Theorem 2times 8841

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	|- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 8772	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
2	1	oveq1i 5777	. 2 |- ( 2 x. A ) = ( ( 1 + 1 ) x. A )
3		1p1times 7889	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( 1 + 1 ) x. A ) = ( A + A ) )
4	2, 3	syl5eq 2182	1 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5767   CCcc 7611   1c1 7614   + caddc 7616   x. cmul 7618   2c2 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-mulcl 7711  ax-mulcom 7714  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-1rid 7720  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770  df-2 8772

This theorem is referenced by:  times2  8842  2timesi  8843  2halves  8942  halfaddsub  8947  avglt2  8952  2timesd  8955  expubnd  10343  subsq2  10393  sinmul  11440  sin2t  11445  cos2t  11446