Theorem addclsr 7975

Description: Closure of addition on signed reals. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclsr	|- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A +R B ) e. R. )

Proof of Theorem addclsr

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7949	. . 3 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		oveq1 6027	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. z , w >. ] ~R ) = ( A +R [ <. z , w >. ] ~R ) )
3	2	eleq1d 2299	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) <-> ( A +R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) )
4		oveq2 6028	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~R = B -> ( A +R [ <. z , w >. ] ~R ) = ( A +R B ) )
5	4	eleq1d 2299	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~R = B -> ( ( A +R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) <-> ( A +R B ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) )
6		addsrpr 7967	. . . 4 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. z , w >. ] ~R ) = [ <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. ] ~R )
7		addclpr 7759	. . . . . . 7 |- ( ( x e. P. /\ z e. P. ) -> ( x +P. z ) e. P. )
8		addclpr 7759	. . . . . . 7 |- ( ( y e. P. /\ w e. P. ) -> ( y +P. w ) e. P. )
9	7, 8	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. P. /\ z e. P. ) /\ ( y e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x +P. z ) e. P. /\ ( y +P. w ) e. P. ) )
10	9	an4s 592	. . . . 5 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( ( x +P. z ) e. P. /\ ( y +P. w ) e. P. ) )
11		opelxpi 4756	. . . . 5 |- ( ( ( x +P. z ) e. P. /\ ( y +P. w ) e. P. ) -> <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. e. ( P. X. P. ) )
12		enrex 7959	. . . . . 6 |- ~R e. _V
13	12	ecelqsi 6760	. . . . 5 |- ( <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. e. ( P. X. P. ) -> [ <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
14	10, 11, 13	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> [ <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
15	6, 14	eqeltrd 2307	. . 3 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. z , w >. ] ~R ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
16	1, 3, 5, 15	2ecoptocl 6794	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A +R B ) e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
17	16, 1	eleqtrrdi 2324	1 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A +R B ) e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2201   <.cop 3671   X. cxp 4722  (class class class)co 6020   [cec 6702   /.cqs 6703   P.cnp 7513   +P. cpp 7515   ~R cer 7518   R.cnr 7519   +R cplr 7523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-tr 4187  df-eprel 4385  df-id 4389  df-po 4392  df-iso 4393  df-iord 4462  df-on 4464  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-recs 6473  df-irdg 6538  df-1o 6584  df-2o 6585  df-oadd 6588  df-omul 6589  df-er 6704  df-ec 6706  df-qs 6710  df-ni 7526  df-pli 7527  df-mi 7528  df-lti 7529  df-plpq 7566  df-mpq 7567  df-enq 7569  df-nqqs 7570  df-plqqs 7571  df-mqqs 7572  df-1nqqs 7573  df-rq 7574  df-ltnqqs 7575  df-enq0 7646  df-nq0 7647  df-0nq0 7648  df-plq0 7649  df-mq0 7650  df-inp 7688  df-iplp 7690  df-enr 7948  df-nr 7949  df-plr 7950

This theorem is referenced by:  ltm1sr  7999  caucvgsrlemoffval  8018  caucvgsrlemofff  8019  caucvgsrlemoffcau  8020  caucvgsrlemoffres  8022  caucvgsr  8024  map2psrprg  8027  suplocsrlemb  8028  suplocsrlem  8030  addcnsr  8056  mulcnsr  8057  addcnsrec  8064  mulcnsrec  8065  axaddcl  8086  axaddrcl  8087  axmulcl  8088  axaddass  8094  axmulass  8095  axdistr  8096