Theorem 2times 8976

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	|- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 8907	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
2	1	oveq1i 5846	. 2 |- ( 2 x. A ) = ( ( 1 + 1 ) x. A )
3		1p1times 8023	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( 1 + 1 ) x. A ) = ( A + A ) )
4	2, 3	syl5eq 2209	1 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1342   e. wcel 2135  (class class class)co 5836   CCcc 7742   1c1 7745   + caddc 7747   x. cmul 7749   2c2 8899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-mulcl 7842  ax-mulcom 7845  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-1rid 7851  ax-cnre 7855

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-iota 5147  df-fv 5190  df-ov 5839  df-2 8907

This theorem is referenced by:  times2  8977  2timesi  8978  2halves  9077  halfaddsub  9082  avglt2  9087  2timesd  9090  expubnd  10502  subsq2  10552  sinmul  11671  sin2t  11676  cos2t  11677  pythagtriplem4  12177  pythagtriplem14  12186  pythagtriplem16  12188