ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addclsr Unicode version

Theorem addclsr 7297
Description: Closure of addition on signed reals. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.)
Assertion
Ref Expression
addclsr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  e.  R. )

Proof of Theorem addclsr
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7271 . . 3  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 oveq1 5659 . . . 4  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  A  -> 
( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  ( A  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  ) )
32eleq1d 2156 . . 3  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  A  -> 
( ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  <->  ( A  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) ) )
4 oveq2 5660 . . . 4  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~R  =  B  -> 
( A  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  ( A  +R  B ) )
54eleq1d 2156 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~R  =  B  -> 
( ( A  +R  [
<. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  <->  ( A  +R  B )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) ) )
6 addsrpr 7289 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  [ <. (
x  +P.  z ) ,  ( y  +P.  w ) >. ]  ~R  )
7 addclpr 7094 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( x  +P.  z
)  e.  P. )
8 addclpr 7094 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( y  +P.  w
)  e.  P. )
97, 8anim12i 331 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  /\  ( y  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  +P.  z )  e.  P.  /\  ( y  +P.  w )  e. 
P. ) )
109an4s 555 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( (
x  +P.  z )  e.  P.  /\  ( y  +P.  w )  e. 
P. ) )
11 opelxpi 4469 . . . . 5  |-  ( ( ( x  +P.  z
)  e.  P.  /\  ( y  +P.  w
)  e.  P. )  -> 
<. ( x  +P.  z
) ,  ( y  +P.  w ) >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
12 enrex 7281 . . . . . 6  |-  ~R  e.  _V
1312ecelqsi 6344 . . . . 5  |-  ( <.
( x  +P.  z
) ,  ( y  +P.  w ) >.  e.  ( P.  X.  P. )  ->  [ <. (
x  +P.  z ) ,  ( y  +P.  w ) >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
1410, 11, 133syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  [ <. (
x  +P.  z ) ,  ( y  +P.  w ) >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
156, 14eqeltrd 2164 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
161, 3, 5, 152ecoptocl 6378 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )
1716, 1syl6eleqr 2181 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  e.  R. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   <.cop 3449    X. cxp 4436  (class class class)co 5652   [cec 6288   /.cqs 6289   P.cnp 6848    +P. cpp 6850    ~R cer 6853   R.cnr 6854    +R cplr 6858
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-2o 6182  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6290  df-ec 6292  df-qs 6296  df-ni 6861  df-pli 6862  df-mi 6863  df-lti 6864  df-plpq 6901  df-mpq 6902  df-enq 6904  df-nqqs 6905  df-plqqs 6906  df-mqqs 6907  df-1nqqs 6908  df-rq 6909  df-ltnqqs 6910  df-enq0 6981  df-nq0 6982  df-0nq0 6983  df-plq0 6984  df-mq0 6985  df-inp 7023  df-iplp 7025  df-enr 7270  df-nr 7271  df-plr 7272
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  7339  caucvgsrlemofff  7340  caucvgsrlemoffcau  7341  caucvgsrlemoffres  7343  caucvgsr  7345  addcnsr  7369  mulcnsr  7370  addcnsrec  7377  mulcnsrec  7378  axaddcl  7399  axaddrcl  7400  axmulcl  7401  axaddass  7405  axmulass  7406  axdistr  7407
  Copyright terms: Public domain W3C validator