Theorem distrnq0 7476

Description: Multiplication of nonnegative fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distrnq0	|- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) )

Proof of Theorem distrnq0

Dummy variables u v w x y z f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7442	. . . 4 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2		oveq1 5898	. . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
3	2	oveq2d 5907	. . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
4		oveq2 5899	. . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 B ) )
5	4	oveq1d 5906	. . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
6	3, 5	eqeq12d 2204	. . . . 5 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
7	6	imbi2d 230	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) ) )
8		oveq2 5899	. . . . . . 7 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( B +Q0 C ) )
9	8	oveq2d 5907	. . . . . 6 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) )
10		oveq2 5899	. . . . . . 7 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 C ) )
11	10	oveq2d 5907	. . . . . 6 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2204	. . . . 5 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q0 = C -> ( ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( B +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) ) ) )
14		oveq1 5898	. . . . . . . 8 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
15		oveq1 5898	. . . . . . . . 9 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
16		oveq1 5898	. . . . . . . . 9 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) )
17	15, 16	oveq12d 5909	. . . . . . . 8 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
18	14, 17	eqeq12d 2204	. . . . . . 7 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) <-> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
19	18	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) <-> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) ) )
20		an42 587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) <-> ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) )
21	20	anbi2i 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) ) <-> ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) )
22		3anass 984	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) <-> ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) ) )
23		3anass 984	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) <-> ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) )
24	21, 22, 23	3bitr4i 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) <-> ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) )
25		pinn 7326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> y e. om )
26		nnmcl 6500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. om /\ x e. om ) -> ( y .o x ) e. om )
27	25, 26	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ x e. om ) -> ( y .o x ) e. om )
28	27	ancoms 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. om /\ y e. N. ) -> ( y .o x ) e. om )
29		pinn 7326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. N. -> u e. om )
30		nnmcl 6500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. om /\ u e. om ) -> ( z .o u ) e. om )
31	29, 30	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. om /\ u e. N. ) -> ( z .o u ) e. om )
32		pinn 7326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. N. -> w e. om )
33		nnmcl 6500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. om /\ v e. om ) -> ( w .o v ) e. om )
34	32, 33	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. N. /\ v e. om ) -> ( w .o v ) e. om )
35		nndi 6505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y .o x ) e. om /\ ( z .o u ) e. om /\ ( w .o v ) e. om ) -> ( ( y .o x ) .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) +o ( ( y .o x ) .o ( w .o v ) ) ) )
36	28, 31, 34, 35	syl3an 1291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) +o ( ( y .o x ) .o ( w .o v ) ) ) )
37		simp1r 1024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> y e. N. )
38		simp1l 1023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> x e. om )
39	31	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( z .o u ) e. om )
40	34	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .o v ) e. om )
41		nnacl 6499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z .o u ) e. om /\ ( w .o v ) e. om ) -> ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om )
42	39, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om )
43		nnmass 6506	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ x e. om /\ ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om ) -> ( ( y .o x ) .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) )
44	25, 43	syl3an1 1282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. N. /\ x e. om /\ ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om ) -> ( ( y .o x ) .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) )
45	37, 38, 42, 44	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) = ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) )
46		nnmcom 6508	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. om /\ y e. om ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
47	25, 46	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. om /\ y e. N. ) -> ( x .o y ) = ( y .o x ) )
48	47	oveq1d 5906	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. om /\ y e. N. ) -> ( ( x .o y ) .o ( z .o u ) ) = ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .o y ) .o ( z .o u ) ) = ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) )
50		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> x e. om )
51	25	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> y e. om )
52		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> z e. om )
53		nnmcom 6508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
55		nnmass 6506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
57		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
58	57, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> u e. om )
59		nnmcl 6500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. om /\ g e. om ) -> ( f .o g ) e. om )
60	59	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) e. om )
61	50, 51, 52, 54, 56, 58, 60	caov4d 6076	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .o y ) .o ( z .o u ) ) = ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) )
62	49, 61	eqtr3d 2224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) = ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) )
63	62	3adant3 1019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) = ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) )
64	25	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> y e. om )
65		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> x e. om )
66		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> w e. N. )
67	66, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> w e. om )
68	53	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
69	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
70		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> v e. om )
71	59	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) e. om )
72	64, 65, 67, 68, 69, 70, 71	caov4d 6076	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( w .o v ) ) = ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) )
73	72	3adant2 1018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o x ) .o ( w .o v ) ) = ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) )
74	63, 73	oveq12d 5909	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( ( y .o x ) .o ( z .o u ) ) +o ( ( y .o x ) .o ( w .o v ) ) ) = ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) )
75	36, 45, 74	3eqtr3d 2230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) = ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) )
76	24, 75	sylbir 135	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) = ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) )
77	37, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> y e. om )
78		mulpiord 7334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
79	78	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. N. /\ w e. N. ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
80	79	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
81	80	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .N u ) = ( w .o u ) )
82	66	3adant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> w e. N. )
83	57	3adant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> u e. N. )
84		mulclpi 7345	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
85	82, 83, 84	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
86		pinn 7326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w .N u ) e. N. -> ( w .N u ) e. om )
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .N u ) e. om )
88	81, 87	eqeltrrd 2267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( w .o u ) e. om )
89		nnmass 6506	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ y e. om /\ ( w .o u ) e. om ) -> ( ( y .o y ) .o ( w .o u ) ) = ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) )
90	77, 77, 88, 89	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o y ) .o ( w .o u ) ) = ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) )
91	82, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> w e. om )
92	53	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) = ( g .o f ) )
93	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om /\ h e. om ) ) -> ( ( f .o g ) .o h ) = ( f .o ( g .o h ) ) )
94	83, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> u e. om )
95	59	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) /\ ( f e. om /\ g e. om ) ) -> ( f .o g ) e. om )
96	77, 77, 91, 92, 93, 94, 95	caov4d 6076	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( y .o y ) .o ( w .o u ) ) = ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) )
97	90, 96	eqtr3d 2224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) = ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) )
98	24, 97	sylbir 135	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) = ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) )
99		opeq12 3795	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) = ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) /\ ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) = ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) ) -> <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. = <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. )
100	99	eceq1d 6589	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) = ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) /\ ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) = ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) ) -> [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
101	76, 98, 100	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
102		addnnnq0 7466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 )
103	102	oveq2d 5907	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) )
104	103	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) )
105	31, 34, 41	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. om ) ) -> ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om )
106	105	an42s 589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om )
107	84	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
108	78	eleq1d 2258	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( w .N u ) e. N. <-> ( w .o u ) e. N. ) )
109	108	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( w .N u ) e. N. <-> ( w .o u ) e. N. ) )
110	107, 109	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( w .o u ) e. N. )
111	106, 110	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) )
112		mulnnnq0 7467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
113		nnmcl 6500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. om /\ ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om ) -> ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om )
114		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) -> y e. N. )
115		mulpiord 7334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) -> ( y .N ( w .o u ) ) = ( y .o ( w .o u ) ) )
116		mulclpi 7345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) -> ( y .N ( w .o u ) ) e. N. )
117	115, 116	eqeltrrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) -> ( y .o ( w .o u ) ) e. N. )
118	114, 117	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) -> ( y e. N. /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) )
119	113, 118	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. om /\ ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om ) /\ ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y e. N. /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) ) )
120		an12 561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y e. N. /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) ) <-> ( y e. N. /\ ( ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) ) )
121		3anass 984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. N. /\ ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) <-> ( y e. N. /\ ( ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) ) )
122	120, 121	bitr4i 187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y e. N. /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) ) <-> ( y e. N. /\ ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) )
123	119, 122	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. om /\ ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om ) /\ ( y e. N. /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( y e. N. /\ ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) )
124	123	an4s 588	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( y e. N. /\ ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) )
125		mulcanenq0ec 7462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) e. om /\ ( y .o ( w .o u ) ) e. N. ) -> [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 = [ <. ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
126	124, 125	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 = [ <. ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) , ( y .o ( w .o u ) ) >. ] ~Q0 )
127	112, 126	eqtr4d 2225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) e. om /\ ( w .o u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 )
128	111, 127	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) , ( w .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 )
129	104, 128	eqtrd 2222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 )
130	129	3impb 1201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( y .o ( x .o ( ( z .o u ) +o ( w .o v ) ) ) ) , ( y .o ( y .o ( w .o u ) ) ) >. ] ~Q0 )
131		mulnnnq0 7467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
132		mulnnnq0 7467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) = [ <. ( x .o v ) , ( y .o u ) >. ] ~Q0 )
133	131, 132	oveqan12d 5910	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( x .o v ) , ( y .o u ) >. ] ~Q0 ) )
134		nnmcl 6500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. om /\ z e. om ) -> ( x .o z ) e. om )
135		mulpiord 7334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) = ( y .o w ) )
136		mulclpi 7345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
137	135, 136	eqeltrrd 2267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) e. N. )
138	134, 137	anim12i 338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ z e. om ) /\ ( y e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o z ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
139	138	an4s 588	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .o z ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) )
140		nnmcl 6500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. om /\ v e. om ) -> ( x .o v ) e. om )
141		mulpiord 7334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. N. /\ u e. N. ) -> ( y .N u ) = ( y .o u ) )
142		mulclpi 7345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. N. /\ u e. N. ) -> ( y .N u ) e. N. )
143	141, 142	eqeltrrd 2267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. N. /\ u e. N. ) -> ( y .o u ) e. N. )
144	140, 143	anim12i 338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. om /\ v e. om ) /\ ( y e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .o v ) e. om /\ ( y .o u ) e. N. ) )
145	144	an4s 588	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .o v ) e. om /\ ( y .o u ) e. N. ) )
146		addnnnq0 7466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x .o z ) e. om /\ ( y .o w ) e. N. ) /\ ( ( x .o v ) e. om /\ ( y .o u ) e. N. ) ) -> ( [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( x .o v ) , ( y .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
147	139, 145, 146	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 +Q0 [ <. ( x .o v ) , ( y .o u ) >. ] ~Q0 ) = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
148	133, 147	eqtrd 2222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
149	148	3impdi 1304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = [ <. ( ( ( x .o z ) .o ( y .o u ) ) +o ( ( y .o w ) .o ( x .o v ) ) ) , ( ( y .o w ) .o ( y .o u ) ) >. ] ~Q0 )
150	101, 130, 149	3eqtr4d 2232	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) )
151	150	3expib 1208	. . . . . 6 |- ( ( x e. om /\ y e. N. ) -> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
152	1, 19, 151	ecoptocl 6640	. . . . 5 |- ( A e. Q0 -> ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
153	152	com12 30	. . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( [ <. z , w >. ] ~Q0 +Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) = ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) +Q0 ( A ·Q0 [ <. v , u >. ] ~Q0 ) ) ) )
154	1, 7, 13, 153	2ecoptocl 6641	. . 3 |- ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A e. Q0 -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) ) )
155	154	com12 30	. 2 |- ( A e. Q0 -> ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) ) )
156	155	3impib 1203	1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   <.cop 3610   omcom 4604  (class class class)co 5891   +o coa 6432   .o comu 6433   [cec 6551   N.cnpi 7289   .N cmi 7291   ~_Q0 ceq0 7303  Q₀cnq0 7304   +_Q0 cplq0 7306   ·_Q0 cmq0 7307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-er 6553  df-ec 6555  df-qs 6559  df-ni 7321  df-mi 7323  df-enq0 7441  df-nq0 7442  df-plq0 7444  df-mq0 7445

This theorem is referenced by:  distnq0r  7480