Theorem 2times 9110

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	|- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 9041	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
2	1	oveq1i 5928	. 2 |- ( 2 x. A ) = ( ( 1 + 1 ) x. A )
3		1p1times 8153	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( 1 + 1 ) x. A ) = ( A + A ) )
4	2, 3	eqtrid 2238	1 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164  (class class class)co 5918   CCcc 7870   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   2c2 9033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-mulcl 7970  ax-mulcom 7973  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-1rid 7979  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-2 9041

This theorem is referenced by:  times2  9111  2timesi  9112  2halves  9211  halfaddsub  9216  avglt2  9222  2timesd  9225  expubnd  10667  subsq2  10718  sinmul  11887  sin2t  11892  cos2t  11893  pythagtriplem4  12406  pythagtriplem14  12415  pythagtriplem16  12417