Theorem ltexnqq 7470

Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltexnqq	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ltexnqq

Dummy variables f g h y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7410	. . 3 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 4033	. . . 4 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( [ <. y , z >. ] ~Q <Q [ <. w , v >. ] ~Q <-> A <Q [ <. w , v >. ] ~Q ) )
3		oveq1 5926	. . . . . 6 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = ( A +Q x ) )
4	3	eqeq1d 2202	. . . . 5 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
5	4	rexbidv 2495	. . . 4 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> E. x e. Q. ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
6	2, 5	imbi12d 234	. . 3 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q <Q [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) <-> ( A <Q [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) ) )
7		breq2 4034	. . . 4 |- ( [ <. w , v >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. w , v >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
8		eqeq2 2203	. . . . 5 |- ( [ <. w , v >. ] ~Q = B -> ( ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( A +Q x ) = B ) )
9	8	rexbidv 2495	. . . 4 |- ( [ <. w , v >. ] ~Q = B -> ( E. x e. Q. ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )
10	7, 9	imbi12d 234	. . 3 |- ( [ <. w , v >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) <-> ( A <Q B -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) ) )
11		ordpipqqs 7436	. . . 4 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q <Q [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( y .N v ) <N ( z .N w ) ) )
12		mulclpi 7390	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. N. /\ v e. N. ) -> ( y .N v ) e. N. )
13		mulclpi 7390	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z .N w ) e. N. )
14	12, 13	anim12i 338	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. N. /\ v e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) e. N. /\ ( z .N w ) e. N. ) )
15	14	an42s 589	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) e. N. /\ ( z .N w ) e. N. ) )
16		ltexpi 7399	. . . . . . 7 |- ( ( ( y .N v ) e. N. /\ ( z .N w ) e. N. ) -> ( ( y .N v ) <N ( z .N w ) <-> E. u e. N. ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) <N ( z .N w ) <-> E. u e. N. ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
18		df-rex 2478	. . . . . 6 |- ( E. u e. N. ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) <-> E. u ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
19	17, 18	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) <N ( z .N w ) <-> E. u ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) )
20		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( y e. N. /\ z e. N. ) )
21		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> u e. N. )
22		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> z e. N. )
23		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> v e. N. )
24	22, 23	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z e. N. /\ v e. N. ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( z e. N. /\ v e. N. ) )
26		mulclpi 7390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
28	20, 21, 27	jca32 310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) ) )
29	28	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) ) )
30		addpipqqs 7432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q )
32		simplll 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> y e. N. )
33		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> z e. N. )
34		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> v e. N. )
35		mulcompig 7393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
36	35	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
37		mulasspig 7394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
38	37	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
39	32, 33, 34, 36, 38	caov12d 6102	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( y .N ( z .N v ) ) = ( z .N ( y .N v ) ) )
40	39	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) = ( ( z .N ( y .N v ) ) +N ( z .N u ) ) )
41	32, 34, 12	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( y .N v ) e. N. )
42		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> u e. N. )
43		distrpig 7395	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. N. /\ ( y .N v ) e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) = ( ( z .N ( y .N v ) ) +N ( z .N u ) ) )
44	33, 41, 42, 43	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) = ( ( z .N ( y .N v ) ) +N ( z .N u ) ) )
45	40, 44	eqtr4d 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) = ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) )
46	45	opeq1d 3811	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. = <. ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. )
47	46	eceq1d 6625	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q = [ <. ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q )
48		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> z e. N. )
49	12	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( y .N v ) e. N. )
50		addclpi 7389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y .N v ) e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N v ) +N u ) e. N. )
51	49, 50	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( ( y .N v ) +N u ) e. N. )
52	48, 51, 27	3jca 1179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( z e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) )
53	52	adantrr 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( z e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) )
54		mulcanenqec 7448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) -> [ <. ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q = [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q = [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q )
56	47, 55	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q = [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q )
57		3anass 984	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) <-> ( z e. N. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) )
58	57	biimpri 133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) )
59	58	adantll 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) )
60	59	anim1i 340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) -> ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
61	60	adantrl 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
62		opeq1 3805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) -> <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. = <. ( z .N w ) , ( z .N v ) >. )
63	62	eceq1d 6625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) -> [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q = [ <. ( z .N w ) , ( z .N v ) >. ] ~Q )
64		mulcanenqec 7448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) -> [ <. ( z .N w ) , ( z .N v ) >. ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
65	63, 64	sylan9eqr 2248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) -> [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
66	61, 65	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
67	31, 56, 66	3eqtrd 2230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. w , v >. ] ~Q )
68	33, 34, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( z .N v ) e. N. )
69		opelxpi 4692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) -> <. u , ( z .N v ) >. e. ( N. X. N. ) )
70		enqex 7422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~Q e. _V
71	70	ecelqsi 6645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. u , ( z .N v ) >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
72	69, 71	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) -> [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
73	42, 68, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
74	73, 1	eleqtrrdi 2287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q e. Q. )
75		oveq2 5927	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) )
76	75	eqeq1d 2202	. . . . . . . . . 10 |- ( x = [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
77	76	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) /\ x = [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
78	74, 77	rspcedv 2869	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
79	67, 78	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q )
80	79	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
81	80	exlimdv 1830	. . . . 5 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( E. u ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
82	19, 81	sylbid 150	. . . 4 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) <N ( z .N w ) -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
83	11, 82	sylbid 150	. . 3 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q <Q [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
84	1, 6, 10, 83	2ecoptocl 6679	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )
85		ltaddnq 7469	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ x e. Q. ) -> A <Q ( A +Q x ) )
86		breq2 4034	. . . . 5 |- ( ( A +Q x ) = B -> ( A <Q ( A +Q x ) <-> A <Q B ) )
87	85, 86	syl5ibcom 155	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( A +Q x ) = B -> A <Q B ) )
88	87	rexlimdva 2611	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( E. x e. Q. ( A +Q x ) = B -> A <Q B ) )
89	88	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( E. x e. Q. ( A +Q x ) = B -> A <Q B ) )
90	84, 89	impbid 129	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   E.wrex 2473   <.cop 3622   class class class wbr 4030   X. cxp 4658  (class class class)co 5919   [cec 6587   /.cqs 6588   N.cnpi 7334   +N cpli 7335   .N cmi 7336   <N clti 7337   ~Q ceq 7341   Q.cnq 7342   +Q cplq 7344   <Q cltq 7347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-pli 7367  df-mi 7368  df-lti 7369  df-plpq 7406  df-mpq 7407  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-plqqs 7411  df-mqqs 7412  df-1nqqs 7413  df-ltnqqs 7415

This theorem is referenced by:  ltexnqi  7471  addlocpr  7598  ltexprlemopl  7663  ltexprlemopu  7665  ltexprlemrl  7672  ltexprlemru  7674  cauappcvgprlemopl  7708  caucvgprlemopl  7731  caucvgprprlemopl  7759