Theorem 2times 9434

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	|- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 9365	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
2	1	oveq1i 6095	. 2 |- ( 2 x. A ) = ( ( 1 + 1 ) x. A )
3		1p1times 8461	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( 1 + 1 ) x. A ) = ( A + A ) )
4	2, 3	eqtrid 2283	1 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8177   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   2c2 9357

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-mulcl 8277  ax-mulcom 8280  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-1rid 8286  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-2 9365

This theorem is used by:  times2  9435  2timesi  9436  2txmxeqx  9438  2halves  9538  halfaddsub  9543  avglt2  9549  2timesd  9552  expubnd  11046  subsq2  11097  sinmul  12527  sin2t  12532  cos2t  12533  pythagtriplem4  13067  pythagtriplem14  13076  pythagtriplem16  13078  pellexlem2  16149