ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltexnqq Unicode version

Theorem ltexnqq 6946
Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltexnqq  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem ltexnqq
Dummy variables  f  g  h  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6886 . . 3  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 breq1 3840 . . . 4  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  <Q  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  <->  A  <Q  [
<. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
3 oveq1 5641 . . . . . 6  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  ( A  +Q  x ) )
43eqeq1d 2096 . . . . 5  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  ( A  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
54rexbidv 2381 . . . 4  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( E. x  e. 
Q.  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x
)  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
62, 5imbi12d 232 . . 3  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  <Q  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  )  <->  ( A  <Q  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) ) )
7 breq2 3841 . . . 4  |-  ( [
<. w ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( A  <Q  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  A 
<Q  B ) )
8 eqeq2 2097 . . . . 5  |-  ( [
<. w ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( ( A  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  ( A  +Q  x )  =  B ) )
98rexbidv 2381 . . . 4  |-  ( [
<. w ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( E. x  e. 
Q.  ( A  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x
)  =  B ) )
107, 9imbi12d 232 . . 3  |-  ( [
<. w ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( ( A  <Q  [
<. w ,  v >. ]  ~Q  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  )  <->  ( A  <Q  B  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  B ) ) )
11 ordpipqqs 6912 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  <Q  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  ( y  .N  v ) 
<N  ( z  .N  w
) ) )
12 mulclpi 6866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( y  .N  v
)  e.  N. )
13 mulclpi 6866 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  .N  w
)  e.  N. )
1412, 13anim12i 331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  v )  e.  N.  /\  (
z  .N  w )  e.  N. ) )
1514an42s 556 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  v )  e.  N.  /\  (
z  .N  w )  e.  N. ) )
16 ltexpi 6875 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  .N  v
)  e.  N.  /\  ( z  .N  w
)  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  v )  <N  (
z  .N  w )  <->  E. u  e.  N.  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) ) )
1715, 16syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  v ) 
<N  ( z  .N  w
)  <->  E. u  e.  N.  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) ) )
18 df-rex 2365 . . . . . 6  |-  ( E. u  e.  N.  (
( y  .N  v
)  +N  u )  =  ( z  .N  w )  <->  E. u
( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) ) )
1917, 18syl6bb 194 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  v ) 
<N  ( z  .N  w
)  <->  E. u ( u  e.  N.  /\  (
( y  .N  v
)  +N  u )  =  ( z  .N  w ) ) ) )
20 simpll 496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. ) )
21 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  u  e. 
N. )
22 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  z  e.  N. )
23 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  v  e.  N. )
2422, 23anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  e.  N.  /\  v  e. 
N. ) )
2524adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. ) )
26 mulclpi 6866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( z  .N  v
)  e.  N. )
2725, 26syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  v )  e. 
N. )
2820, 21, 27jca32 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )
) )
2928adantrr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
u  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )
) )
30 addpipqqs 6908 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )
)  ->  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( y  .N  (
z  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u ) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v
) ) >. ]  ~Q  )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  )  =  [ <. ( ( y  .N  ( z  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. ]  ~Q  )
32 simplll 500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
y  e.  N. )
33 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
z  e.  N. )
34 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
v  e.  N. )
35 mulcompig 6869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )  ->  ( f  .N  g
)  =  ( g  .N  f ) )
3635adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e.  N. )
)  ->  ( f  .N  g )  =  ( g  .N  f ) )
37 mulasspig 6870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )  ->  (
( f  .N  g
)  .N  h )  =  ( f  .N  ( g  .N  h
) ) )
3837adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  /\  ( f  e.  N.  /\  g  e.  N.  /\  h  e.  N. )
)  ->  ( (
f  .N  g )  .N  h )  =  ( f  .N  (
g  .N  h ) ) )
3932, 33, 34, 36, 38caov12d 5808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( y  .N  (
z  .N  v ) )  =  ( z  .N  ( y  .N  v ) ) )
4039oveq1d 5649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( ( y  .N  ( z  .N  v
) )  +N  (
z  .N  u ) )  =  ( ( z  .N  ( y  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u ) ) )
4132, 34, 12syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( y  .N  v
)  e.  N. )
42 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  u  e.  N. )
43 distrpig 6871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( y  .N  v
)  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  .N  (
( y  .N  v
)  +N  u ) )  =  ( ( z  .N  ( y  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u ) ) )
4433, 41, 42, 43syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( z  .N  (
( y  .N  v
)  +N  u ) )  =  ( ( z  .N  ( y  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u ) ) )
4540, 44eqtr4d 2123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( ( y  .N  ( z  .N  v
) )  +N  (
z  .N  u ) )  =  ( z  .N  ( ( y  .N  v )  +N  u ) ) )
4645opeq1d 3623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  <. ( ( y  .N  ( z  .N  v
) )  +N  (
z  .N  u ) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) ) >.  =  <. ( z  .N  ( ( y  .N  v )  +N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. )
4746eceq1d 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. ( ( y  .N  ( z  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( z  .N  (
( y  .N  v
)  +N  u ) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) ) >. ]  ~Q  )
48 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  z  e. 
N. )
4912ad2ant2rl 495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( y  .N  v )  e.  N. )
50 addclpi 6865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  .N  v
)  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  e.  N. )
5149, 50sylan 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( ( y  .N  v )  +N  u )  e. 
N. )
5248, 51, 273jca 1123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  u  e.  N. )  ->  ( z  e.  N.  /\  (
( y  .N  v
)  +N  u )  e.  N.  /\  (
z  .N  v )  e.  N. ) )
5352adantrr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( z  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )
)
54 mulcanenqec 6924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )  ->  [ <. ( z  .N  ( ( y  .N  v )  +N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( ( y  .N  v )  +N  u
) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )
5553, 54syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. ( z  .N  ( ( y  .N  v )  +N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( ( y  .N  v )  +N  u
) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )
5647, 55eqtrd 2120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. ( ( y  .N  ( z  .N  v ) )  +N  ( z  .N  u
) ) ,  ( z  .N  ( z  .N  v ) )
>. ]  ~Q  =  [ <. ( ( y  .N  v )  +N  u
) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )
57 3anass 928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  <->  ( z  e.  N.  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. ) ) )
5857biimpri 131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  N.  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  e.  N.  /\  w  e. 
N.  /\  v  e.  N. ) )
5958adantll 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  e.  N.  /\  w  e. 
N.  /\  v  e.  N. ) )
6059anim1i 333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( (
y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) )  ->  (
( z  e.  N.  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) ) )
6160adantrl 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w ) ) )
62 opeq1 3617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  .N  v
)  +N  u )  =  ( z  .N  w )  ->  <. (
( y  .N  v
)  +N  u ) ,  ( z  .N  v ) >.  =  <. ( z  .N  w ) ,  ( z  .N  v ) >. )
6362eceq1d 6308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  .N  v
)  +N  u )  =  ( z  .N  w )  ->  [ <. ( ( y  .N  v
)  +N  u ) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  =  [ <. ( z  .N  w ) ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  )
64 mulcanenqec 6924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  [ <. ( z  .N  w ) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  )
6563, 64sylan9eqr 2142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) )  ->  [ <. (
( y  .N  v
)  +N  u ) ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  )
6661, 65syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. ( ( y  .N  v )  +N  u ) ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  )
6731, 56, 663eqtrd 2124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  )  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  )
6833, 34, 26syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( z  .N  v
)  e.  N. )
69 opelxpi 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )  -> 
<. u ,  ( z  .N  v ) >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
70 enqex 6898 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~Q  e.  _V
7170ecelqsi 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
u ,  ( z  .N  v ) >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
7269, 71syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  N.  /\  ( z  .N  v
)  e.  N. )  ->  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
7342, 68, 72syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
7473, 1syl6eleqr 2181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  e.  Q. )
75 oveq2 5642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  ->  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  ( [ <. y ,  z
>. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  ) )
7675eqeq1d 2096 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  ->  ( ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  )  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ) )
7776adantl 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  /\  x  =  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )  ->  ( ( [
<. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  <->  ( [ <. y ,  z
>. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v ) >. ]  ~Q  )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
7874, 77rspcedv 2726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  -> 
( ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  [ <. u ,  ( z  .N  v )
>. ]  ~Q  )  =  [ <. w ,  v
>. ]  ~Q  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
7967, 78mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
N.  /\  z  e.  N. )  /\  (
w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  /\  ( u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) ) )  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z
>. ]  ~Q  +Q  x
)  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  )
8079ex 113 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
u  e.  N.  /\  ( ( y  .N  v )  +N  u
)  =  ( z  .N  w ) )  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z
>. ]  ~Q  +Q  x
)  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
8180exlimdv 1747 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( E. u ( u  e. 
N.  /\  ( (
y  .N  v )  +N  u )  =  ( z  .N  w
) )  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
8219, 81sylbid 148 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
y  .N  v ) 
<N  ( z  .N  w
)  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  +Q  x )  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
8311, 82sylbid 148 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  /\  ( w  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. y ,  z >. ]  ~Q  <Q  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ->  E. x  e.  Q.  ( [ <. y ,  z
>. ]  ~Q  +Q  x
)  =  [ <. w ,  v >. ]  ~Q  ) )
841, 6, 10, 832ecoptocl 6360 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  ->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x
)  =  B ) )
85 ltaddnq 6945 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  A  <Q  ( A  +Q  x ) )
86 breq2 3841 . . . . 5  |-  ( ( A  +Q  x )  =  B  ->  ( A  <Q  ( A  +Q  x )  <->  A  <Q  B ) )
8785, 86syl5ibcom 153 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( ( A  +Q  x )  =  B  ->  A  <Q  B ) )
8887rexlimdva 2489 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x
)  =  B  ->  A  <Q  B ) )
8988adantr 270 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( E. x  e. 
Q.  ( A  +Q  x )  =  B  ->  A  <Q  B ) )
9084, 89impbid 127 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  E. x  e.  Q.  ( A  +Q  x )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   E.wrex 2360   <.cop 3444   class class class wbr 3837    X. cxp 4426  (class class class)co 5634   [cec 6270   /.cqs 6271   N.cnpi 6810    +N cpli 6811    .N cmi 6812    <N clti 6813    ~Q ceq 6817   Q.cnq 6818    +Q cplq 6820    <Q cltq 6823
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-ltnqqs 6891
This theorem is referenced by:  ltexnqi  6947  addlocpr  7074  ltexprlemopl  7139  ltexprlemopu  7141  ltexprlemrl  7148  ltexprlemru  7150  cauappcvgprlemopl  7184  caucvgprlemopl  7207  caucvgprprlemopl  7235
  Copyright terms: Public domain W3C validator