ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addassnq0 Unicode version
Theorem addassnq0 7546
Description: Addition of nonnegative fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnq0 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) )
Proof of Theorem addassnq0
Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7509 . . . 4 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2 oveq2 5933 . . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 B ) )
32oveq1d 5940 . . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
4 oveq1 5932 . . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
54oveq2d 5941 . . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
63, 5eqeq12d 2211 . . . . 5 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
76imbi2d 230 . . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) ) )
8 oveq2 5933 . . . . . 6 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) )
9 oveq2 5933 . . . . . . 7 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( B +Q0 C ) )
109oveq2d 5941 . . . . . 6 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) )
118, 10eqeq12d 2211 . . . . 5 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) ) )
1211imbi2d 230 . . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) ) ) )
13 oveq1 5932 . . . . . . . . 9 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
1413oveq1d 5940 . . . . . . . 8 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
15 oveq1 5932 . . . . . . . 8 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
1614, 15eqeq12d 2211 . . . . . . 7 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
1716imbi2d 230 . . . . . 6 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) ) )
18 simp1l 1023 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> x e. om )
19 simp2r 1026 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
20 pinn 7393 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. N. -> w e. om )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> w e. om )
22 simp3r 1028 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
23 pinn 7393 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. N. -> u e. om )
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> u e. om )
25 nnmcl 6548 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. om /\ u e. om ) -> ( w .o u ) e. om )
2621, 24, 25syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( w .o u ) e. om )
27 nnmcl 6548 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. om /\ ( w .o u ) e. om ) -> ( x .o ( w .o u ) ) e. om )
2818, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( x .o ( w .o u ) ) e. om )
29 simp1r 1024 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
30 pinn 7393 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> y e. om )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> y e. om )
32 simp2l 1025 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> z e. om )
33 nnmcl 6548 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. om /\ u e. om ) -> ( z .o u ) e. om )
3432, 24, 33syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( z .o u ) e. om )
35 nnmcl 6548 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( z .o u ) e. om ) -> ( y .o ( z .o u ) ) e. om )
3631, 34, 35syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( z .o u ) ) e. om )
37 simp3l 1027 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> v e. om )
38 nnmcl 6548 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. om /\ v e. om ) -> ( w .o v ) e. om )
3921, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( w .o v ) e. om )
40 nnmcl 6548 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( w .o v ) e. om ) -> ( y .o ( w .o v ) ) e. om )
4131, 39, 40syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( w .o v ) ) e. om )
42 nnaass 6552 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x .o ( w .o u ) ) e. om /\ ( y .o ( z .o u ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o v ) ) e. om ) -> ( ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( z .o u ) ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) ) )
4328, 36, 41, 42syl3anc 1249 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( z .o u ) ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) ) )
44 nnmcom 6556 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
4544adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
46 nndir 6557 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) -> ( ( f +o g ) .o h ) = ( ( f .o h ) +o ( g .o h ) ) )
4746adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f +o g ) .o h ) = ( ( f .o h ) +o ( g .o h ) ) )
48 nnmass 6554 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
4948adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
50 nnmcl 6548 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f .o g ) e. om )
5150adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) e. om )
5245, 47, 49, 51, 18, 31, 21, 32, 24caovdilemd 6119 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( z .o u ) ) ) )
53 nnmass 6554 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ w e. om /\ v e. om ) -> ( ( y .o w ) .o v ) = ( y .o ( w .o v ) ) )
5431, 21, 37, 53syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .o w ) .o v ) = ( y .o ( w .o v ) ) )
5552, 54oveq12d 5943 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) = ( ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( z .o u ) ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) )
56 nndi 6553 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( z .o u ) e. om /\ ( w .o v ) e. om ) -> ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) )
5731, 34, 39, 56syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) )
5857oveq2d 5941 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) ) )
5943, 55, 583eqtr4d 2239 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) )
60 nnmass 6554 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ w e. om /\ u e. om ) -> ( ( y .o w ) .o u ) = ( y .o ( w .o u ) ) )
6131, 21, 24, 60syl3anc 1249 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .o w ) .o u ) = ( y .o ( w .o u ) ) )
62 opeq12 3811 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) /\ ( ( y .o w ) .o u ) = ( y .o ( w .o u ) ) ) -> <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. = <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. )
6362eceq1d 6637 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) /\ ( ( y .o w ) .o u ) = ( y .o ( w .o u ) ) ) -> [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
6459, 61, 63syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
65 addnnnq0 7533 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
6665oveq1d 5940 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
6766adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
68 addassnq0lemcl 7545 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
69 addnnnq0 7533 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 )
7068, 69sylan 283 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 )
7167, 70eqtrd 2229 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 )
72713impa 1196 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 )
73 addnnnq0 7533 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
7473oveq2d 5941 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) )
7574adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) )
76 addassnq0lemcl 7545 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) )
77 addnnnq0 7533 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
7876, 77sylan2 286 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
7975, 78eqtrd 2229 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
80793impb 1201 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
8164, 72, 803eqtr4d 2239 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
82813expib 1208 . . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. N. ) -> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
831, 17, 82ecoptocl 6690 . . . . 5 |- ( A e. Q0 -> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
8483com12 30 . . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
851, 7, 12, 842ecoptocl 6691 . . 3 |- ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) ) )
8685com12 30 . 2 |- ( A e. Q0 -> ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) ) )
87863impib 1203 1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   <.cop 3626   omcom 4627  (class class class)co 5925   +o coa 6480   .o comu 6481   [cec 6599   N.cnpi 7356   ~Q0 ceq0 7370  Q0cnq0 7371   +Q0 cplq0 7373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-mi 7390  df-enq0 7508  df-nq0 7509  df-plq0 7511
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7586
  Copyright terms: Public domain W3C validator