Theorem ltexnqq 7349

Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltexnqq	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ltexnqq

Dummy variables f g h y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7289	. . 3 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 3985	. . . 4 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( [ <. y , z >. ] ~Q <Q [ <. w , v >. ] ~Q <-> A <Q [ <. w , v >. ] ~Q ) )
3		oveq1 5849	. . . . . 6 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = ( A +Q x ) )
4	3	eqeq1d 2174	. . . . 5 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
5	4	rexbidv 2467	. . . 4 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> E. x e. Q. ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
6	2, 5	imbi12d 233	. . 3 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q <Q [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) <-> ( A <Q [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) ) )
7		breq2 3986	. . . 4 |- ( [ <. w , v >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. w , v >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
8		eqeq2 2175	. . . . 5 |- ( [ <. w , v >. ] ~Q = B -> ( ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( A +Q x ) = B ) )
9	8	rexbidv 2467	. . . 4 |- ( [ <. w , v >. ] ~Q = B -> ( E. x e. Q. ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )
10	7, 9	imbi12d 233	. . 3 |- ( [ <. w , v >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) <-> ( A <Q B -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) ) )
11		ordpipqqs 7315	. . . 4 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q <Q [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( y .N v ) <N ( z .N w ) ) )
12		mulclpi 7269	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. N. /\ v e. N. ) -> ( y .N v ) e. N. )
13		mulclpi 7269	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z .N w ) e. N. )
14	12, 13	anim12i 336	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. N. /\ v e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) e. N. /\ ( z .N w ) e. N. ) )
15	14	an42s 579	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) e. N. /\ ( z .N w ) e. N. ) )
16		ltexpi 7278	. . . . . . 7 |- ( ( ( y .N v ) e. N. /\ ( z .N w ) e. N. ) -> ( ( y .N v ) <N ( z .N w ) <-> E. u e. N. ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) <N ( z .N w ) <-> E. u e. N. ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
18		df-rex 2450	. . . . . 6 |- ( E. u e. N. ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) <-> E. u ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
19	17, 18	bitrdi 195	. . . . 5 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) <N ( z .N w ) <-> E. u ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) )
20		simpll 519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( y e. N. /\ z e. N. ) )
21		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> u e. N. )
22		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> z e. N. )
23		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> v e. N. )
24	22, 23	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z e. N. /\ v e. N. ) )
25	24	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( z e. N. /\ v e. N. ) )
26		mulclpi 7269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
28	20, 21, 27	jca32 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) ) )
29	28	adantrr 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) ) )
30		addpipqqs 7311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q )
32		simplll 523	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> y e. N. )
33		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> z e. N. )
34		simplrr 526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> v e. N. )
35		mulcompig 7272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
36	35	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
37		mulasspig 7273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
38	37	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
39	32, 33, 34, 36, 38	caov12d 6023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( y .N ( z .N v ) ) = ( z .N ( y .N v ) ) )
40	39	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) = ( ( z .N ( y .N v ) ) +N ( z .N u ) ) )
41	32, 34, 12	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( y .N v ) e. N. )
42		simprl 521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> u e. N. )
43		distrpig 7274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. N. /\ ( y .N v ) e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) = ( ( z .N ( y .N v ) ) +N ( z .N u ) ) )
44	33, 41, 42, 43	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) = ( ( z .N ( y .N v ) ) +N ( z .N u ) ) )
45	40, 44	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) = ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) )
46	45	opeq1d 3764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. = <. ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. )
47	46	eceq1d 6537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q = [ <. ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q )
48		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> z e. N. )
49	12	ad2ant2rl 503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( y .N v ) e. N. )
50		addclpi 7268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y .N v ) e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N v ) +N u ) e. N. )
51	49, 50	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( ( y .N v ) +N u ) e. N. )
52	48, 51, 27	3jca 1167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( z e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) )
53	52	adantrr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( z e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) )
54		mulcanenqec 7327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) -> [ <. ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q = [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q = [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q )
56	47, 55	eqtrd 2198	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q = [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q )
57		3anass 972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) <-> ( z e. N. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) )
58	57	biimpri 132	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) )
59	58	adantll 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) )
60	59	anim1i 338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) -> ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
61	60	adantrl 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
62		opeq1 3758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) -> <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. = <. ( z .N w ) , ( z .N v ) >. )
63	62	eceq1d 6537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) -> [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q = [ <. ( z .N w ) , ( z .N v ) >. ] ~Q )
64		mulcanenqec 7327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) -> [ <. ( z .N w ) , ( z .N v ) >. ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
65	63, 64	sylan9eqr 2221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) -> [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
66	61, 65	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
67	31, 56, 66	3eqtrd 2202	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. w , v >. ] ~Q )
68	33, 34, 26	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( z .N v ) e. N. )
69		opelxpi 4636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) -> <. u , ( z .N v ) >. e. ( N. X. N. ) )
70		enqex 7301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~Q e. _V
71	70	ecelqsi 6555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. u , ( z .N v ) >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
72	69, 71	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) -> [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
73	42, 68, 72	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
74	73, 1	eleqtrrdi 2260	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q e. Q. )
75		oveq2 5850	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) )
76	75	eqeq1d 2174	. . . . . . . . . 10 |- ( x = [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
77	76	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) /\ x = [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
78	74, 77	rspcedv 2834	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
79	67, 78	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q )
80	79	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
81	80	exlimdv 1807	. . . . 5 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( E. u ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
82	19, 81	sylbid 149	. . . 4 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) <N ( z .N w ) -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
83	11, 82	sylbid 149	. . 3 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q <Q [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
84	1, 6, 10, 83	2ecoptocl 6589	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )
85		ltaddnq 7348	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ x e. Q. ) -> A <Q ( A +Q x ) )
86		breq2 3986	. . . . 5 |- ( ( A +Q x ) = B -> ( A <Q ( A +Q x ) <-> A <Q B ) )
87	85, 86	syl5ibcom 154	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( A +Q x ) = B -> A <Q B ) )
88	87	rexlimdva 2583	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( E. x e. Q. ( A +Q x ) = B -> A <Q B ) )
89	88	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( E. x e. Q. ( A +Q x ) = B -> A <Q B ) )
90	84, 89	impbid 128	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   E.wrex 2445   <.cop 3579   class class class wbr 3982   X. cxp 4602  (class class class)co 5842   [cec 6499   /.cqs 6500   N.cnpi 7213   +N cpli 7214   .N cmi 7215   <N clti 7216   ~Q ceq 7220   Q.cnq 7221   +Q cplq 7223   <Q cltq 7226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-ltnqqs 7294

This theorem is referenced by:  ltexnqi  7350  addlocpr  7477  ltexprlemopl  7542  ltexprlemopu  7544  ltexprlemrl  7551  ltexprlemru  7553  cauappcvgprlemopl  7587  caucvgprlemopl  7610  caucvgprprlemopl  7638