Theorem 2times 9137

Description: Two times a number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Proof shortened by AV, 26-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2times	|- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

Proof of Theorem 2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 9068	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
2	1	oveq1i 5935	. 2 |- ( 2 x. A ) = ( ( 1 + 1 ) x. A )
3		1p1times 8179	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( 1 + 1 ) x. A ) = ( A + A ) )
4	2, 3	eqtrid 2241	1 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167  (class class class)co 5925   CCcc 7896   1c1 7899   + caddc 7901   x. cmul 7903   2c2 9060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-mulcl 7996  ax-mulcom 7999  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-1rid 8005  ax-cnre 8009

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-2 9068

This theorem is referenced by:  times2  9138  2timesi  9139  2txmxeqx  9141  2halves  9239  halfaddsub  9244  avglt2  9250  2timesd  9253  expubnd  10707  subsq2  10758  sinmul  11928  sin2t  11933  cos2t  11934  pythagtriplem4  12464  pythagtriplem14  12473  pythagtriplem16  12475