Theorem mulcomnq0 7459

Description: Multiplication of nonnegative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomnq0	|- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) )

Proof of Theorem mulcomnq0

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7424	. 2 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2		oveq1 5882	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
3		oveq2 5883	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 A ) )
4	2, 3	eqeq12d 2192	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) <-> ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 A ) ) )
5		oveq2 5883	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 B ) )
6		oveq1 5882	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( B ·Q0 A ) )
7	5, 6	eqeq12d 2192	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 A ) <-> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) ) )
8		nnmcom 6490	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ z e. om ) -> ( x .o z ) = ( z .o x ) )
9	8	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( x .o z ) = ( z .o x ) )
10		pinn 7308	. . . . . 6 |- ( y e. N. -> y e. om )
11		pinn 7308	. . . . . 6 |- ( w e. N. -> w e. om )
12		nnmcom 6490	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ w e. om ) -> ( y .o w ) = ( w .o y ) )
13	10, 11, 12	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) = ( w .o y ) )
14	13	ad2ant2l 508	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o w ) = ( w .o y ) )
15		opeq12 3781	. . . . 5 |- ( ( ( x .o z ) = ( z .o x ) /\ ( y .o w ) = ( w .o y ) ) -> <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. = <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. )
16	15	eceq1d 6571	. . . 4 |- ( ( ( x .o z ) = ( z .o x ) /\ ( y .o w ) = ( w .o y ) ) -> [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. ] ~Q0 )
17	9, 14, 16	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. ] ~Q0 )
18		mulnnnq0 7449	. . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
19		mulnnnq0 7449	. . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( x e. om /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) = [ <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. ] ~Q0 )
20	19	ancoms 268	. . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) = [ <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. ] ~Q0 )
21	17, 18, 20	3eqtr4d 2220	. 2 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) )
22	1, 4, 7, 21	2ecoptocl 6623	1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3596   omcom 4590  (class class class)co 5875   .o comu 6415   [cec 6533   N.cnpi 7271   ~_Q0 ceq0 7285  Q₀cnq0 7286   ·_Q0 cmq0 7289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-mi 7305  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-mq0 7427

This theorem is referenced by:  distnq0r  7462