ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addassnq0 Unicode version
Theorem addassnq0 7458
Description: Addition of nonnegative fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addassnq0 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) )
Proof of Theorem addassnq0
Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7421 . . . 4 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2 oveq2 5880 . . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 B ) )
32oveq1d 5887 . . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
4 oveq1 5879 . . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
54oveq2d 5888 . . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
63, 5eqeq12d 2192 . . . . 5 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
76imbi2d 230 . . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) ) )
8 oveq2 5880 . . . . . 6 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) )
9 oveq2 5880 . . . . . . 7 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( B +Q0 C ) )
109oveq2d 5888 . . . . . 6 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) )
118, 10eqeq12d 2192 . . . . 5 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) ) )
1211imbi2d 230 . . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) ) ) )
13 oveq1 5879 . . . . . . . . 9 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
1413oveq1d 5887 . . . . . . . 8 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
15 oveq1 5879 . . . . . . . 8 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
1614, 15eqeq12d 2192 . . . . . . 7 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
1716imbi2d 230 . . . . . 6 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) ) )
18 simp1l 1021 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> x e. om )
19 simp2r 1024 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
20 pinn 7305 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. N. -> w e. om )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> w e. om )
22 simp3r 1026 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
23 pinn 7305 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. N. -> u e. om )
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> u e. om )
25 nnmcl 6479 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. om /\ u e. om ) -> ( w .o u ) e. om )
2621, 24, 25syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( w .o u ) e. om )
27 nnmcl 6479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. om /\ ( w .o u ) e. om ) -> ( x .o ( w .o u ) ) e. om )
2818, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( x .o ( w .o u ) ) e. om )
29 simp1r 1022 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
30 pinn 7305 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> y e. om )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> y e. om )
32 simp2l 1023 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> z e. om )
33 nnmcl 6479 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. om /\ u e. om ) -> ( z .o u ) e. om )
3432, 24, 33syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( z .o u ) e. om )
35 nnmcl 6479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( z .o u ) e. om ) -> ( y .o ( z .o u ) ) e. om )
3631, 34, 35syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( z .o u ) ) e. om )
37 simp3l 1025 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> v e. om )
38 nnmcl 6479 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. om /\ v e. om ) -> ( w .o v ) e. om )
3921, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( w .o v ) e. om )
40 nnmcl 6479 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( w .o v ) e. om ) -> ( y .o ( w .o v ) ) e. om )
4131, 39, 40syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( w .o v ) ) e. om )
42 nnaass 6483 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x .o ( w .o u ) ) e. om /\ ( y .o ( z .o u ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o v ) ) e. om ) -> ( ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( z .o u ) ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) ) )
4328, 36, 41, 42syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( z .o u ) ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) ) )
44 nnmcom 6487 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
4544adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
46 nndir 6488 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) -> ( ( f +o g ) .o h ) = ( ( f .o h ) +o ( g .o h ) ) )
4746adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f +o g ) .o h ) = ( ( f .o h ) +o ( g .o h ) ) )
48 nnmass 6485 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
4948adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
50 nnmcl 6479 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f .o g ) e. om )
5150adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) e. om )
5245, 47, 49, 51, 18, 31, 21, 32, 24caovdilemd 6063 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( z .o u ) ) ) )
53 nnmass 6485 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ w e. om /\ v e. om ) -> ( ( y .o w ) .o v ) = ( y .o ( w .o v ) ) )
5431, 21, 37, 53syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .o w ) .o v ) = ( y .o ( w .o v ) ) )
5552, 54oveq12d 5890 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) = ( ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( z .o u ) ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) )
56 nndi 6484 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ ( z .o u ) e. om /\ ( w .o v ) e. om ) -> ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) )
5731, 34, 39, 56syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) )
5857oveq2d 5888 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( ( y .o ( z .o u ) ) +o ( y .o ( w .o v ) ) ) ) )
5943, 55, 583eqtr4d 2220 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) )
60 nnmass 6485 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ w e. om /\ u e. om ) -> ( ( y .o w ) .o u ) = ( y .o ( w .o u ) ) )
6131, 21, 24, 60syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .o w ) .o u ) = ( y .o ( w .o u ) ) )
62 opeq12 3780 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) /\ ( ( y .o w ) .o u ) = ( y .o ( w .o u ) ) ) -> <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. = <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. )
6362eceq1d 6568 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) = ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) /\ ( ( y .o w ) .o u ) = ( y .o ( w .o u ) ) ) -> [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
6459, 61, 63syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
65 addnnnq0 7445 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
6665oveq1d 5887 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
6766adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
68 addassnq0lemcl 7457 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
69 addnnnq0 7445 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 )
7068, 69sylan 283 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 )
7167, 70eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 )
72713impa 1194 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( ( x .o w ) +o ( y .o z ) ) .o u ) +o ( ( y .o w ) .o v ) ) , ( ( y .o w ) .o u ) >. ] ~Q0 )
73 addnnnq0 7445 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
7473oveq2d 5888 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) )
7574adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) )
76 addassnq0lemcl 7457 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) )
77 addnnnq0 7445 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
7876, 77sylan2 286 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
7975, 78eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
80793impb 1199 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( ( x .o ( w .o u ) ) +o ( y .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
8164, 72, 803eqtr4d 2220 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
82813expib 1206 . . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. N. ) -> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
831, 17, 82ecoptocl 6619 . . . . 5 |- ( A e. Q0 -> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
8483com12 30 . . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A +Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
851, 7, 12, 842ecoptocl 6620 . . 3 |- ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A e. Q0 -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) ) )
8685com12 30 . 2 |- ( A e. Q0 -> ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) ) )
87863impib 1201 1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( A +Q0 B ) +Q0 C ) = ( A +Q0 ( B +Q0 C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3595   omcom 4588  (class class class)co 5872   +o coa 6411   .o comu 6412   [cec 6530   N.cnpi 7268   ~Q0 ceq0 7282  Q0cnq0 7283   +Q0 cplq0 7285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-irdg 6368  df-oadd 6418  df-omul 6419  df-er 6532  df-ec 6534  df-qs 6538  df-ni 7300  df-mi 7302  df-enq0 7420  df-nq0 7421  df-plq0 7423
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7498
  Copyright terms: Public domain W3C validator