ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrnq0 Unicode version

Theorem distrnq0 7291
Description: Multiplication of nonnegative fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnq0  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  ( B +Q0  C
) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0 
C ) ) )

Proof of Theorem distrnq0
Dummy variables  u  v  w  x  y  z  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7257 . . . 4  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
2 oveq1 5789 . . . . . . 7  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
32oveq2d 5798 . . . . . 6  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( A ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( A ·Q0  ( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )
4 oveq2 5790 . . . . . . 7  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  B ) )
54oveq1d 5797 . . . . . 6  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )
63, 5eqeq12d 2155 . . . . 5  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( ( A ·Q0  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( A ·Q0  [
<. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  <->  ( A ·Q0 
( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) ) )
76imbi2d 229 . . . 4  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( ( A  e. Q0  ->  ( A ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( ( A ·Q0  [
<. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )  <->  ( A  e. Q0  -> 
( A ·Q0 
( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) ) ) )
8 oveq2 5790 . . . . . . 7  |-  ( [
<. v ,  u >. ] ~Q0  =  C  ->  ( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( B +Q0  C ) )
98oveq2d 5798 . . . . . 6  |-  ( [
<. v ,  u >. ] ~Q0  =  C  ->  ( A ·Q0 
( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( A ·Q0  ( B +Q0  C ) ) )
10 oveq2 5790 . . . . . . 7  |-  ( [
<. v ,  u >. ] ~Q0  =  C  ->  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  C ) )
1110oveq2d 5798 . . . . . 6  |-  ( [
<. v ,  u >. ] ~Q0  =  C  ->  ( ( A ·Q0  B ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( ( A ·Q0  B ) +Q0  ( A ·Q0 
C ) ) )
129, 11eqeq12d 2155 . . . . 5  |-  ( [
<. v ,  u >. ] ~Q0  =  C  ->  ( ( A ·Q0  ( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  <->  ( A ·Q0  ( B +Q0  C
) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0 
C ) ) ) )
1312imbi2d 229 . . . 4  |-  ( [
<. v ,  u >. ] ~Q0  =  C  ->  ( ( A  e. Q0  ->  ( A ·Q0 
( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )  <->  ( A  e. Q0  -> 
( A ·Q0 
( B +Q0  C ) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0 
C ) ) ) ) )
14 oveq1 5789 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( A ·Q0  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )
15 oveq1 5789 . . . . . . . . 9  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
16 oveq1 5789 . . . . . . . . 9  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
1715, 16oveq12d 5800 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( A ·Q0  [
<. v ,  u >. ] ~Q0  )
) )
1814, 17eqeq12d 2155 . . . . . . 7  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  <->  ( A ·Q0  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( A ·Q0  [
<. v ,  u >. ] ~Q0  )
) ) )
1918imbi2d 229 . . . . . 6  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( (
( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )  <->  ( (
( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( A ·Q0  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( A ·Q0  [
<. v ,  u >. ] ~Q0  )
) ) ) )
20 an42 577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  <->  ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )
2120anbi2i 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  u  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  om )
) )  <->  ( (
x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) ) )
22 3anass 967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  <->  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  (
( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
) ) )
23 3anass 967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  <->  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  (
( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) ) )
2421, 22, 233bitr4i 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  <->  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )
25 pinn 7141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  om )
26 nnmcl 6385 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( y  .o  x
)  e.  om )
2725, 26sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  N.  /\  x  e.  om )  ->  ( y  .o  x
)  e.  om )
2827ancoms 266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  ->  ( y  .o  x
)  e.  om )
29 pinn 7141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  N.  ->  u  e.  om )
30 nnmcl 6385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  om  /\  u  e.  om )  ->  ( z  .o  u
)  e.  om )
3129, 30sylan2 284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .o  u
)  e.  om )
32 pinn 7141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
33 nnmcl 6385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  om )  ->  ( w  .o  v
)  e.  om )
3432, 33sylan 281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )  ->  ( w  .o  v
)  e.  om )
35 nndi 6390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  .o  x
)  e.  om  /\  ( z  .o  u
)  e.  om  /\  ( w  .o  v
)  e.  om )  ->  ( ( y  .o  x )  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) )  =  ( ( ( y  .o  x
)  .o  ( z  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  x )  .o  ( w  .o  v
) ) ) )
3628, 31, 34, 35syl3an 1259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
y  .o  x )  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) )  =  ( ( ( y  .o  x )  .o  ( z  .o  u
) )  +o  (
( y  .o  x
)  .o  ( w  .o  v ) ) ) )
37 simp1r 1007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  y  e.  N. )
38 simp1l 1006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  x  e.  om )
39313ad2ant2 1004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( z  .o  u )  e.  om )
40343ad2ant3 1005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( w  .o  v )  e.  om )
41 nnacl 6384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  .o  u
)  e.  om  /\  ( w  .o  v
)  e.  om )  ->  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) )  e.  om )
4239, 40, 41syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) )  e. 
om )
43 nnmass 6391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  x  e.  om  /\  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) )  e.  om )  -> 
( ( y  .o  x )  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) )  =  ( y  .o  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) ) ) )
4425, 43syl3an1 1250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  N.  /\  x  e.  om  /\  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) )  e.  om )  -> 
( ( y  .o  x )  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) )  =  ( y  .o  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) ) ) )
4537, 38, 42, 44syl3anc 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
y  .o  x )  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) )  =  ( y  .o  (
x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) ) ) )
46 nnmcom 6393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  .o  y
)  =  ( y  .o  x ) )
4725, 46sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .o  y
)  =  ( y  .o  x ) )
4847oveq1d 5797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  ->  ( ( x  .o  y )  .o  (
z  .o  u ) )  =  ( ( y  .o  x )  .o  ( z  .o  u ) ) )
4948adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  y )  .o  ( z  .o  u ) )  =  ( ( y  .o  x )  .o  (
z  .o  u ) ) )
50 simpll 519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  x  e.  om )
5125ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  y  e.  om )
52 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  z  e.  om )
53 nnmcom 6393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om )  ->  ( f  .o  g
)  =  ( g  .o  f ) )
5453adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om ) )  -> 
( f  .o  g
)  =  ( g  .o  f ) )
55 nnmass 6391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om  /\  h  e.  om )  ->  (
( f  .o  g
)  .o  h )  =  ( f  .o  ( g  .o  h
) ) )
5655adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om  /\  h  e.  om ) )  ->  (
( f  .o  g
)  .o  h )  =  ( f  .o  ( g  .o  h
) ) )
57 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  u  e.  N. )
5857, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  u  e.  om )
59 nnmcl 6385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om )  ->  ( f  .o  g
)  e.  om )
6059adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om ) )  -> 
( f  .o  g
)  e.  om )
6150, 51, 52, 54, 56, 58, 60caov4d 5963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  y )  .o  ( z  .o  u ) )  =  ( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) ) )
6249, 61eqtr3d 2175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .o  x )  .o  ( z  .o  u ) )  =  ( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) ) )
63623adant3 1002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
y  .o  x )  .o  ( z  .o  u ) )  =  ( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) ) )
6425ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  y  e.  om )
65 simpll 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  x  e.  om )
66 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  w  e.  N. )
6766, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  w  e.  om )
6853adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om ) )  -> 
( f  .o  g
)  =  ( g  .o  f ) )
6955adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om  /\  h  e.  om ) )  ->  (
( f  .o  g
)  .o  h )  =  ( f  .o  ( g  .o  h
) ) )
70 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  v  e.  om )
7159adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om ) )  -> 
( f  .o  g
)  e.  om )
7264, 65, 67, 68, 69, 70, 71caov4d 5963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
y  .o  x )  .o  ( w  .o  v ) )  =  ( ( y  .o  w )  .o  (
x  .o  v ) ) )
73723adant2 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
y  .o  x )  .o  ( w  .o  v ) )  =  ( ( y  .o  w )  .o  (
x  .o  v ) ) )
7463, 73oveq12d 5800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
( y  .o  x
)  .o  ( z  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  x )  .o  ( w  .o  v
) ) )  =  ( ( ( x  .o  z )  .o  ( y  .o  u
) )  +o  (
( y  .o  w
)  .o  ( x  .o  v ) ) ) )
7536, 45, 743eqtr3d 2181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( y  .o  ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ) )  =  ( ( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v ) ) ) )
7624, 75sylbir 134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ) )  =  ( ( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v ) ) ) )
7737, 25syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  y  e.  om )
78 mulpiord 7149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  =  ( w  .o  u ) )
7978ancoms 266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  =  ( w  .o  u ) )
8079ad2ant2lr 502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( w  .N  u )  =  ( w  .o  u ) )
81803adant1 1000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( w  .N  u )  =  ( w  .o  u ) )
82663adant2 1001 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  w  e.  N. )
83573adant3 1002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  u  e.  N. )
84 mulclpi 7160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  e.  N. )
8582, 83, 84syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
86 pinn 7141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  .N  u )  e.  N.  ->  (
w  .N  u )  e.  om )
8785, 86syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  om )
8881, 87eqeltrrd 2218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( w  .o  u )  e.  om )
89 nnmass 6391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  y  e.  om  /\  (
w  .o  u )  e.  om )  -> 
( ( y  .o  y )  .o  (
w  .o  u ) )  =  ( y  .o  ( y  .o  ( w  .o  u
) ) ) )
9077, 77, 88, 89syl3anc 1217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
y  .o  y )  .o  ( w  .o  u ) )  =  ( y  .o  (
y  .o  ( w  .o  u ) ) ) )
9182, 32syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  w  e.  om )
9253adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om ) )  -> 
( f  .o  g
)  =  ( g  .o  f ) )
9355adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om  /\  h  e.  om ) )  ->  (
( f  .o  g
)  .o  h )  =  ( f  .o  ( g  .o  h
) ) )
9483, 29syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  u  e.  om )
9559adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om ) )  -> 
( f  .o  g
)  e.  om )
9677, 77, 91, 92, 93, 94, 95caov4d 5963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
y  .o  y )  .o  ( w  .o  u ) )  =  ( ( y  .o  w )  .o  (
y  .o  u ) ) )
9790, 96eqtr3d 2175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( y  .o  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) )  =  ( ( y  .o  w
)  .o  ( y  .o  u ) ) )
9824, 97sylbir 134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) )  =  ( ( y  .o  w
)  .o  ( y  .o  u ) ) )
99 opeq12 3715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  .o  (
x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) ) )  =  ( ( ( x  .o  z
)  .o  ( y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v
) ) )  /\  ( y  .o  (
y  .o  ( w  .o  u ) ) )  =  ( ( y  .o  w )  .o  ( y  .o  u ) ) )  ->  <. ( y  .o  ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  ( w  .o  u ) ) )
>.  =  <. ( ( ( x  .o  z
)  .o  ( y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v
) ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  (
y  .o  u ) ) >. )
10099eceq1d 6473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  .o  (
x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) ) )  =  ( ( ( x  .o  z
)  .o  ( y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v
) ) )  /\  ( y  .o  (
y  .o  ( w  .o  u ) ) )  =  ( ( y  .o  w )  .o  ( y  .o  u ) ) )  ->  [ <. (
y  .o  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v ) ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  ( y  .o  u
) ) >. ] ~Q0  )
10176, 98, 100syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. (
y  .o  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v ) ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  ( y  .o  u
) ) >. ] ~Q0  )
102 addnnnq0 7281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )
103102oveq2d 5798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ,  ( w  .o  u )
>. ] ~Q0  ) )
104103adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )  ->  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  ) )
10531, 34, 41syl2an 287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) )  e. 
om )
106105an42s 579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) )  e. 
om )
10784ad2ant2l 500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
10878eleq1d 2209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( ( w  .N  u )  e.  N.  <->  ( w  .o  u )  e.  N. ) )
109108ad2ant2l 500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
w  .N  u )  e.  N.  <->  ( w  .o  u )  e.  N. ) )
110107, 109mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .o  u )  e.  N. )
111106, 110jca 304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) )  e.  om  /\  (
w  .o  u )  e.  N. ) )
112 mulnnnq0 7282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) )  e.  om  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ,  ( w  .o  u )
>. ] ~Q0  )  =  [ <. (
x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) ) ,  ( y  .o  ( w  .o  u
) ) >. ] ~Q0  )
113 nnmcl 6385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) )  e.  om )  ->  ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) )  e.  om )
114 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )  ->  y  e.  N. )
115 mulpiord 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )  ->  ( y  .N  (
w  .o  u ) )  =  ( y  .o  ( w  .o  u ) ) )
116 mulclpi 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )  ->  ( y  .N  (
w  .o  u ) )  e.  N. )
117115, 116eqeltrrd 2218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )  ->  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )
118114, 117jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )  ->  ( y  e.  N.  /\  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )
)
119113, 118anim12i 336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) )  e.  om )  /\  ( y  e.  N.  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) )  e.  om  /\  (
y  e.  N.  /\  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )
) )
120 an12 551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) )  e.  om  /\  ( y  e.  N.  /\  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )
)  <->  ( y  e. 
N.  /\  ( (
x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) )  e.  om  /\  (
y  .o  ( w  .o  u ) )  e.  N. ) ) )
121 3anass 967 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) )  e.  om  /\  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )  <->  ( y  e.  N.  /\  ( ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) )  e.  om  /\  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )
) )
122120, 121bitr4i 186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) )  e.  om  /\  ( y  e.  N.  /\  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )
)  <->  ( y  e. 
N.  /\  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) )  e.  om  /\  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )
)
123119, 122sylib 121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) )  e.  om )  /\  ( y  e.  N.  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )
)  ->  ( y  e.  N.  /\  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) )  e. 
om  /\  ( y  .o  ( w  .o  u
) )  e.  N. ) )
124123an4s 578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) )  e.  om  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )
)  ->  ( y  e.  N.  /\  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) )  e. 
om  /\  ( y  .o  ( w  .o  u
) )  e.  N. ) )
125 mulcanenq0ec 7277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) )  e.  om  /\  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )  ->  [ <. ( y  .o  ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  ( w  .o  u ) ) )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) ) ,  ( y  .o  ( w  .o  u ) )
>. ] ~Q0  )
126124, 125syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) )  e.  om  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )
)  ->  [ <. (
y  .o  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) ) ,  ( y  .o  ( w  .o  u
) ) >. ] ~Q0  )
127112, 126eqtr4d 2176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) )  e.  om  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ,  ( w  .o  u )
>. ] ~Q0  )  =  [ <. (
y  .o  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) ) >. ] ~Q0  )
128111, 127sylan2 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )  ->  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( y  .o  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) ) >. ] ~Q0  )
129104, 128eqtrd 2173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )  ->  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  [ <. ( y  .o  (
x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  ( w  .o  u
) ) ) >. ] ~Q0  )
1301293impb 1178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  [ <. ( y  .o  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) ) >. ] ~Q0  )
131 mulnnnq0 7282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
x  .o  z ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
132 mulnnnq0 7282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
x  .o  v ) ,  ( y  .o  u ) >. ] ~Q0  )
133131, 132oveqan12d 5801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( (
x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )  ->  (
( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( [ <. ( x  .o  z ) ,  ( y  .o  w )
>. ] ~Q0 +Q0  [ <. ( x  .o  v ) ,  ( y  .o  u ) >. ] ~Q0  ) )
134 nnmcl 6385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( x  .o  z
)  e.  om )
135 mulpiord 7149 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  =  ( y  .o  w ) )
136 mulclpi 7160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  e.  N. )
137135, 136eqeltrrd 2218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .o  w
)  e.  N. )
138134, 137anim12i 336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  z  e.  om )  /\  ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  z )  e.  om  /\  (
y  .o  w )  e.  N. ) )
139138an4s 578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  z )  e.  om  /\  (
y  .o  w )  e.  N. ) )
140 nnmcl 6385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  om  /\  v  e.  om )  ->  ( x  .o  v
)  e.  om )
141 mulpiord 7149 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( y  .N  u
)  =  ( y  .o  u ) )
142 mulclpi 7160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( y  .N  u
)  e.  N. )
143141, 142eqeltrrd 2218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( y  .o  u
)  e.  N. )
144140, 143anim12i 336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  v  e.  om )  /\  ( y  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  v )  e.  om  /\  (
y  .o  u )  e.  N. ) )
145144an4s 578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  v )  e.  om  /\  (
y  .o  u )  e.  N. ) )
146 addnnnq0 7281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  .o  z )  e.  om  /\  ( y  .o  w
)  e.  N. )  /\  ( ( x  .o  v )  e.  om  /\  ( y  .o  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( x  .o  z
) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0 +Q0  [ <. (
x  .o  v ) ,  ( y  .o  u ) >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v ) ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  ( y  .o  u
) ) >. ] ~Q0  )
147139, 145, 146syl2an 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( (
x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )  ->  ( [ <. ( x  .o  z ) ,  ( y  .o  w )
>. ] ~Q0 +Q0  [ <. ( x  .o  v ) ,  ( y  .o  u ) >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v ) ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  ( y  .o  u
) ) >. ] ~Q0  )
148133, 147eqtrd 2173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( (
x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )  ->  (
( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  [ <. ( ( ( x  .o  z )  .o  ( y  .o  u
) )  +o  (
( y  .o  w
)  .o  ( x  .o  v ) ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  ( y  .o  u ) ) >. ] ~Q0  )
1491483impdi 1272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  [ <. ( ( ( x  .o  z )  .o  ( y  .o  u
) )  +o  (
( y  .o  w
)  .o  ( x  .o  v ) ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  ( y  .o  u ) ) >. ] ~Q0  )
150101, 130, 1493eqtr4d 2183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )
1511503expib 1185 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  ->  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) ) )
1521, 19, 151ecoptocl 6524 . . . . 5  |-  ( A  e. Q0  ->  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( A ·Q0  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( A ·Q0  [
<. v ,  u >. ] ~Q0  )
) ) )
153152com12 30 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( A  e. Q0  -> 
( A ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( ( A ·Q0  [
<. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) ) )
1541, 7, 13, 1532ecoptocl 6525 . . 3  |-  ( ( B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( A  e. Q0  -> 
( A ·Q0 
( B +Q0  C ) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0 
C ) ) ) )
155154com12 30 . 2  |-  ( A  e. Q0  ->  ( ( B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0 
( B +Q0  C ) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0 
C ) ) ) )
1561553impib 1180 1  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  ( B +Q0  C
) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0 
C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   <.cop 3535   omcom 4512  (class class class)co 5782    +o coa 6318    .o comu 6319   [cec 6435   N.cnpi 7104    .N cmi 7106   ~Q0 ceq0 7118  Q0cnq0 7119   +Q0 cplq0 7121   ·Q0 cmq0 7122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-mi 7138  df-enq0 7256  df-nq0 7257  df-plq0 7259  df-mq0 7260
This theorem is referenced by:  distnq0r  7295
  Copyright terms: Public domain W3C validator