ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomnq0 Unicode version

Theorem mulcomnq0 7473
Description: Multiplication of nonnegative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcomnq0  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  B )  =  ( B ·Q0 
A ) )

Proof of Theorem mulcomnq0
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7438 . 2  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
2 oveq1 5895 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
3 oveq2 5896 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0 
A ) )
42, 3eqeq12d 2202 . 2  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  ) 
<->  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0 
A ) ) )
5 oveq2 5896 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  B ) )
6 oveq1 5895 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  A )  =  ( B ·Q0 
A ) )
75, 6eqeq12d 2202 . 2  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0 
A )  <->  ( A ·Q0  B )  =  ( B ·Q0 
A ) ) )
8 nnmcom 6504 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( x  .o  z
)  =  ( z  .o  x ) )
98ad2ant2r 509 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( x  .o  z )  =  ( z  .o  x ) )
10 pinn 7322 . . . . . 6  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  om )
11 pinn 7322 . . . . . 6  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
12 nnmcom 6504 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  w  e.  om )  ->  ( y  .o  w
)  =  ( w  .o  y ) )
1310, 11, 12syl2an 289 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .o  w
)  =  ( w  .o  y ) )
1413ad2ant2l 508 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  w )  =  ( w  .o  y ) )
15 opeq12 3792 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .o  z
)  =  ( z  .o  x )  /\  ( y  .o  w
)  =  ( w  .o  y ) )  ->  <. ( x  .o  z ) ,  ( y  .o  w )
>.  =  <. ( z  .o  x ) ,  ( w  .o  y
) >. )
1615eceq1d 6585 . . . 4  |-  ( ( ( x  .o  z
)  =  ( z  .o  x )  /\  ( y  .o  w
)  =  ( w  .o  y ) )  ->  [ <. (
x  .o  z ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
z  .o  x ) ,  ( w  .o  y ) >. ] ~Q0  )
179, 14, 16syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  [ <. (
x  .o  z ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
z  .o  x ) ,  ( w  .o  y ) >. ] ~Q0  )
18 mulnnnq0 7463 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
x  .o  z ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
19 mulnnnq0 7463 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  )  =  [ <. (
z  .o  x ) ,  ( w  .o  y ) >. ] ~Q0  )
2019ancoms 268 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  )  =  [ <. (
z  .o  x ) ,  ( w  .o  y ) >. ] ~Q0  )
2117, 18, 203eqtr4d 2230 . 2  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  ) )
221, 4, 7, 212ecoptocl 6637 1  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  B )  =  ( B ·Q0 
A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1363    e. wcel 2158   <.cop 3607   omcom 4601  (class class class)co 5888    .o comu 6429   [cec 6547   N.cnpi 7285   ~Q0 ceq0 7299  Q0cnq0 7300   ·Q0 cmq0 7303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-mi 7319  df-enq0 7437  df-nq0 7438  df-mq0 7441
This theorem is referenced by:  distnq0r  7476
  Copyright terms: Public domain W3C validator