ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomnq0 Unicode version

Theorem mulcomnq0 7073
Description: Multiplication of nonnegative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcomnq0  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  B )  =  ( B ·Q0 
A ) )

Proof of Theorem mulcomnq0
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7038 . 2  |- Q0  =  ( ( om 
X.  N. ) /. ~Q0  )
2 oveq1 5673 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  ) )
3 oveq2 5674 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0 
A ) )
42, 3eqeq12d 2103 . 2  |-  ( [
<. x ,  y >. ] ~Q0  =  A  ->  ( ( [ <. x ,  y
>. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  ) 
<->  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0 
A ) ) )
5 oveq2 5674 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( A ·Q0  B ) )
6 oveq1 5673 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  A )  =  ( B ·Q0 
A ) )
75, 6eqeq12d 2103 . 2  |-  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0  =  B  ->  ( ( A ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [
<. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0 
A )  <->  ( A ·Q0  B )  =  ( B ·Q0 
A ) ) )
8 nnmcom 6264 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( x  .o  z
)  =  ( z  .o  x ) )
98ad2ant2r 494 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( x  .o  z )  =  ( z  .o  x ) )
10 pinn 6922 . . . . . 6  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  om )
11 pinn 6922 . . . . . 6  |-  ( w  e.  N.  ->  w  e.  om )
12 nnmcom 6264 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  w  e.  om )  ->  ( y  .o  w
)  =  ( w  .o  y ) )
1310, 11, 12syl2an 284 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( y  .o  w
)  =  ( w  .o  y ) )
1413ad2ant2l 493 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( y  .o  w )  =  ( w  .o  y ) )
15 opeq12 3630 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .o  z
)  =  ( z  .o  x )  /\  ( y  .o  w
)  =  ( w  .o  y ) )  ->  <. ( x  .o  z ) ,  ( y  .o  w )
>.  =  <. ( z  .o  x ) ,  ( w  .o  y
) >. )
1615eceq1d 6342 . . . 4  |-  ( ( ( x  .o  z
)  =  ( z  .o  x )  /\  ( y  .o  w
)  =  ( w  .o  y ) )  ->  [ <. (
x  .o  z ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
z  .o  x ) ,  ( w  .o  y ) >. ] ~Q0  )
179, 14, 16syl2anc 404 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  [ <. (
x  .o  z ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  =  [ <. (
z  .o  x ) ,  ( w  .o  y ) >. ] ~Q0  )
18 mulnnnq0 7063 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  [ <. (
x  .o  z ) ,  ( y  .o  w ) >. ] ~Q0  )
19 mulnnnq0 7063 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )  /\  ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  )  =  [ <. (
z  .o  x ) ,  ( w  .o  y ) >. ] ~Q0  )
2019ancoms 265 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  )  =  [ <. (
z  .o  x ) ,  ( w  .o  y ) >. ] ~Q0  )
2117, 18, 203eqtr4d 2131 . 2  |-  ( ( ( x  e.  om  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  om  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. z ,  w >. ] ~Q0  )  =  ( [ <. z ,  w >. ] ~Q0 ·Q0  [ <. x ,  y
>. ] ~Q0  ) )
221, 4, 7, 212ecoptocl 6394 1  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  B )  =  ( B ·Q0 
A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1290    e. wcel 1439   <.cop 3453   omcom 4418  (class class class)co 5666    .o comu 6193   [cec 6304   N.cnpi 6885   ~Q0 ceq0 6899  Q0cnq0 6900   ·Q0 cmq0 6903
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6917  df-mi 6919  df-enq0 7037  df-nq0 7038  df-mq0 7041
This theorem is referenced by:  distnq0r  7076
  Copyright terms: Public domain W3C validator