ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addassnq0 Unicode version
Theorem addassnq0 7424
Description: Addition of nonnegative fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnq0 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) )
Proof of Theorem addassnq0
Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7387 . . . 4 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2 oveq2 5861 . . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 B ) )
32oveq1d 5868 . . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
4 oveq1 5860 . . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
54oveq2d 5869 . . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
63, 5eqeq12d 2185 . . . . 5 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
76imbi2d 229 . . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) ) )
8 oveq2 5861 . . . . . 6 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) )
9 oveq2 5861 . . . . . . 7 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( B +Q0 C ) )
109oveq2d 5869 . . . . . 6 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) )
118, 10eqeq12d 2185 . . . . 5 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) ) )
1211imbi2d 229 . . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) ) ) )
13 oveq1 5860 . . . . . . . . 9 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
1413oveq1d 5868 . . . . . . . 8 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
15 oveq1 5860 . . . . . . . 8 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
1614, 15eqeq12d 2185 . . . . . . 7 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
1716imbi2d 229 . . . . . 6 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) ) )
18 simp1l 1016 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> x e. om )
19 simp2r 1019 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
20 pinn 7271 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. N. -> w e. om )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> w e. om )
22 simp3r 1021 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
23 pinn 7271 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. N. -> u e. om )
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> u e. om )
25 nnmcl 6460 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. om /\ u e. om ) -> ( w .o u ) e. om )
2621, 24, 25syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( w .o u ) e. om )
27 nnmcl 6460 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. om /\ ( w .o u ) e. om ) -> ( x .o ( w .o u ) ) e. om )
2818, 26, 27syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( x .o ( w .o u ) ) e. om )
29 simp1r 1017 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
30 pinn 7271 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> y e. om )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> y e. om )
32 simp2l 1018 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> z e. om )
33 nnmcl 6460 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. om /\ u e. om ) -> ( z .o u ) e. om )
3432, 24, 33syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( z .o u ) e. om )
35 nnmcl 6460 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( z .o u ) e. om ) -> ( y .o ( z .o u ) ) e. om )
3631, 34, 35syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( z .o u ) ) e. om )
37 simp3l 1020 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> v e. om )
38 nnmcl 6460 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. om /\ v e. om ) -> ( w .o v ) e. om )
3921, 37, 38syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( w .o v ) e. om )
40 nnmcl 6460 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( w .o v ) e. om ) -> ( y .o ( w .o v ) ) e. om )
4131, 39, 40syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( w .o v ) ) e. om )
42 nnaass 6464 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x .o ( w .o u ) ) e. om /\ ( y .o ( z .o u ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o v ) ) e. om ) -> ( ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( z .o u ) ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) ) )
4328, 36, 41, 42syl3anc 1233 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( z .o u ) ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) ) )
44 nnmcom 6468 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
4544adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
46 nndir 6469 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) -> ( ( f +o g ) .o h ) = ( ( f .o h ) +o ( g .o h ) ) )
4746adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f +o g ) .o h ) = ( ( f .o h ) +o ( g .o h ) ) )
48 nnmass 6466 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
4948adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
50 nnmcl 6460 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f .o g ) e. om )
5150adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) e. om )
5245, 47, 49, 51, 18, 31, 21, 32, 24caovdilemd 6044 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( z .o u ) ) ) )
53 nnmass 6466 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ w e. om /\ v e. om ) -> ( ( y .o w ) .o v ) = ( y .o ( w .o v ) ) )
5431, 21, 37, 53syl3anc 1233 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .o w ) .o v ) = ( y .o ( w .o v ) ) )
5552, 54oveq12d 5871 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) = ( ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( z .o u ) ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) )
56 nndi 6465 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( z .o u ) e. om /\ ( w .o v ) e. om ) -> ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) )
5731, 34, 39, 56syl3anc 1233 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) )
5857oveq2d 5869 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) ) )
5943, 55, 583eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) )
60 nnmass 6466 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ w e. om /\ u e. om ) -> ( ( y .o w ) .o u ) = ( y .o ( w .o u ) ) )
6131, 21, 24, 60syl3anc 1233 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .o w ) .o u ) = ( y .o ( w .o u ) ) )
62 opeq12 3767 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) /\ ( ( y .o w ) .o u ) = ( y .o ( w .o u ) ) ) -> <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. = <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. )
6362eceq1d 6549 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) /\ ( ( y .o w ) .o u ) = ( y .o ( w .o u ) ) ) -> [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
6459, 61, 63syl2anc 409 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
65 addnnnq0 7411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
6665oveq1d 5868 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
6766adantr 274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
68 addassnq0lemcl 7423 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
69 addnnnq0 7411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 )
7068, 69sylan 281 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 )
7167, 70eqtrd 2203 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 )
72713impa 1189 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 )
73 addnnnq0 7411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
7473oveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) )
7574adantl 275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) )
76 addassnq0lemcl 7423 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) )
77 addnnnq0 7411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
7876, 77sylan2 284 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
7975, 78eqtrd 2203 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
80793impb 1194 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
8164, 72, 803eqtr4d 2213 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
82813expib 1201 . . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. N. ) -> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
831, 17, 82ecoptocl 6600 . . . . 5 |- ( A e. Q0 -> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
8483com12 30 . . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
851, 7, 12, 842ecoptocl 6601 . . 3 |- ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) ) )
8685com12 30 . 2 |- ( A e. Q0 -> ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) ) )
87863impib 1196 1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3586   omcom 4574  (class class class)co 5853   +o coa 6392   .o comu 6393   [cec 6511   N.cnpi 7234   ~Q0 ceq0 7248  Q0cnq0 7249   +Q0 cplq0 7251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-mi 7268  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-plq0 7389
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7464
  Copyright terms: Public domain W3C validator