Theorem mulcomnq0 7680

Description: Multiplication of nonnegative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomnq0	|- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) )

Proof of Theorem mulcomnq0

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7645	. 2 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2		oveq1 6025	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
3		oveq2 6026	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 A ) )
4	2, 3	eqeq12d 2246	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) <-> ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 A ) ) )
5		oveq2 6026	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 B ) )
6		oveq1 6025	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( B ·Q0 A ) )
7	5, 6	eqeq12d 2246	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 A ) <-> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) ) )
8		nnmcom 6657	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ z e. om ) -> ( x .o z ) = ( z .o x ) )
9	8	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( x .o z ) = ( z .o x ) )
10		pinn 7529	. . . . . 6 |- ( y e. N. -> y e. om )
11		pinn 7529	. . . . . 6 |- ( w e. N. -> w e. om )
12		nnmcom 6657	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ w e. om ) -> ( y .o w ) = ( w .o y ) )
13	10, 11, 12	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) = ( w .o y ) )
14	13	ad2ant2l 508	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o w ) = ( w .o y ) )
15		opeq12 3864	. . . . 5 |- ( ( ( x .o z ) = ( z .o x ) /\ ( y .o w ) = ( w .o y ) ) -> <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. = <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. )
16	15	eceq1d 6738	. . . 4 |- ( ( ( x .o z ) = ( z .o x ) /\ ( y .o w ) = ( w .o y ) ) -> [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. ] ~Q0 )
17	9, 14, 16	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. ] ~Q0 )
18		mulnnnq0 7670	. . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
19		mulnnnq0 7670	. . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( x e. om /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) = [ <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. ] ~Q0 )
20	19	ancoms 268	. . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) = [ <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. ] ~Q0 )
21	17, 18, 20	3eqtr4d 2274	. 2 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) )
22	1, 4, 7, 21	2ecoptocl 6792	1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   <.cop 3672   omcom 4688  (class class class)co 6018   .o comu 6580   [cec 6700   N.cnpi 7492   ~_Q0 ceq0 7506  Q₀cnq0 7507   ·_Q0 cmq0 7510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-mi 7526  df-enq0 7644  df-nq0 7645  df-mq0 7648

This theorem is referenced by:  distnq0r  7683