ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrnq0 Unicode version

Theorem distrnq0 6997
Description: Multiplication of nonnegative fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnq0  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  ( B +Q0  C
) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0 
C ) ) )

Proof of Theorem distrnq0
Dummy variables  u  v  w  x  y  z  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6963 . . . 4  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
2 oveq1 5641 . . . . . . 7  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
32oveq2d 5650 . . . . . 6  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( A ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( A ·Q0  ( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )
4 oveq2 5642 . . . . . . 7  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  B ) )
54oveq1d 5649 . . . . . 6  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )
63, 5eqeq12d 2102 . . . . 5  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( ( A ·Q0  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( A ·Q0  [
<. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  <->  ( A ·Q0 
( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) ) )
76imbi2d 228 . . . 4  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( ( A  e. Q0  ->  ( A ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( ( A ·Q0  [
<. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )  <->  ( A  e. Q0  -> 
( A ·Q0 
( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) ) ) )
8 oveq2 5642 . . . . . . 7  |-  ( [
<. v ,  u >. ] ~Q0  =  C  ->  ( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( B +Q0  C ) )
98oveq2d 5650 . . . . . 6  |-  ( [
<. v ,  u >. ] ~Q0  =  C  ->  ( A ·Q0 
( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( A ·Q0  ( B +Q0  C ) ) )
10 oveq2 5642 . . . . . . 7  |-  ( [
<. v ,  u >. ] ~Q0  =  C  ->  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  C ) )
1110oveq2d 5650 . . . . . 6  |-  ( [
<. v ,  u >. ] ~Q0  =  C  ->  ( ( A ·Q0  B ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( ( A ·Q0  B ) +Q0  ( A ·Q0 
C ) ) )
129, 11eqeq12d 2102 . . . . 5  |-  ( [
<. v ,  u >. ] ~Q0  =  C  ->  ( ( A ·Q0  ( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  <->  ( A ·Q0  ( B +Q0  C
) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0 
C ) ) ) )
1312imbi2d 228 . . . 4  |-  ( [
<. v ,  u >. ] ~Q0  =  C  ->  ( ( A  e. Q0  ->  ( A ·Q0 
( B +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )  <->  ( A  e. Q0  -> 
( A ·Q0 
( B +Q0  C ) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0 
C ) ) ) ) )
14 oveq1 5641 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( A ·Q0  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )
15 oveq1 5641 . . . . . . . . 9  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
16 oveq1 5641 . . . . . . . . 9  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )
1715, 16oveq12d 5652 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( A ·Q0  [
<. v ,  u >. ] ~Q0  )
) )
1814, 17eqeq12d 2102 . . . . . . 7  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  <->  ( A ·Q0  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( A ·Q0  [
<. v ,  u >. ] ~Q0  )
) ) )
1918imbi2d 228 . . . . . 6  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( (
( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )  <->  ( (
( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( A ·Q0  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( A ·Q0  [
<. v ,  u >. ] ~Q0  )
) ) ) )
20 an42 554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  <->  ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )
2120anbi2i 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  u  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  om )
) )  <->  ( (
x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) ) )
22 3anass 928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  <->  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  (
( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
) ) )
23 3anass 928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  <->  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  (
( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) ) )
2421, 22, 233bitr4i 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  <->  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )
25 pinn 6847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  om )
26 nnmcl 6224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( y  .o  x
)  e.  om )
2725, 26sylan 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  N.  /\  x  e.  om )  ->  ( y  .o  x
)  e.  om )
2827ancoms 264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  ->  ( y  .o  x
)  e.  om )
29 pinn 6847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  N.  ->  u  e.  om )
30 nnmcl 6224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  om  /\  u  e.  om )  ->  ( z  .o  u
)  e.  om )
3129, 30sylan2 280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .o  u
)  e.  om )
32 pinn 6847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
33 nnmcl 6224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  om  /\  v  e.  om )  ->  ( w  .o  v
)  e.  om )
3432, 33sylan 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )  ->  ( w  .o  v
)  e.  om )
35 nndi 6229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  .o  x
)  e.  om  /\  ( z  .o  u
)  e.  om  /\  ( w  .o  v
)  e.  om )  ->  ( ( y  .o  x )  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) )  =  ( ( ( y  .o  x
)  .o  ( z  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  x )  .o  ( w  .o  v
) ) ) )
3628, 31, 34, 35syl3an 1216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
y  .o  x )  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) )  =  ( ( ( y  .o  x )  .o  ( z  .o  u
) )  +o  (
( y  .o  x
)  .o  ( w  .o  v ) ) ) )
37 simp1r 968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  y  e.  N. )
38 simp1l 967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  x  e.  om )
39313ad2ant2 965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( z  .o  u )  e.  om )
40343ad2ant3 966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( w  .o  v )  e.  om )
41 nnacl 6223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  .o  u
)  e.  om  /\  ( w  .o  v
)  e.  om )  ->  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) )  e.  om )
4239, 40, 41syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) )  e. 
om )
43 nnmass 6230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  x  e.  om  /\  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) )  e.  om )  -> 
( ( y  .o  x )  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) )  =  ( y  .o  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) ) ) )
4425, 43syl3an1 1207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  N.  /\  x  e.  om  /\  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) )  e.  om )  -> 
( ( y  .o  x )  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) )  =  ( y  .o  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) ) ) )
4537, 38, 42, 44syl3anc 1174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
y  .o  x )  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) )  =  ( y  .o  (
x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) ) ) )
46 nnmcom 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( x  .o  y
)  =  ( y  .o  x ) )
4725, 46sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .o  y
)  =  ( y  .o  x ) )
4847oveq1d 5649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  ->  ( ( x  .o  y )  .o  (
z  .o  u ) )  =  ( ( y  .o  x )  .o  ( z  .o  u ) ) )
4948adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  y )  .o  ( z  .o  u ) )  =  ( ( y  .o  x )  .o  (
z  .o  u ) ) )
50 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  x  e.  om )
5125ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  y  e.  om )
52 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  z  e.  om )
53 nnmcom 6232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om )  ->  ( f  .o  g
)  =  ( g  .o  f ) )
5453adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om ) )  -> 
( f  .o  g
)  =  ( g  .o  f ) )
55 nnmass 6230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om  /\  h  e.  om )  ->  (
( f  .o  g
)  .o  h )  =  ( f  .o  ( g  .o  h
) ) )
5655adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om  /\  h  e.  om ) )  ->  (
( f  .o  g
)  .o  h )  =  ( f  .o  ( g  .o  h
) ) )
57 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  u  e.  N. )
5857, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  u  e.  om )
59 nnmcl 6224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  om  /\  g  e.  om )  ->  ( f  .o  g
)  e.  om )
6059adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om ) )  -> 
( f  .o  g
)  e.  om )
6150, 51, 52, 54, 56, 58, 60caov4d 5811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  y )  .o  ( z  .o  u ) )  =  ( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) ) )
6249, 61eqtr3d 2122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .o  x )  .o  ( z  .o  u ) )  =  ( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) ) )
63623adant3 963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
y  .o  x )  .o  ( z  .o  u ) )  =  ( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) ) )
6425ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  y  e.  om )
65 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  x  e.  om )
66 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  w  e.  N. )
6766, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  w  e.  om )
6853adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om ) )  -> 
( f  .o  g
)  =  ( g  .o  f ) )
6955adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om  /\  h  e.  om ) )  ->  (
( f  .o  g
)  .o  h )  =  ( f  .o  ( g  .o  h
) ) )
70 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  v  e.  om )
7159adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om ) )  -> 
( f  .o  g
)  e.  om )
7264, 65, 67, 68, 69, 70, 71caov4d 5811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
y  .o  x )  .o  ( w  .o  v ) )  =  ( ( y  .o  w )  .o  (
x  .o  v ) ) )
73723adant2 962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
y  .o  x )  .o  ( w  .o  v ) )  =  ( ( y  .o  w )  .o  (
x  .o  v ) ) )
7463, 73oveq12d 5652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
( y  .o  x
)  .o  ( z  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  x )  .o  ( w  .o  v
) ) )  =  ( ( ( x  .o  z )  .o  ( y  .o  u
) )  +o  (
( y  .o  w
)  .o  ( x  .o  v ) ) ) )
7536, 45, 743eqtr3d 2128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( y  .o  ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ) )  =  ( ( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v ) ) ) )
7624, 75sylbir 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ) )  =  ( ( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v ) ) ) )
7737, 25syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  y  e.  om )
78 mulpiord 6855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  =  ( w  .o  u ) )
7978ancoms 264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  =  ( w  .o  u ) )
8079ad2ant2lr 494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( w  .N  u )  =  ( w  .o  u ) )
81803adant1 961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( w  .N  u )  =  ( w  .o  u ) )
82663adant2 962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  w  e.  N. )
83573adant3 963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  u  e.  N. )
84 mulclpi 6866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  e.  N. )
8582, 83, 84syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
86 pinn 6847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  .N  u )  e.  N.  ->  (
w  .N  u )  e.  om )
8785, 86syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  om )
8881, 87eqeltrrd 2165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( w  .o  u )  e.  om )
89 nnmass 6230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  y  e.  om  /\  (
w  .o  u )  e.  om )  -> 
( ( y  .o  y )  .o  (
w  .o  u ) )  =  ( y  .o  ( y  .o  ( w  .o  u
) ) ) )
9077, 77, 88, 89syl3anc 1174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
y  .o  y )  .o  ( w  .o  u ) )  =  ( y  .o  (
y  .o  ( w  .o  u ) ) ) )
9182, 32syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  w  e.  om )
9253adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om ) )  -> 
( f  .o  g
)  =  ( g  .o  f ) )
9355adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om  /\  h  e.  om ) )  ->  (
( f  .o  g
)  .o  h )  =  ( f  .o  ( g  .o  h
) ) )
9483, 29syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  u  e.  om )
9559adantl 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  /\  ( f  e.  om  /\  g  e. 
om ) )  -> 
( f  .o  g
)  e.  om )
9677, 77, 91, 92, 93, 94, 95caov4d 5811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
y  .o  y )  .o  ( w  .o  u ) )  =  ( ( y  .o  w )  .o  (
y  .o  u ) ) )
9790, 96eqtr3d 2122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( y  .o  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) )  =  ( ( y  .o  w
)  .o  ( y  .o  u ) ) )
9824, 97sylbir 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) )  =  ( ( y  .o  w
)  .o  ( y  .o  u ) ) )
99 opeq12 3619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  .o  (
x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) ) )  =  ( ( ( x  .o  z
)  .o  ( y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v
) ) )  /\  ( y  .o  (
y  .o  ( w  .o  u ) ) )  =  ( ( y  .o  w )  .o  ( y  .o  u ) ) )  ->  <. ( y  .o  ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  ( w  .o  u ) ) )
>.  =  <. ( ( ( x  .o  z
)  .o  ( y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v
) ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  (
y  .o  u ) ) >. )
10099eceq1d 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  .o  (
x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) ) )  =  ( ( ( x  .o  z
)  .o  ( y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v
) ) )  /\  ( y  .o  (
y  .o  ( w  .o  u ) ) )  =  ( ( y  .o  w )  .o  ( y  .o  u ) ) )  ->  [ <. (
y  .o  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v ) ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  ( y  .o  u
) ) >. ] ~Q0  )
10176, 98, 100syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  [ <. (
y  .o  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v ) ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  ( y  .o  u
) ) >. ] ~Q0  )
102 addnnnq0 6987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )
103102oveq2d 5650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ,  ( w  .o  u )
>. ] ~Q0  ) )
104103adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )  ->  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  ) )
10531, 34, 41syl2an 283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  u  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  om )
)  ->  ( (
z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) )  e. 
om )
106105an42s 556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) )  e. 
om )
10784ad2ant2l 492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
10878eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( ( w  .N  u )  e.  N.  <->  ( w  .o  u )  e.  N. ) )
109108ad2ant2l 492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
w  .N  u )  e.  N.  <->  ( w  .o  u )  e.  N. ) )
110107, 109mpbid 145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( w  .o  u )  e.  N. )
111106, 110jca 300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) )  e.  om  /\  (
w  .o  u )  e.  N. ) )
112 mulnnnq0 6988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) )  e.  om  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ,  ( w  .o  u )
>. ] ~Q0  )  =  [ <. (
x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) ) ,  ( y  .o  ( w  .o  u
) ) >. ] ~Q0  )
113 nnmcl 6224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) )  e.  om )  ->  ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) )  e.  om )
114 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )  ->  y  e.  N. )
115 mulpiord 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )  ->  ( y  .N  (
w  .o  u ) )  =  ( y  .o  ( w  .o  u ) ) )
116 mulclpi 6866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )  ->  ( y  .N  (
w  .o  u ) )  e.  N. )
117115, 116eqeltrrd 2165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )  ->  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )
118114, 117jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )  ->  ( y  e.  N.  /\  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )
)
119113, 118anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) )  e.  om )  /\  ( y  e.  N.  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) )  e.  om  /\  (
y  e.  N.  /\  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )
) )
120 an12 528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) )  e.  om  /\  ( y  e.  N.  /\  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )
)  <->  ( y  e. 
N.  /\  ( (
x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) )  e.  om  /\  (
y  .o  ( w  .o  u ) )  e.  N. ) ) )
121 3anass 928 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) )  e.  om  /\  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )  <->  ( y  e.  N.  /\  ( ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) )  e.  om  /\  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )
) )
122120, 121bitr4i 185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) )  e.  om  /\  ( y  e.  N.  /\  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )
)  <->  ( y  e. 
N.  /\  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) )  e.  om  /\  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )
)
123119, 122sylib 120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) )  e.  om )  /\  ( y  e.  N.  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )
)  ->  ( y  e.  N.  /\  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) )  e. 
om  /\  ( y  .o  ( w  .o  u
) )  e.  N. ) )
124123an4s 555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) )  e.  om  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )
)  ->  ( y  e.  N.  /\  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) )  e. 
om  /\  ( y  .o  ( w  .o  u
) )  e.  N. ) )
125 mulcanenq0ec 6983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  N.  /\  ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) )  e.  om  /\  ( y  .o  (
w  .o  u ) )  e.  N. )  ->  [ <. ( y  .o  ( x  .o  (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  ( w  .o  u ) ) )
>. ] ~Q0  =  [ <. ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  (
w  .o  v ) ) ) ,  ( y  .o  ( w  .o  u ) )
>. ] ~Q0  )
126124, 125syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) )  e.  om  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )
)  ->  [ <. (
y  .o  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) ) ,  ( y  .o  ( w  .o  u
) ) >. ] ~Q0  )
127112, 126eqtr4d 2123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) )  e.  om  /\  ( w  .o  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ,  ( w  .o  u )
>. ] ~Q0  )  =  [ <. (
y  .o  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) ) >. ] ~Q0  )
128111, 127sylan2 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )  ->  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. (
( z  .o  u
)  +o  ( w  .o  v ) ) ,  ( w  .o  u ) >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( y  .o  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) ) >. ] ~Q0  )
129104, 128eqtrd 2120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( ( z  e. 
om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )  ->  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  [ <. ( y  .o  (
x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v ) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  ( w  .o  u
) ) ) >. ] ~Q0  )
1301293impb 1139 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  [ <. ( y  .o  ( x  .o  ( ( z  .o  u )  +o  ( w  .o  v
) ) ) ) ,  ( y  .o  ( y  .o  (
w  .o  u ) ) ) >. ] ~Q0  )
131 mulnnnq0 6988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
x  .o  z ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
132 mulnnnq0 6988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
x  .o  v ) ,  ( y  .o  u ) >. ] ~Q0  )
133131, 132oveqan12d 5653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( (
x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )  ->  (
( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( [ <. ( x  .o  z ) ,  ( y  .o  w )
>. ] ~Q0 +Q0  [ <. ( x  .o  v ) ,  ( y  .o  u ) >. ] ~Q0  ) )
134 nnmcl 6224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( x  .o  z
)  e.  om )
135 mulpiord 6855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  =  ( y  .o  w ) )
136 mulclpi 6866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .N  w
)  e.  N. )
137135, 136eqeltrrd 2165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .o  w
)  e.  N. )
138134, 137anim12i 331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  z  e.  om )  /\  ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  z )  e.  om  /\  (
y  .o  w )  e.  N. ) )
139138an4s 555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  z )  e.  om  /\  (
y  .o  w )  e.  N. ) )
140 nnmcl 6224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  om  /\  v  e.  om )  ->  ( x  .o  v
)  e.  om )
141 mulpiord 6855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( y  .N  u
)  =  ( y  .o  u ) )
142 mulclpi 6866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( y  .N  u
)  e.  N. )
143141, 142eqeltrrd 2165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( y  .o  u
)  e.  N. )
144140, 143anim12i 331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  v  e.  om )  /\  ( y  e.  N.  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  v )  e.  om  /\  (
y  .o  u )  e.  N. ) )
145144an4s 555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( (
x  .o  v )  e.  om  /\  (
y  .o  u )  e.  N. ) )
146 addnnnq0 6987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  .o  z )  e.  om  /\  ( y  .o  w
)  e.  N. )  /\  ( ( x  .o  v )  e.  om  /\  ( y  .o  u
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( x  .o  z
) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0 +Q0  [ <. (
x  .o  v ) ,  ( y  .o  u ) >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v ) ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  ( y  .o  u
) ) >. ] ~Q0  )
147139, 145, 146syl2an 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( (
x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )  ->  ( [ <. ( x  .o  z ) ,  ( y  .o  w )
>. ] ~Q0 +Q0  [ <. ( x  .o  v ) ,  ( y  .o  u ) >. ] ~Q0  )  =  [ <. ( ( ( x  .o  z )  .o  (
y  .o  u ) )  +o  ( ( y  .o  w )  .o  ( x  .o  v ) ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  ( y  .o  u
) ) >. ] ~Q0  )
148133, 147eqtrd 2120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
om  /\  y  e.  N. )  /\  (
z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  /\  ( (
x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
) )  ->  (
( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  [ <. ( ( ( x  .o  z )  .o  ( y  .o  u
) )  +o  (
( y  .o  w
)  .o  ( x  .o  v ) ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  ( y  .o  u ) ) >. ] ~Q0  )
1491483impdi 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  [ <. ( ( ( x  .o  z )  .o  ( y  .o  u
) )  +o  (
( y  .o  w
)  .o  ( x  .o  v ) ) ) ,  ( ( y  .o  w )  .o  ( y  .o  u ) ) >. ] ~Q0  )
150101, 130, 1493eqtr4d 2130 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) )
1511503expib 1146 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  ->  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) ) )
1521, 19, 151ecoptocl 6359 . . . . 5  |-  ( A  e. Q0  ->  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  (
v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( A ·Q0  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) )  =  ( ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( A ·Q0  [
<. v ,  u >. ] ~Q0  )
) ) )
153152com12 30 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( v  e.  om  /\  u  e.  N. )
)  ->  ( A  e. Q0  -> 
( A ·Q0 
( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 +Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  )
)  =  ( ( A ·Q0  [
<. z ,  w >. ] ~Q0  ) +Q0  ( A ·Q0  [ <. v ,  u >. ] ~Q0  ) ) ) )
1541, 7, 13, 1532ecoptocl 6360 . . 3  |-  ( ( B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( A  e. Q0  -> 
( A ·Q0 
( B +Q0  C ) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0 
C ) ) ) )
155154com12 30 . 2  |-  ( A  e. Q0  ->  ( ( B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0 
( B +Q0  C ) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0 
C ) ) ) )
1561553impib 1141 1  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  ( B +Q0  C
) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0 
C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   <.cop 3444   omcom 4395  (class class class)co 5634    +o coa 6160    .o comu 6161   [cec 6270   N.cnpi 6810    .N cmi 6812   ~Q0 ceq0 6824  Q0cnq0 6825   +Q0 cplq0 6827   ·Q0 cmq0 6828
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-mi 6844  df-enq0 6962  df-nq0 6963  df-plq0 6965  df-mq0 6966
This theorem is referenced by:  distnq0r  7001
  Copyright terms: Public domain W3C validator