Theorem mulcomnq0 7663

Description: Multiplication of nonnegative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomnq0	|- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) )

Proof of Theorem mulcomnq0

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7628	. 2 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2		oveq1 6017	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
3		oveq2 6018	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 A ) )
4	2, 3	eqeq12d 2244	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) <-> ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 A ) ) )
5		oveq2 6018	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 B ) )
6		oveq1 6017	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( B ·Q0 A ) )
7	5, 6	eqeq12d 2244	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 A ) <-> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) ) )
8		nnmcom 6648	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ z e. om ) -> ( x .o z ) = ( z .o x ) )
9	8	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( x .o z ) = ( z .o x ) )
10		pinn 7512	. . . . . 6 |- ( y e. N. -> y e. om )
11		pinn 7512	. . . . . 6 |- ( w e. N. -> w e. om )
12		nnmcom 6648	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ w e. om ) -> ( y .o w ) = ( w .o y ) )
13	10, 11, 12	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) = ( w .o y ) )
14	13	ad2ant2l 508	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o w ) = ( w .o y ) )
15		opeq12 3859	. . . . 5 |- ( ( ( x .o z ) = ( z .o x ) /\ ( y .o w ) = ( w .o y ) ) -> <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. = <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. )
16	15	eceq1d 6729	. . . 4 |- ( ( ( x .o z ) = ( z .o x ) /\ ( y .o w ) = ( w .o y ) ) -> [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. ] ~Q0 )
17	9, 14, 16	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. ] ~Q0 )
18		mulnnnq0 7653	. . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
19		mulnnnq0 7653	. . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( x e. om /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) = [ <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. ] ~Q0 )
20	19	ancoms 268	. . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) = [ <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. ] ~Q0 )
21	17, 18, 20	3eqtr4d 2272	. 2 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) )
22	1, 4, 7, 21	2ecoptocl 6783	1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669   omcom 4683  (class class class)co 6010   .o comu 6571   [cec 6691   N.cnpi 7475   ~_Q0 ceq0 7489  Q₀cnq0 7490   ·_Q0 cmq0 7493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-oadd 6577  df-omul 6578  df-er 6693  df-ec 6695  df-qs 6699  df-ni 7507  df-mi 7509  df-enq0 7627  df-nq0 7628  df-mq0 7631

This theorem is referenced by:  distnq0r  7666