Theorem addclsr 7673

Description: Closure of addition on signed reals. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclsr	|- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A +R B ) e. R. )

Proof of Theorem addclsr

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7647	. . 3 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		oveq1 5831	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. z , w >. ] ~R ) = ( A +R [ <. z , w >. ] ~R ) )
3	2	eleq1d 2226	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) <-> ( A +R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) )
4		oveq2 5832	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~R = B -> ( A +R [ <. z , w >. ] ~R ) = ( A +R B ) )
5	4	eleq1d 2226	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~R = B -> ( ( A +R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) <-> ( A +R B ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) )
6		addsrpr 7665	. . . 4 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. z , w >. ] ~R ) = [ <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. ] ~R )
7		addclpr 7457	. . . . . . 7 |- ( ( x e. P. /\ z e. P. ) -> ( x +P. z ) e. P. )
8		addclpr 7457	. . . . . . 7 |- ( ( y e. P. /\ w e. P. ) -> ( y +P. w ) e. P. )
9	7, 8	anim12i 336	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ z e. P. ) /\ ( y e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x +P. z ) e. P. /\ ( y +P. w ) e. P. ) )
10	9	an4s 578	. . . . 5 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x +P. z ) e. P. /\ ( y +P. w ) e. P. ) )
11		opelxpi 4618	. . . . 5 |- ( ( ( x +P. z ) e. P. /\ ( y +P. w ) e. P. ) -> <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. e. ( P. X. P. ) )
12		enrex 7657	. . . . . 6 |- ~R e. _V
13	12	ecelqsi 6534	. . . . 5 |- ( <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
14	10, 11, 13	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> [ <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
15	6, 14	eqeltrd 2234	. . 3 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
16	1, 3, 5, 15	2ecoptocl 6568	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A +R B ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
17	16, 1	eleqtrrdi 2251	1 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A +R B ) e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   <.cop 3563   X. cxp 4584  (class class class)co 5824   [cec 6478   /.cqs 6479   P.cnp 7211   +P. cpp 7213   ~R cer 7216   R.cnr 7217   +R cplr 7221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4249  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-1o 6363  df-2o 6364  df-oadd 6367  df-omul 6368  df-er 6480  df-ec 6482  df-qs 6486  df-ni 7224  df-pli 7225  df-mi 7226  df-lti 7227  df-plpq 7264  df-mpq 7265  df-enq 7267  df-nqqs 7268  df-plqqs 7269  df-mqqs 7270  df-1nqqs 7271  df-rq 7272  df-ltnqqs 7273  df-enq0 7344  df-nq0 7345  df-0nq0 7346  df-plq0 7347  df-mq0 7348  df-inp 7386  df-iplp 7388  df-enr 7646  df-nr 7647  df-plr 7648

This theorem is referenced by:  ltm1sr  7697  caucvgsrlemoffval  7716  caucvgsrlemofff  7717  caucvgsrlemoffcau  7718  caucvgsrlemoffres  7720  caucvgsr  7722  map2psrprg  7725  suplocsrlemb  7726  suplocsrlem  7728  addcnsr  7754  mulcnsr  7755  addcnsrec  7762  mulcnsrec  7763  axaddcl  7784  axaddrcl  7785  axmulcl  7786  axaddass  7792  axmulass  7793  axdistr  7794