Theorem ltexnqq 7765

Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltexnqq	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ltexnqq

Dummy variables f g h y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7705	. . 3 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 4128	. . . 4 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( [ <. y , z >. ] ~Q <Q [ <. w , v >. ] ~Q <-> A <Q [ <. w , v >. ] ~Q ) )
3		oveq1 6082	. . . . . 6 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = ( A +Q x ) )
4	3	eqeq1d 2247	. . . . 5 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
5	4	rexbidv 2551	. . . 4 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> E. x e. Q. ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
6	2, 5	imbi12d 234	. . 3 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q <Q [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) <-> ( A <Q [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) ) )
7		breq2 4129	. . . 4 |- ( [ <. w , v >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. w , v >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
8		eqeq2 2248	. . . . 5 |- ( [ <. w , v >. ] ~Q = B -> ( ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( A +Q x ) = B ) )
9	8	rexbidv 2551	. . . 4 |- ( [ <. w , v >. ] ~Q = B -> ( E. x e. Q. ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )
10	7, 9	imbi12d 234	. . 3 |- ( [ <. w , v >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) <-> ( A <Q B -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) ) )
11		ordpipqqs 7731	. . . 4 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q <Q [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( y .N v ) <N ( z .N w ) ) )
12		mulclpi 7685	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. N. /\ v e. N. ) -> ( y .N v ) e. N. )
13		mulclpi 7685	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z .N w ) e. N. )
14	12, 13	anim12i 338	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. N. /\ v e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) e. N. /\ ( z .N w ) e. N. ) )
15	14	an42s 597	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) e. N. /\ ( z .N w ) e. N. ) )
16		ltexpi 7694	. . . . . . 7 |- ( ( ( y .N v ) e. N. /\ ( z .N w ) e. N. ) -> ( ( y .N v ) <N ( z .N w ) <-> E. u e. N. ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) <N ( z .N w ) <-> E. u e. N. ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
18		df-rex 2534	. . . . . 6 |- ( E. u e. N. ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) <-> E. u ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
19	17, 18	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) <N ( z .N w ) <-> E. u ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) )
20		simpll 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( y e. N. /\ z e. N. ) )
21		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> u e. N. )
22		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> z e. N. )
23		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> v e. N. )
24	22, 23	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z e. N. /\ v e. N. ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( z e. N. /\ v e. N. ) )
26		mulclpi 7685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
28	20, 21, 27	jca32 310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) ) )
29	28	adantrr 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) ) )
30		addpipqqs 7727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q )
32		simplll 539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> y e. N. )
33		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> z e. N. )
34		simplrr 542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> v e. N. )
35		mulcompig 7688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
36	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
37		mulasspig 7689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
39	32, 33, 34, 36, 38	caov12d 6261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( y .N ( z .N v ) ) = ( z .N ( y .N v ) ) )
40	39	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) = ( ( z .N ( y .N v ) ) +N ( z .N u ) ) )
41	32, 34, 12	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( y .N v ) e. N. )
42		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> u e. N. )
43		distrpig 7690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. N. /\ ( y .N v ) e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) = ( ( z .N ( y .N v ) ) +N ( z .N u ) ) )
44	33, 41, 42, 43	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) = ( ( z .N ( y .N v ) ) +N ( z .N u ) ) )
45	40, 44	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) = ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) )
46	45	opeq1d 3905	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. = <. ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. )
47	46	eceq1d 6833	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q = [ <. ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q )
48		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> z e. N. )
49	12	ad2ant2rl 515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( y .N v ) e. N. )
50		addclpi 7684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y .N v ) e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N v ) +N u ) e. N. )
51	49, 50	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( ( y .N v ) +N u ) e. N. )
52	48, 51, 27	3jca 1208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( z e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) )
53	52	adantrr 483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( z e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) )
54		mulcanenqec 7743	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) -> [ <. ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q = [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q = [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q )
56	47, 55	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q = [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q )
57		3anass 1013	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) <-> ( z e. N. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) )
58	57	biimpri 133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) )
59	58	adantll 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) )
60	59	anim1i 340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) -> ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
61	60	adantrl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
62		opeq1 3899	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) -> <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. = <. ( z .N w ) , ( z .N v ) >. )
63	62	eceq1d 6833	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) -> [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q = [ <. ( z .N w ) , ( z .N v ) >. ] ~Q )
64		mulcanenqec 7743	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) -> [ <. ( z .N w ) , ( z .N v ) >. ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
65	63, 64	sylan9eqr 2293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) -> [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
66	61, 65	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
67	31, 56, 66	3eqtrd 2275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. w , v >. ] ~Q )
68	33, 34, 26	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( z .N v ) e. N. )
69		opelxpi 4801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) -> <. u , ( z .N v ) >. e. ( N. X. N. ) )
70		enqex 7717	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~Q e. _V
71	70	ecelqsi 6853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. u , ( z .N v ) >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
72	69, 71	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) -> [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
73	42, 68, 72	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
74	73, 1	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q e. Q. )
75		oveq2 6083	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) )
76	75	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . 10 |- ( x = [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
77	76	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) /\ x = [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
78	74, 77	rspcedv 2933	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
79	67, 78	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q )
80	79	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
81	80	exlimdv 1872	. . . . 5 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( E. u ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
82	19, 81	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) <N ( z .N w ) -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
83	11, 82	sylbid 150	. . 3 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q <Q [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
84	1, 6, 10, 83	2ecoptocl 6887	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )
85		ltaddnq 7764	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ x e. Q. ) -> A <Q ( A +Q x ) )
86		breq2 4129	. . . . 5 |- ( ( A +Q x ) = B -> ( A <Q ( A +Q x ) <-> A <Q B ) )
87	85, 86	syl5ibcom 155	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( A +Q x ) = B -> A <Q B ) )
88	87	rexlimdva 2668	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( E. x e. Q. ( A +Q x ) = B -> A <Q B ) )
89	88	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( E. x e. Q. ( A +Q x ) = B -> A <Q B ) )
90	84, 89	impbid 129	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   E.wrex 2529   <.cop 3708   class class class wbr 4125   X. cxp 4767  (class class class)co 6075   [cec 6795   /.cqs 6796   N.cnpi 7629   +N cpli 7630   .N cmi 7631   <N clti 7632   ~Q ceq 7636   Q.cnq 7637   +Q cplq 7639   <Q cltq 7642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708  df-ltnqqs 7710

This theorem is referenced by:  ltexnqi  7766  addlocpr  7893  ltexprlemopl  7958  ltexprlemopu  7960  ltexprlemrl  7967  ltexprlemru  7969  cauappcvgprlemopl  8003  caucvgprlemopl  8026  caucvgprprlemopl  8054