ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomnq0 Unicode version

Theorem mulcomnq0 7261
Description: Multiplication of nonnegative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcomnq0  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  B )  =  ( B ·Q0 
A ) )

Proof of Theorem mulcomnq0
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7226 . 2  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
2 oveq1 5774 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
3 oveq2 5775 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0 
A ) )
42, 3eqeq12d 2152 . 2  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  ) 
<->  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0 
A ) ) )
5 oveq2 5775 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  B ) )
6 oveq1 5774 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  A )  =  ( B ·Q0 
A ) )
75, 6eqeq12d 2152 . 2  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0 
A )  <->  ( A ·Q0  B )  =  ( B ·Q0 
A ) ) )
8 nnmcom 6378 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( x  .o  z
)  =  ( z  .o  x ) )
98ad2ant2r 500 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( x  .o  z )  =  ( z  .o  x ) )
10 pinn 7110 . . . . . 6  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  om )
11 pinn 7110 . . . . . 6  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
12 nnmcom 6378 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  w  e.  om )  ->  ( y  .o  w
)  =  ( w  .o  y ) )
1310, 11, 12syl2an 287 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .o  w
)  =  ( w  .o  y ) )
1413ad2ant2l 499 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  w )  =  ( w  .o  y ) )
15 opeq12 3702 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .o  z
)  =  ( z  .o  x )  /\  ( y  .o  w
)  =  ( w  .o  y ) )  ->  <. ( x  .o  z ) ,  ( y  .o  w )
>.  =  <. ( z  .o  x ) ,  ( w  .o  y
) >. )
1615eceq1d 6458 . . . 4  |-  ( ( ( x  .o  z
)  =  ( z  .o  x )  /\  ( y  .o  w
)  =  ( w  .o  y ) )  ->  [ <. (
x  .o  z ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
z  .o  x ) ,  ( w  .o  y ) >. ] ~Q0  )
179, 14, 16syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  [ <. (
x  .o  z ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
z  .o  x ) ,  ( w  .o  y ) >. ] ~Q0  )
18 mulnnnq0 7251 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
x  .o  z ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
19 mulnnnq0 7251 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  )  =  [ <. (
z  .o  x ) ,  ( w  .o  y ) >. ] ~Q0  )
2019ancoms 266 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  )  =  [ <. (
z  .o  x ) ,  ( w  .o  y ) >. ] ~Q0  )
2117, 18, 203eqtr4d 2180 . 2  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  ) )
221, 4, 7, 212ecoptocl 6510 1  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  B )  =  ( B ·Q0 
A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   <.cop 3525   omcom 4499  (class class class)co 5767    .o comu 6304   [cec 6420   N.cnpi 7073   ~Q0 ceq0 7087  Q0cnq0 7088   ·Q0 cmq0 7091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-mi 7107  df-enq0 7225  df-nq0 7226  df-mq0 7229
This theorem is referenced by:  distnq0r  7264
  Copyright terms: Public domain W3C validator