Theorem 2times 8985

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	|- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 8916	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
2	1	oveq1i 5852	. 2 |- ( 2 x. A ) = ( ( 1 + 1 ) x. A )
3		1p1times 8032	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( 1 + 1 ) x. A ) = ( A + A ) )
4	2, 3	syl5eq 2211	1 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136  (class class class)co 5842   CCcc 7751   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   2c2 8908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-mulcl 7851  ax-mulcom 7854  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-1rid 7860  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-iota 5153  df-fv 5196  df-ov 5845  df-2 8916

This theorem is referenced by:  times2  8986  2timesi  8987  2halves  9086  halfaddsub  9091  avglt2  9096  2timesd  9099  expubnd  10512  subsq2  10562  sinmul  11685  sin2t  11690  cos2t  11691  pythagtriplem4  12200  pythagtriplem14  12209  pythagtriplem16  12211