Theorem addclnq 7743

Description: Closure of addition on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclnq	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) e. Q. )

Proof of Theorem addclnq

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7716	. . 3 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		oveq1 6092	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( A +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
3	2	eleq1d 2307	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> ( A +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) ) )
4		oveq2 6093	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( A +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( A +Q B ) )
5	4	eleq1d 2307	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( A +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> ( A +Q B ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) ) )
6		addpipqqs 7738	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
7		mulclpi 7696	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
8		mulclpi 7696	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) e. N. )
9		addclpi 7695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ w e. N. ) /\ ( y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
11	10	an42s 597	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. )
12		mulclpi 7696	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
13	12	ad2ant2l 512	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( y .N w ) e. N. )
14	11, 13	jca 306	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
15		opelxpi 4806	. . . . 5 |- ( ( ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) -> <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. e. ( N. X. N. ) )
16		enqex 7728	. . . . . 6 |- ~Q e. _V
17	16	ecelqsi 6863	. . . . 5 |- ( <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
18	14, 15, 17	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( ( x .N w ) +N ( y .N z ) ) , ( y .N w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
19	6, 18	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q +Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
20	1, 3, 5, 19	2ecoptocl 6897	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
21	20, 1	eleqtrrdi 2332	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A +Q B ) e. Q. )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   X. cxp 4772  (class class class)co 6085   [cec 6805   /.cqs 6806   N.cnpi 7640   +N cpli 7641   .N cmi 7642   ~Q ceq 7647   Q.cnq 7648   +Q cplq 7650

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7672  df-pli 7673  df-mi 7674  df-plpq 7712  df-enq 7715  df-nqqs 7716  df-plqqs 7717

This theorem is used by:  ltaddnq  7775  halfnqq  7778  ltbtwnnqq  7783  prarloclemcalc  7870  addnqprl  7897  addnqpru  7898  addlocprlemeqgt  7900  addlocprlemgt  7902  addlocprlem  7903  addclpr  7905  plpvlu  7906  dmplp  7908  addnqprlemrl  7925  addnqprlemru  7926  addnqprlemfl  7927  addnqprlemfu  7928  addnqpr  7929  addassprg  7947  distrlem1prl  7950  distrlem1pru  7951  distrlem4prl  7952  distrlem4pru  7953  distrlem5prl  7954  distrlem5pru  7955  ltaddpr  7965  ltexprlemloc  7975  ltexprlemfl  7977  ltexprlemrl  7978  ltexprlemfu  7979  ltexprlemru  7980  addcanprleml  7982  addcanprlemu  7983  recexprlemm  7992  aptiprleml  8007  aptiprlemu  8008  caucvgprlemcanl  8012  cauappcvgprlemm  8013  cauappcvgprlemdisj  8019  cauappcvgprlemloc  8020  cauappcvgprlemladdfu  8022  cauappcvgprlemladdfl  8023  cauappcvgprlemladdru  8024  cauappcvgprlemladdrl  8025  cauappcvgprlem1  8027  cauappcvgprlem2  8028  caucvgprlemnkj  8034  caucvgprlemnbj  8035  caucvgprlemm  8036  caucvgprlemloc  8043  caucvgprlemladdfu  8045  caucvgprlemladdrl  8046  caucvgprlem2  8048  caucvgprprlemloccalc  8052  caucvgprprlemml  8062  caucvgprprlemmu  8063  caucvgprprlemopl  8065  caucvgprprlemloc  8071  suplocexprlemmu  8086