Theorem addclsr 8033

Description: Closure of addition on signed reals. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclsr	|- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A +R B ) e. R. )

Proof of Theorem addclsr

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 8007	. . 3 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		oveq1 6035	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. z , w >. ] ~R ) = ( A +R [ <. z , w >. ] ~R ) )
3	2	eleq1d 2300	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) <-> ( A +R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) )
4		oveq2 6036	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~R = B -> ( A +R [ <. z , w >. ] ~R ) = ( A +R B ) )
5	4	eleq1d 2300	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~R = B -> ( ( A +R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) <-> ( A +R B ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) )
6		addsrpr 8025	. . . 4 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. z , w >. ] ~R ) = [ <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. ] ~R )
7		addclpr 7817	. . . . . . 7 |- ( ( x e. P. /\ z e. P. ) -> ( x +P. z ) e. P. )
8		addclpr 7817	. . . . . . 7 |- ( ( y e. P. /\ w e. P. ) -> ( y +P. w ) e. P. )
9	7, 8	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ z e. P. ) /\ ( y e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x +P. z ) e. P. /\ ( y +P. w ) e. P. ) )
10	9	an4s 592	. . . . 5 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x +P. z ) e. P. /\ ( y +P. w ) e. P. ) )
11		opelxpi 4763	. . . . 5 |- ( ( ( x +P. z ) e. P. /\ ( y +P. w ) e. P. ) -> <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. e. ( P. X. P. ) )
12		enrex 8017	. . . . . 6 |- ~R e. _V
13	12	ecelqsi 6801	. . . . 5 |- ( <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
14	10, 11, 13	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> [ <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
15	6, 14	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
16	1, 3, 5, 15	2ecoptocl 6835	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A +R B ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
17	16, 1	eleqtrrdi 2325	1 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A +R B ) e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   <.cop 3676   X. cxp 4729  (class class class)co 6028   [cec 6743   /.cqs 6744   P.cnp 7571   +P. cpp 7573   ~R cer 7576   R.cnr 7577   +R cplr 7581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7584  df-pli 7585  df-mi 7586  df-lti 7587  df-plpq 7624  df-mpq 7625  df-enq 7627  df-nqqs 7628  df-plqqs 7629  df-mqqs 7630  df-1nqqs 7631  df-rq 7632  df-ltnqqs 7633  df-enq0 7704  df-nq0 7705  df-0nq0 7706  df-plq0 7707  df-mq0 7708  df-inp 7746  df-iplp 7748  df-enr 8006  df-nr 8007  df-plr 8008

This theorem is referenced by:  ltm1sr  8057  caucvgsrlemoffval  8076  caucvgsrlemofff  8077  caucvgsrlemoffcau  8078  caucvgsrlemoffres  8080  caucvgsr  8082  map2psrprg  8085  suplocsrlemb  8086  suplocsrlem  8088  addcnsr  8114  mulcnsr  8115  addcnsrec  8122  mulcnsrec  8123  axaddcl  8144  axaddrcl  8145  axmulcl  8146  axaddass  8152  axmulass  8153  axdistr  8154