Theorem addclnq 7689

Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclnq	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) e. Q. )

Proof of Theorem addclnq

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7662	. . 3 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		oveq1 6056	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( A +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
3	2	eleq1d 2301	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> ( A +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) ) )
4		oveq2 6057	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( A +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( A +Q B ) )
5	4	eleq1d 2301	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( A +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> ( A +Q B ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) ) )
6		addpipqqs 7684	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
7		mulclpi 7642	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
8		mulclpi 7642	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) e. N. )
9		addclpi 7641	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ w e. N. ) /\ ( y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
11	10	an42s 593	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
12		mulclpi 7642	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
13	12	ad2ant2l 508	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) e. N. )
14	11, 13	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
15		opelxpi 4780	. . . . 5 |- ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) -> <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. e. ( N. X. N. ) )
16		enqex 7674	. . . . . 6 |- ~Q e. _V
17	16	ecelqsi 6822	. . . . 5 |- ( <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
18	14, 15, 17	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
19	6, 18	eqeltrd 2309	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
20	1, 3, 5, 19	2ecoptocl 6856	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
21	20, 1	eleqtrrdi 2326	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   <.cop 3691   X. cxp 4746  (class class class)co 6049   [cec 6764   /.cqs 6765   N.cnpi 7586   +N cpli 7587   .N cmi 7588   ~Q ceq 7593   Q.cnq 7594   +Q cplq 7596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-oadd 6650  df-omul 6651  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-ni 7618  df-pli 7619  df-mi 7620  df-plpq 7658  df-enq 7661  df-nqqs 7662  df-plqqs 7663

This theorem is referenced by:  ltaddnq  7721  halfnqq  7724  ltbtwnnqq  7729  prarloclemcalc  7816  addnqprl  7843  addnqpru  7844  addlocprlemeqgt  7846  addlocprlemgt  7848  addlocprlem  7849  addclpr  7851  plpvlu  7852  dmplp  7854  addnqprlemrl  7871  addnqprlemru  7872  addnqprlemfl  7873  addnqprlemfu  7874  addnqpr  7875  addassprg  7893  distrlem1prl  7896  distrlem1pru  7897  distrlem4prl  7898  distrlem4pru  7899  distrlem5prl  7900  distrlem5pru  7901  ltaddpr  7911  ltexprlemloc  7921  ltexprlemfl  7923  ltexprlemrl  7924  ltexprlemfu  7925  ltexprlemru  7926  addcanprleml  7928  addcanprlemu  7929  recexprlemm  7938  aptiprleml  7953  aptiprlemu  7954  caucvgprlemcanl  7958  cauappcvgprlemm  7959  cauappcvgprlemdisj  7965  cauappcvgprlemloc  7966  cauappcvgprlemladdfu  7968  cauappcvgprlemladdfl  7969  cauappcvgprlemladdru  7970  cauappcvgprlemladdrl  7971  cauappcvgprlem1  7973  cauappcvgprlem2  7974  caucvgprlemnkj  7980  caucvgprlemnbj  7981  caucvgprlemm  7982  caucvgprlemloc  7989  caucvgprlemladdfu  7991  caucvgprlemladdrl  7992  caucvgprlem2  7994  caucvgprprlemloccalc  7998  caucvgprprlemml  8008  caucvgprprlemmu  8009  caucvgprprlemopl  8011  caucvgprprlemloc  8017  suplocexprlemmu  8032