Theorem mulclnq 7574

Description: Closure of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulclnq	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) e. Q. )

Proof of Theorem mulclnq

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7546	. . 3 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		oveq1 6014	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( A .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
3	2	eleq1d 2298	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> ( A .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) ) )
4		oveq2 6015	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( A .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( A .Q B ) )
5	4	eleq1d 2298	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( A .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) <-> ( A .Q B ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) ) )
6		mulpipqqs 7571	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
7		mulclpi 7526	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) e. N. )
8		mulclpi 7526	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
9	7, 8	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ z e. N. ) /\ ( y e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
10	9	an4s 590	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
11		opelxpi 4751	. . . . 5 |- ( ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) -> <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. e. ( N. X. N. ) )
12		enqex 7558	. . . . . 6 |- ~Q e. _V
13	12	ecelqsi 6744	. . . . 5 |- ( <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
14	10, 11, 13	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
15	6, 14	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
16	1, 3, 5, 15	2ecoptocl 6778	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
17	16, 1	eleqtrrdi 2323	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A .Q B ) e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669   X. cxp 4717  (class class class)co 6007   [cec 6686   /.cqs 6687   N.cnpi 7470   .N cmi 7472   ~Q ceq 7477   Q.cnq 7478   .Q cmq 7481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7502  df-mi 7504  df-mpq 7543  df-enq 7545  df-nqqs 7546  df-mqqs 7548

This theorem is referenced by:  halfnqq  7608  prarloclemarch  7616  prarloclemarch2  7617  ltrnqg  7618  prarloclemlt  7691  prarloclemlo  7692  prarloclemcalc  7700  addnqprllem  7725  addnqprulem  7726  addnqprl  7727  addnqpru  7728  mpvlu  7737  dmmp  7739  appdivnq  7761  prmuloclemcalc  7763  prmuloc  7764  mulnqprl  7766  mulnqpru  7767  mullocprlem  7768  mullocpr  7769  mulclpr  7770  mulnqprlemrl  7771  mulnqprlemru  7772  mulnqprlemfl  7773  mulnqprlemfu  7774  mulnqpr  7775  mulassprg  7779  distrlem1prl  7780  distrlem1pru  7781  distrlem4prl  7782  distrlem4pru  7783  distrlem5prl  7784  distrlem5pru  7785  1idprl  7788  1idpru  7789  recexprlem1ssl  7831  recexprlem1ssu  7832  recexprlemss1l  7833  recexprlemss1u  7834