Theorem mulclsr 7869

Description: Closure of multiplication on signed reals. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulclsr	|- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A .R B ) e. R. )

Proof of Theorem mulclsr

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7842	. . 3 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		oveq1 5953	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. z , w >. ] ~R ) = ( A .R [ <. z , w >. ] ~R ) )
3	2	eleq1d 2274	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) <-> ( A .R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) )
4		oveq2 5954	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~R = B -> ( A .R [ <. z , w >. ] ~R ) = ( A .R B ) )
5	4	eleq1d 2274	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~R = B -> ( ( A .R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) <-> ( A .R B ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) )
6		mulsrpr 7861	. . . 4 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. z , w >. ] ~R ) = [ <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. ] ~R )
7		mulclpr 7687	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ z e. P. ) -> ( x .P. z ) e. P. )
8		mulclpr 7687	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. P. /\ w e. P. ) -> ( y .P. w ) e. P. )
9		addclpr 7652	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .P. z ) e. P. /\ ( y .P. w ) e. P. ) -> ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. )
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. P. /\ z e. P. ) /\ ( y e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. )
11	10	an4s 588	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. )
12		mulclpr 7687	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ w e. P. ) -> ( x .P. w ) e. P. )
13		mulclpr 7687	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( y .P. z ) e. P. )
14		addclpr 7652	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .P. w ) e. P. /\ ( y .P. z ) e. P. ) -> ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. )
15	12, 13, 14	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. P. /\ w e. P. ) /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. )
16	15	an42s 589	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. )
17	11, 16	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. /\ ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. ) )
18		opelxpi 4708	. . . . 5 |- ( ( ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) e. P. /\ ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) e. P. ) -> <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. e. ( P. X. P. ) )
19		enrex 7852	. . . . . 6 |- ~R e. _V
20	19	ecelqsi 6678	. . . . 5 |- ( <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
21	17, 18, 20	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> [ <. ( ( x .P. z ) +P. ( y .P. w ) ) , ( ( x .P. w ) +P. ( y .P. z ) ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
22	6, 21	eqeltrd 2282	. . 3 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
23	1, 3, 5, 22	2ecoptocl 6712	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A .R B ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
24	23, 1	eleqtrrdi 2299	1 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A .R B ) e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   <.cop 3636   X. cxp 4674  (class class class)co 5946   [cec 6620   /.cqs 6621   P.cnp 7406   +P. cpp 7408   .P. cmp 7409   ~R cer 7411   R.cnr 7412   .R cmr 7417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-eprel 4337  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-1o 6504  df-2o 6505  df-oadd 6508  df-omul 6509  df-er 6622  df-ec 6624  df-qs 6628  df-ni 7419  df-pli 7420  df-mi 7421  df-lti 7422  df-plpq 7459  df-mpq 7460  df-enq 7462  df-nqqs 7463  df-plqqs 7464  df-mqqs 7465  df-1nqqs 7466  df-rq 7467  df-ltnqqs 7468  df-enq0 7539  df-nq0 7540  df-0nq0 7541  df-plq0 7542  df-mq0 7543  df-inp 7581  df-iplp 7583  df-imp 7584  df-enr 7841  df-nr 7842  df-mr 7844

This theorem is referenced by:  pn0sr  7886  negexsr  7887  caucvgsrlemoffval  7911  caucvgsrlemofff  7912  map2psrprg  7920  mulcnsr  7950  mulresr  7953  mulcnsrec  7958  axmulcl  7981  axmulrcl  7982  axmulcom  7986  axmulass  7988  axdistr  7989  axrnegex  7994