Theorem mulclnq 7691

Description: Closure of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulclnq	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) e. Q. )

Proof of Theorem mulclnq

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7663	. . 3 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		oveq1 6057	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( A .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
3	2	eleq1d 2301	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> ( A .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) ) )
4		oveq2 6058	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( A .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( A .Q B ) )
5	4	eleq1d 2301	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( A .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> ( A .Q B ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) ) )
6		mulpipqqs 7688	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
7		mulclpi 7643	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) e. N. )
8		mulclpi 7643	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
9	7, 8	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ z e. N. ) /\ ( y e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
10	9	an4s 592	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
11		opelxpi 4781	. . . . 5 |- ( ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) -> <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. e. ( N. X. N. ) )
12		enqex 7675	. . . . . 6 |- ~Q e. _V
13	12	ecelqsi 6823	. . . . 5 |- ( <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
14	10, 11, 13	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
15	6, 14	eqeltrd 2309	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
16	1, 3, 5, 15	2ecoptocl 6857	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
17	16, 1	eleqtrrdi 2326	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   <.cop 3692   X. cxp 4747  (class class class)co 6050   [cec 6765   /.cqs 6766   N.cnpi 7587   .N cmi 7589   ~Q ceq 7594   Q.cnq 7595   .Q cmq 7598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-mi 7621  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-mqqs 7665

This theorem is referenced by:  halfnqq  7725  prarloclemarch  7733  prarloclemarch2  7734  ltrnqg  7735  prarloclemlt  7808  prarloclemlo  7809  prarloclemcalc  7817  addnqprllem  7842  addnqprulem  7843  addnqprl  7844  addnqpru  7845  mpvlu  7854  dmmp  7856  appdivnq  7878  prmuloclemcalc  7880  prmuloc  7881  mulnqprl  7883  mulnqpru  7884  mullocprlem  7885  mullocpr  7886  mulclpr  7887  mulnqprlemrl  7888  mulnqprlemru  7889  mulnqprlemfl  7890  mulnqprlemfu  7891  mulnqpr  7892  mulassprg  7896  distrlem1prl  7897  distrlem1pru  7898  distrlem4prl  7899  distrlem4pru  7900  distrlem5prl  7901  distrlem5pru  7902  1idprl  7905  1idpru  7906  recexprlem1ssl  7948  recexprlem1ssu  7949  recexprlemss1l  7950  recexprlemss1u  7951