Theorem mulclnq 7707

Description: Closure of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulclnq	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) e. Q. )

Proof of Theorem mulclnq

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7679	. . 3 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		oveq1 6065	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( A .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
3	2	eleq1d 2303	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> ( A .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) ) )
4		oveq2 6066	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( A .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( A .Q B ) )
5	4	eleq1d 2303	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( A .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> ( A .Q B ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) ) )
6		mulpipqqs 7704	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
7		mulclpi 7659	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) e. N. )
8		mulclpi 7659	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
9	7, 8	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ z e. N. ) /\ ( y e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
10	9	an4s 592	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
11		opelxpi 4786	. . . . 5 |- ( ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) -> <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. e. ( N. X. N. ) )
12		enqex 7691	. . . . . 6 |- ~Q e. _V
13	12	ecelqsi 6836	. . . . 5 |- ( <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
14	10, 11, 13	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
15	6, 14	eqeltrd 2311	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
16	1, 3, 5, 15	2ecoptocl 6870	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
17	16, 1	eleqtrrdi 2328	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   <.cop 3697   X. cxp 4752  (class class class)co 6058   [cec 6778   /.cqs 6779   N.cnpi 7603   .N cmi 7605   ~Q ceq 7610   Q.cnq 7611   .Q cmq 7614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-mi 7637  df-mpq 7676  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-mqqs 7681

This theorem is referenced by:  halfnqq  7741  prarloclemarch  7749  prarloclemarch2  7750  ltrnqg  7751  prarloclemlt  7824  prarloclemlo  7825  prarloclemcalc  7833  addnqprllem  7858  addnqprulem  7859  addnqprl  7860  addnqpru  7861  mpvlu  7870  dmmp  7872  appdivnq  7894  prmuloclemcalc  7896  prmuloc  7897  mulnqprl  7899  mulnqpru  7900  mullocprlem  7901  mullocpr  7902  mulclpr  7903  mulnqprlemrl  7904  mulnqprlemru  7905  mulnqprlemfl  7906  mulnqprlemfu  7907  mulnqpr  7908  mulassprg  7912  distrlem1prl  7913  distrlem1pru  7914  distrlem4prl  7915  distrlem4pru  7916  distrlem5prl  7917  distrlem5pru  7918  1idprl  7921  1idpru  7922  recexprlem1ssl  7964  recexprlem1ssu  7965  recexprlemss1l  7966  recexprlemss1u  7967