Theorem mulcomnq0 7422

Description: Multiplication of nonnegative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomnq0	|- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) )

Proof of Theorem mulcomnq0

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7387	. 2 |- Q0 = ( ( om X. N. ) /. ~Q0 )
2		oveq1 5860	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) )
3		oveq2 5861	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 A ) )
4	2, 3	eqeq12d 2185	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q0 = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) <-> ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 A ) ) )
5		oveq2 5861	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( A ·Q0 B ) )
6		oveq1 5860	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 A ) = ( B ·Q0 A ) )
7	5, 6	eqeq12d 2185	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q0 = B -> ( ( A ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 A ) <-> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) ) )
8		nnmcom 6468	. . . . 5 |- ( ( x e. om /\ z e. om ) -> ( x .o z ) = ( z .o x ) )
9	8	ad2ant2r 506	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( x .o z ) = ( z .o x ) )
10		pinn 7271	. . . . . 6 |- ( y e. N. -> y e. om )
11		pinn 7271	. . . . . 6 |- ( w e. N. -> w e. om )
12		nnmcom 6468	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ w e. om ) -> ( y .o w ) = ( w .o y ) )
13	10, 11, 12	syl2an 287	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .o w ) = ( w .o y ) )
14	13	ad2ant2l 505	. . . 4 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( y .o w ) = ( w .o y ) )
15		opeq12 3767	. . . . 5 |- ( ( ( x .o z ) = ( z .o x ) /\ ( y .o w ) = ( w .o y ) ) -> <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. = <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. )
16	15	eceq1d 6549	. . . 4 |- ( ( ( x .o z ) = ( z .o x ) /\ ( y .o w ) = ( w .o y ) ) -> [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. ] ~Q0 )
17	9, 14, 16	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 = [ <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. ] ~Q0 )
18		mulnnnq0 7412	. . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = [ <. ( x .o z ) , ( y .o w ) >. ] ~Q0 )
19		mulnnnq0 7412	. . . 4 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( x e. om /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) = [ <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. ] ~Q0 )
20	19	ancoms 266	. . 3 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) = [ <. ( z .o x ) , ( w .o y ) >. ] ~Q0 )
21	17, 18, 20	3eqtr4d 2213	. 2 |- ( ( ( x e. om /\ y e. N. ) /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. z , w >. ] ~Q0 ) = ( [ <. z , w >. ] ~Q0 ·Q0 [ <. x , y >. ] ~Q0 ) )
22	1, 4, 7, 21	2ecoptocl 6601	1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3586   omcom 4574  (class class class)co 5853   .o comu 6393   [cec 6511   N.cnpi 7234   ~_Q0 ceq0 7248  Q₀cnq0 7249   ·_Q0 cmq0 7252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-mi 7268  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-mq0 7390

This theorem is referenced by:  distnq0r  7425