Theorem addclnq 7508

Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclnq	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) e. Q. )

Proof of Theorem addclnq

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7481	. . 3 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		oveq1 5964	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( A +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
3	2	eleq1d 2275	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> ( A +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) ) )
4		oveq2 5965	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( A +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( A +Q B ) )
5	4	eleq1d 2275	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( A +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> ( A +Q B ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) ) )
6		addpipqqs 7503	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
7		mulclpi 7461	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
8		mulclpi 7461	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) e. N. )
9		addclpi 7460	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ w e. N. ) /\ ( y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
11	10	an42s 589	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
12		mulclpi 7461	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
13	12	ad2ant2l 508	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) e. N. )
14	11, 13	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
15		opelxpi 4715	. . . . 5 |- ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) -> <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. e. ( N. X. N. ) )
16		enqex 7493	. . . . . 6 |- ~Q e. _V
17	16	ecelqsi 6689	. . . . 5 |- ( <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
18	14, 15, 17	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
19	6, 18	eqeltrd 2283	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
20	1, 3, 5, 19	2ecoptocl 6723	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
21	20, 1	eleqtrrdi 2300	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   <.cop 3641   X. cxp 4681  (class class class)co 5957   [cec 6631   /.cqs 6632   N.cnpi 7405   +N cpli 7406   .N cmi 7407   ~Q ceq 7412   Q.cnq 7413   +Q cplq 7415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-oadd 6519  df-omul 6520  df-er 6633  df-ec 6635  df-qs 6639  df-ni 7437  df-pli 7438  df-mi 7439  df-plpq 7477  df-enq 7480  df-nqqs 7481  df-plqqs 7482

This theorem is referenced by:  ltaddnq  7540  halfnqq  7543  ltbtwnnqq  7548  prarloclemcalc  7635  addnqprl  7662  addnqpru  7663  addlocprlemeqgt  7665  addlocprlemgt  7667  addlocprlem  7668  addclpr  7670  plpvlu  7671  dmplp  7673  addnqprlemrl  7690  addnqprlemru  7691  addnqprlemfl  7692  addnqprlemfu  7693  addnqpr  7694  addassprg  7712  distrlem1prl  7715  distrlem1pru  7716  distrlem4prl  7717  distrlem4pru  7718  distrlem5prl  7719  distrlem5pru  7720  ltaddpr  7730  ltexprlemloc  7740  ltexprlemfl  7742  ltexprlemrl  7743  ltexprlemfu  7744  ltexprlemru  7745  addcanprleml  7747  addcanprlemu  7748  recexprlemm  7757  aptiprleml  7772  aptiprlemu  7773  caucvgprlemcanl  7777  cauappcvgprlemm  7778  cauappcvgprlemdisj  7784  cauappcvgprlemloc  7785  cauappcvgprlemladdfu  7787  cauappcvgprlemladdfl  7788  cauappcvgprlemladdru  7789  cauappcvgprlemladdrl  7790  cauappcvgprlem1  7792  cauappcvgprlem2  7793  caucvgprlemnkj  7799  caucvgprlemnbj  7800  caucvgprlemm  7801  caucvgprlemloc  7808  caucvgprlemladdfu  7810  caucvgprlemladdrl  7811  caucvgprlem2  7813  caucvgprprlemloccalc  7817  caucvgprprlemml  7827  caucvgprprlemmu  7828  caucvgprprlemopl  7830  caucvgprprlemloc  7836  suplocexprlemmu  7851