
23	1, 3, 5, 22	2ecoptocl 6597	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A .R B ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
24	23, 1	eleqtrrdi 2264	1 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A .R B ) e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3584   X. cxp 4607  (class class class)co 5850   [cec 6507   /.cqs 6508   P.cnp 7240   +P. cpp 7242   .P. cmp 7243   ~R cer 7245   R.cnr 7246   .R cmr 7251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-eprel 4272  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-1o 6392  df-2o 6393  df-oadd 6396  df-omul 6397  df-er 6509  df-ec 6511  df-qs 6515  df-ni 7253  df-pli 7254  df-mi 7255  df-lti 7256  df-plpq 7293  df-mpq 7294  df-enq 7296  df-nqqs 7297  df-plqqs 7298  df-mqqs 7299  df-1nqqs 7300  df-rq 7301  df-ltnqqs 7302  df-enq0 7373  df-nq0 7374  df-0nq0 7375  df-plq0 7376  df-mq0 7377  df-inp 7415  df-iplp 7417  df-imp 7418  df-enr 7675  df-nr 7676  df-mr 7678

This theorem is referenced by:  pn0sr  7720  negexsr  7721  caucvgsrlemoffval  7745  caucvgsrlemofff  7746  map2psrprg  7754  mulcnsr  7784  mulresr  7787  mulcnsrec  7792  axmulcl  7815  axmulrcl  7816  axmulcom  7820  axmulass  7822  axdistr  7823  axrnegex  7828