Theorem distrnq0 7421

Description: Multiplication of nonnegative fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distrnq0	|- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) )

Proof of Theorem distrnq0

Dummy variables u v w x y z f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7387	. . . 4 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2		oveq1 5860	. . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
3	2	oveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
4		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 B ) )
5	4	oveq1d 5868	. . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
6	3, 5	eqeq12d 2185	. . . . 5 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
7	6	imbi2d 229	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) ) )
8		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( B +Q0 C ) )
9	8	oveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) )
10		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 C ) )
11	10	oveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2185	. . . . 5 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) ) )
13	12	imbi2d 229	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) ) ) )
14		oveq1 5860	. . . . . . . 8 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
15		oveq1 5860	. . . . . . . . 9 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
16		oveq1 5860	. . . . . . . . 9 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
17	15, 16	oveq12d 5871	. . . . . . . 8 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
18	14, 17	eqeq12d 2185	. . . . . . 7 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
19	18	imbi2d 229	. . . . . 6 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) ) )
20		an42 582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) <-> ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) )
21	20	anbi2i 454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) ) <-> ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) )
22		3anass 977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) <-> ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) ) )
23		3anass 977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) <-> ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr4i 211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) <-> ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) )
25		pinn 7271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> y e. om )
26		nnmcl 6460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ x e. om ) -> ( y .o x ) e. om )
27	25, 26	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ x e. om ) -> ( y .o x ) e. om )
28	27	ancoms 266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. om /\ y e. N. ) -> ( y .o x ) e. om )
29		pinn 7271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. N. -> u e. om )
30		nnmcl 6460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. om /\ u e. om ) -> ( z .o u ) e. om )
31	29, 30	sylan2 284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. om /\ u e. N. ) -> ( z .o u ) e. om )
32		pinn 7271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. N. -> w e. om )
33		nnmcl 6460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. om /\ v e. om ) -> ( w .o v ) e. om )
34	32, 33	sylan 281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. N. /\ v e. om ) -> ( w .o v ) e. om )
35		nndi 6465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y .o x ) e. om /\ ( z .o u ) e. om /\ ( w .o v ) e. om ) -> ( ( y .o x ) .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) +o ( ( y .o x ) .o ( w .o v ) ) ) )
36	28, 31, 34, 35	syl3an 1275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) +o ( ( y .o x ) .o ( w .o v ) ) ) )
37		simp1r 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> y e. N. )
38		simp1l 1016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> x e. om )
39	31	3ad2ant2 1014	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( z .o u ) e. om )
40	34	3ad2ant3 1015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .o v ) e. om )
41		nnacl 6459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z .o u ) e. om /\ ( w .o v ) e. om ) -> ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om )
42	39, 40, 41	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om )
43		nnmass 6466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ x e. om /\ ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om ) -> ( ( y .o x ) .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) )
44	25, 43	syl3an1 1266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. N. /\ x e. om /\ ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om ) -> ( ( y .o x ) .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) )
45	37, 38, 42, 44	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) )
46		nnmcom 6468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
47	25, 46	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. om /\ y e. N. ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
48	47	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. om /\ y e. N. ) -> ( ( x .o y ) .o ( z .o u ) ) = ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) )
49	48	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .o y ) .o ( z .o u ) ) = ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) )
50		simpll 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> x e. om )
51	25	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> y e. om )
52		simprl 526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> z e. om )
53		nnmcom 6468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
54	53	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
55		nnmass 6466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
56	55	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
57		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
58	57, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> u e. om )
59		nnmcl 6460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f .o g ) e. om )
60	59	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) e. om )
61	50, 51, 52, 54, 56, 58, 60	caov4d 6037	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .o y ) .o ( z .o u ) ) = ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) )
62	49, 61	eqtr3d 2205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) = ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) )
63	62	3adant3 1012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) = ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) )
64	25	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> y e. om )
65		simpll 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> x e. om )
66		simprl 526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> w e. N. )
67	66, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> w e. om )
68	53	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
69	55	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
70		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> v e. om )
71	59	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) e. om )
72	64, 65, 67, 68, 69, 70, 71	caov4d 6037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( w .o v ) ) = ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) )
73	72	3adant2 1011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( w .o v ) ) = ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) )
74	63, 73	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) +o ( ( y .o x ) .o ( w .o v ) ) ) = ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) )
75	36, 45, 74	3eqtr3d 2211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) = ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) )
76	24, 75	sylbir 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) = ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) )
77	37, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> y e. om )
78		mulpiord 7279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
79	78	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. N. /\ w e. N. ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
80	79	ad2ant2lr 507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
81	80	3adant1 1010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
82	66	3adant2 1011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> w e. N. )
83	57	3adant3 1012	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> u e. N. )
84		mulclpi 7290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
85	82, 83, 84	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
86		pinn 7271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w .N u ) e. N. -> ( w .N u ) e. om )
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .N u ) e. om )
88	81, 87	eqeltrrd 2248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .o u ) e. om )
89		nnmass 6466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ y e. om /\ ( w .o u ) e. om ) -> ( ( y .o y ) .o ( w .o u ) ) = ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) )
90	77, 77, 88, 89	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o y ) .o ( w .o u ) ) = ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) )
91	82, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> w e. om )
92	53	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
93	55	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
94	83, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> u e. om )
95	59	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) e. om )
96	77, 77, 91, 92, 93, 94, 95	caov4d 6037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o y ) .o ( w .o u ) ) = ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) )
97	90, 96	eqtr3d 2205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) = ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) )
98	24, 97	sylbir 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) = ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) )
99		opeq12 3767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) = ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) /\ ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) = ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) ) -> <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. = <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. )
100	99	eceq1d 6549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) = ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) /\ ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) = ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) ) -> [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
101	76, 98, 100	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
102		addnnnq0 7411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
103	102	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) )
104	103	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) )
105	31, 34, 41	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om )
106	105	an42s 584	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om )
107	84	ad2ant2l 505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
108	78	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( w .N u ) e. N. <-> ( w .o u ) e. N. ) )
109	108	ad2ant2l 505	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( w .N u ) e. N. <-> ( w .o u ) e. N. ) )
110	107, 109	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( w .o u ) e. N. )
111	106, 110	jca 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) )
112		mulnnnq0 7412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
113		nnmcl 6460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. om /\ ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om ) -> ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om )
114		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) -> y e. N. )
115		mulpiord 7279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) -> ( y .N ( w .o u ) ) = ( y .o ( w .o u ) ) )
116		mulclpi 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) -> ( y .N ( w .o u ) ) e. N. )
117	115, 116	eqeltrrd 2248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) -> ( y .o ( w .o u ) ) e. N. )
118	114, 117	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) -> ( y e. N. /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) )
119	113, 118	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om ) /\ ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y e. N. /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) ) )
120		an12 556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y e. N. /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) ) <-> ( y e. N. /\ ( ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) ) )
121		3anass 977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. N. /\ ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) <-> ( y e. N. /\ ( ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) ) )
122	120, 121	bitr4i 186	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y e. N. /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) ) <-> ( y e. N. /\ ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) )
123	119, 122	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om ) /\ ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( y e. N. /\ ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) )
124	123	an4s 583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( y e. N. /\ ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) )
125		mulcanenq0ec 7407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) -> [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 = [ <. ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
126	124, 125	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 = [ <. ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
127	112, 126	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 )
128	111, 127	sylan2 284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 )
129	104, 128	eqtrd 2203	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 )
130	129	3impb 1194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 )
131		mulnnnq0 7412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
132		mulnnnq0 7412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( x .o v ) , ( y .o u ) >. ] ~Q0 )
133	131, 132	oveqan12d 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( x .o v ) , ( y .o u ) >. ] ~Q0 ) )
134		nnmcl 6460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. om /\ z e. om ) -> ( x .o z ) e. om )
135		mulpiord 7279	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( y .o w ) )
136		mulclpi 7290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
137	135, 136	eqeltrrd 2248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) e. N. )
138	134, 137	anim12i 336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ z e. om ) /\ ( y e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o z ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
139	138	an4s 583	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o z ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
140		nnmcl 6460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. om /\ v e. om ) -> ( x .o v ) e. om )
141		mulpiord 7279	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. N. /\ u e. N. ) -> ( y .N u ) = ( y .o u ) )
142		mulclpi 7290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. N. /\ u e. N. ) -> ( y .N u ) e. N. )
143	141, 142	eqeltrrd 2248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ u e. N. ) -> ( y .o u ) e. N. )
144	140, 143	anim12i 336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ v e. om ) /\ ( y e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .o v ) e. om /\ ( y .o u ) e. N. ) )
145	144	an4s 583	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .o v ) e. om /\ ( y .o u ) e. N. ) )
146		addnnnq0 7411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x .o z ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) /\ ( ( x .o v ) e. om /\ ( y .o u ) e. N. ) ) -> ( [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( x .o v ) , ( y .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
147	139, 145, 146	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( x .o v ) , ( y .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
148	133, 147	eqtrd 2203	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
149	148	3impdi 1288	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
150	101, 130, 149	3eqtr4d 2213	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
151	150	3expib 1201	. . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. N. ) -> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
152	1, 19, 151	ecoptocl 6600	. . . . 5 |- ( A e. Q0 -> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
153	152	com12 30	. . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
154	1, 7, 13, 153	2ecoptocl 6601	. . 3 |- ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) ) )
155	154	com12 30	. 2 |- ( A e. Q0 -> ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) ) )
156	155	3impib 1196	1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3586   omcom 4574  (class class class)co 5853   +o coa 6392   .o comu 6393   [cec 6511   N.cnpi 7234   .N cmi 7236   ~_Q0 ceq0 7248  Q₀cnq0 7249   +_Q0 cplq0 7251   ·_Q0 cmq0 7252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-mi 7268  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-plq0 7389  df-mq0 7390

This theorem is referenced by:  distnq0r  7425