ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltexnqq Unicode version

Theorem ltexnqq 7228
Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltexnqq  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem ltexnqq
Dummy variables  f  g  h  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7168 . . 3  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 breq1 3932 . . . 4  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  <Q  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  <->  A  <Q  [
<. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
3 oveq1 5781 . . . . . 6  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  ( A  +Q  x ) )
43eqeq1d 2148 . . . . 5  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  ( A  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
54rexbidv 2438 . . . 4  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( E. x  e. 
Q.  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x
)  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
62, 5imbi12d 233 . . 3  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  <Q  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  )  <->  ( A  <Q  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) ) )
7 breq2 3933 . . . 4  |-  ( [
<. w ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( A  <Q  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  A 
<Q  B ) )
8 eqeq2 2149 . . . . 5  |-  ( [
<. w ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( ( A  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  ( A  +Q  x )  =  B ) )
98rexbidv 2438 . . . 4  |-  ( [
<. w ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( E. x  e. 
Q.  ( A  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x
)  =  B ) )
107, 9imbi12d 233 . . 3  |-  ( [
<. w ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( ( A  <Q  [
<. w ,  v >. ]  ~Q  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  )  <->  ( A  <Q  B  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  B ) ) )
11 ordpipqqs 7194 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  <Q  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  ( y  .N  v ) 
<N  ( z  .N  w
) ) )
12 mulclpi 7148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( y  .N  v
)  e.  N. )
13 mulclpi 7148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  .N  w
)  e.  N. )
1412, 13anim12i 336 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  v )  e.  N.  /\  (
z  .N  w )  e.  N. ) )
1514an42s 578 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  v )  e.  N.  /\  (
z  .N  w )  e.  N. ) )
16 ltexpi 7157 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  .N  v
)  e.  N.  /\  ( z  .N  w
)  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  v )  <N  (
z  .N  w )  <->  E. u  e.  N.  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) ) )
1715, 16syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  v ) 
<N  ( z  .N  w
)  <->  E. u  e.  N.  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) ) )
18 df-rex 2422 . . . . . 6  |-  ( E. u  e.  N.  (
( y  .N  v
)  +N  u )  =  ( z  .N  w )  <->  E. u
( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) ) )
1917, 18syl6bb 195 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  v ) 
<N  ( z  .N  w
)  <->  E. u ( u  e.  N.  /\  (
( y  .N  v
)  +N  u )  =  ( z  .N  w ) ) ) )
20 simpll 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. ) )
21 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  u  e. 
N. )
22 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  z  e.  N. )
23 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  v  e.  N. )
2422, 23anim12i 336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  e.  N.  /\  v  e. 
N. ) )
2524adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. ) )
26 mulclpi 7148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( z  .N  v
)  e.  N. )
2725, 26syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  v )  e. 
N. )
2820, 21, 27jca32 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )
) )
2928adantrr 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
u  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )
) )
30 addpipqqs 7190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( y  .N  (
z  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u ) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v
) ) >. ]  ~Q  )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  )  =  [ <. ( ( y  .N  ( z  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. ]  ~Q  )
32 simplll 522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
y  e.  N. )
33 simpllr 523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
z  e.  N. )
34 simplrr 525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
v  e.  N. )
35 mulcompig 7151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
3635adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )
)  ->  ( f  .N  g )  =  ( g  .N  f ) )
37 mulasspig 7152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
3837adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )
)  ->  ( (
f  .N  g )  .N  h )  =  ( f  .N  (
g  .N  h ) ) )
3932, 33, 34, 36, 38caov12d 5952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( y  .N  (
z  .N  v ) )  =  ( z  .N  ( y  .N  v ) ) )
4039oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( ( y  .N  ( z  .N  v
) )  +N  (
z  .N  u ) )  =  ( ( z  .N  ( y  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u ) ) )
4132, 34, 12syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( y  .N  v
)  e.  N. )
42 simprl 520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  u  e.  N. )
43 distrpig 7153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( y  .N  v
)  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  (
( y  .N  v
)  +N  u ) )  =  ( ( z  .N  ( y  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u ) ) )
4433, 41, 42, 43syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( z  .N  (
( y  .N  v
)  +N  u ) )  =  ( ( z  .N  ( y  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u ) ) )
4540, 44eqtr4d 2175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( ( y  .N  ( z  .N  v
) )  +N  (
z  .N  u ) )  =  ( z  .N  ( ( y  .N  v )  +N  u ) ) )
4645opeq1d 3711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  <. ( ( y  .N  ( z  .N  v
) )  +N  (
z  .N  u ) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) ) >.  =  <. ( z  .N  ( ( y  .N  v )  +N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. )
4746eceq1d 6465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. ( ( y  .N  ( z  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( z  .N  (
( y  .N  v
)  +N  u ) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) ) >. ]  ~Q  )
48 simpllr 523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  z  e. 
N. )
4912ad2ant2rl 502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  v )  e.  N. )
50 addclpi 7147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  .N  v
)  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  e.  N. )
5149, 50sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  v )  +N  u )  e. 
N. )
5248, 51, 273jca 1161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  e.  N.  /\  (
( y  .N  v
)  +N  u )  e.  N.  /\  (
z  .N  v )  e.  N. ) )
5352adantrr 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( z  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )
)
54 mulcanenqec 7206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )  ->  [ <. ( z  .N  ( ( y  .N  v )  +N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( ( y  .N  v )  +N  u
) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )
5553, 54syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. ( z  .N  ( ( y  .N  v )  +N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( ( y  .N  v )  +N  u
) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )
5647, 55eqtrd 2172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. ( ( y  .N  ( z  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( ( y  .N  v )  +N  u
) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )
57 3anass 966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  <->  ( z  e.  N.  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. ) ) )
5857biimpri 132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  e.  N.  /\  w  e. 
N.  /\  v  e.  N. ) )
5958adantll 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  e.  N.  /\  w  e. 
N.  /\  v  e.  N. ) )
6059anim1i 338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( (
y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) )  ->  (
( z  e.  N.  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) ) )
6160adantrl 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w ) ) )
62 opeq1 3705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  .N  v
)  +N  u )  =  ( z  .N  w )  ->  <. (
( y  .N  v
)  +N  u ) ,  ( z  .N  v ) >.  =  <. ( z  .N  w ) ,  ( z  .N  v ) >. )
6362eceq1d 6465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  .N  v
)  +N  u )  =  ( z  .N  w )  ->  [ <. ( ( y  .N  v
)  +N  u ) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  =  [ <. ( z  .N  w ) ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  )
64 mulcanenqec 7206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  [ <. ( z  .N  w ) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  )
6563, 64sylan9eqr 2194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) )  ->  [ <. (
( y  .N  v
)  +N  u ) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  )
6661, 65syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. ( ( y  .N  v )  +N  u ) ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  )
6731, 56, 663eqtrd 2176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  )  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  )
6833, 34, 26syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( z  .N  v
)  e.  N. )
69 opelxpi 4571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )  -> 
<. u ,  ( z  .N  v ) >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
70 enqex 7180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~Q  e.  _V
7170ecelqsi 6483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
u ,  ( z  .N  v ) >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
7269, 71syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )  ->  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
7342, 68, 72syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
7473, 1eleqtrrdi 2233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  e.  Q. )
75 oveq2 5782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  ->  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  ( [ <. y ,  z
>. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  ) )
7675eqeq1d 2148 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  ->  ( ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  )  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ) )
7776adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  /\  x  =  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )  ->  ( ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  ( [ <. y ,  z
>. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
7874, 77rspcedv 2793 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  )  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
7967, 78mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z
>. ]  ~Q  +Q  x
)  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  )
8079ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) )  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z
>. ]  ~Q  +Q  x
)  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
8180exlimdv 1791 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( E. u ( u  e. 
N.  /\  ( (
y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) )  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
8219, 81sylbid 149 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  v ) 
<N  ( z  .N  w
)  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
8311, 82sylbid 149 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  <Q  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z
>. ]  ~Q  +Q  x
)  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
841, 6, 10, 832ecoptocl 6517 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x
)  =  B ) )
85 ltaddnq 7227 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  A  <Q  ( A  +Q  x ) )
86 breq2 3933 . . . . 5  |-  ( ( A  +Q  x )  =  B  ->  ( A  <Q  ( A  +Q  x )  <->  A  <Q  B ) )
8785, 86syl5ibcom 154 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( ( A  +Q  x )  =  B  ->  A  <Q  B ) )
8887rexlimdva 2549 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x
)  =  B  ->  A  <Q  B ) )
8988adantr 274 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( E. x  e. 
Q.  ( A  +Q  x )  =  B  ->  A  <Q  B ) )
9084, 89impbid 128 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   E.wrex 2417   <.cop 3530   class class class wbr 3929    X. cxp 4537  (class class class)co 5774   [cec 6427   /.cqs 6428   N.cnpi 7092    +N cpli 7093    .N cmi 7094    <N clti 7095    ~Q ceq 7099   Q.cnq 7100    +Q cplq 7102    <Q cltq 7105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-plpq 7164  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-mqqs 7170  df-1nqqs 7171  df-ltnqqs 7173
This theorem is referenced by:  ltexnqi  7229  addlocpr  7356  ltexprlemopl  7421  ltexprlemopu  7423  ltexprlemrl  7430  ltexprlemru  7432  cauappcvgprlemopl  7466  caucvgprlemopl  7489  caucvgprprlemopl  7517
  Copyright terms: Public domain W3C validator