Theorem 2times 9076

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	|- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 9007	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
2	1	oveq1i 5905	. 2 |- ( 2 x. A ) = ( ( 1 + 1 ) x. A )
3		1p1times 8120	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( 1 + 1 ) x. A ) = ( A + A ) )
4	2, 3	eqtrid 2234	1 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160  (class class class)co 5895   CCcc 7838   1c1 7841   + caddc 7843   x. cmul 7845   2c2 8999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-mulcl 7938  ax-mulcom 7941  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-1rid 7947  ax-cnre 7951

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-iota 5196  df-fv 5243  df-ov 5898  df-2 9007

This theorem is referenced by:  times2  9077  2timesi  9078  2halves  9177  halfaddsub  9182  avglt2  9187  2timesd  9190  expubnd  10607  subsq2  10658  sinmul  11783  sin2t  11788  cos2t  11789  pythagtriplem4  12299  pythagtriplem14  12308  pythagtriplem16  12310