ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expubnd Unicode version
Theorem expubnd 10350
Description: An upper bound on A ^ N when 2 <_ A. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
expubnd |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( A ^ N ) <_ ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
Proof of Theorem expubnd
StepHypRef Expression
1 simp1 981 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> A e. RR )
2 2re 8790 . . . . 5 |- 2 e. RR
3 peano2rem 8029 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) e. RR )
4 remulcl 7748 . . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ ( A - 1 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( A - 1 ) ) e. RR )
52, 3, 4sylancr 410 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( 2 x. ( A - 1 ) ) e. RR )
653ad2ant1 1002 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( 2 x. ( A - 1 ) ) e. RR )
7 simp2 982 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> N e. NN0 )
8 0le2 8810 . . . . . . 7 |- 0 <_ 2
9 0re 7766 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
10 letr 7847 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ 2 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ A ) -> 0 <_ A ) )
119, 2, 10mp3an12 1305 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ A ) -> 0 <_ A ) )
128, 11mpani 426 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( 2 <_ A -> 0 <_ A ) )
1312imp 123 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> 0 <_ A )
14 resubcl 8026 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( A - 2 ) e. RR )
152, 14mpan2 421 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( A - 2 ) e. RR )
16 leadd2 8193 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ A e. RR /\ ( A - 2 ) e. RR ) -> ( 2 <_ A <-> ( ( A - 2 ) + 2 ) <_ ( ( A - 2 ) + A ) ) )
172, 16mp3an1 1302 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ ( A - 2 ) e. RR ) -> ( 2 <_ A <-> ( ( A - 2 ) + 2 ) <_ ( ( A - 2 ) + A ) ) )
1815, 17mpdan 417 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( 2 <_ A <-> ( ( A - 2 ) + 2 ) <_ ( ( A - 2 ) + A ) ) )
1918biimpa 294 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> ( ( A - 2 ) + 2 ) <_ ( ( A - 2 ) + A ) )
20 recn 7753 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A e. CC )
21 2cn 8791 . . . . . . . 8 |- 2 e. CC
22 npcan 7971 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( A - 2 ) + 2 ) = A )
2320, 21, 22sylancl 409 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( A - 2 ) + 2 ) = A )
2423adantr 274 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> ( ( A - 2 ) + 2 ) = A )
25 ax-1cn 7713 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
26 subdi 8147 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( 2 x. ( A - 1 ) ) = ( ( 2 x. A ) - ( 2 x. 1 ) ) )
2721, 25, 26mp3an13 1306 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( A - 1 ) ) = ( ( 2 x. A ) - ( 2 x. 1 ) ) )
28 2times 8848 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )
29 2t1e2 8873 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 1 ) = 2
3029a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( 2 x. 1 ) = 2 )
3128, 30oveq12d 5792 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. A ) - ( 2 x. 1 ) ) = ( ( A + A ) - 2 ) )
32 addsub 7973 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( A + A ) - 2 ) = ( ( A - 2 ) + A ) )
3321, 32mp3an3 1304 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( A + A ) - 2 ) = ( ( A - 2 ) + A ) )
3433anidms 394 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( A + A ) - 2 ) = ( ( A - 2 ) + A ) )
3527, 31, 343eqtrrd 2177 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( A - 2 ) + A ) = ( 2 x. ( A - 1 ) ) )
3620, 35syl 14 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( A - 2 ) + A ) = ( 2 x. ( A - 1 ) ) )
3736adantr 274 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> ( ( A - 2 ) + A ) = ( 2 x. ( A - 1 ) ) )
3819, 24, 373brtr3d 3959 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> A <_ ( 2 x. ( A - 1 ) ) )
3913, 38jca 304 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> ( 0 <_ A /\ A <_ ( 2 x. ( A - 1 ) ) ) )
40393adant2 1000 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( 0 <_ A /\ A <_ ( 2 x. ( A - 1 ) ) ) )
41 leexp1a 10348 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ ( 2 x. ( A - 1 ) ) e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ ( 2 x. ( A - 1 ) ) ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) )
421, 6, 7, 40, 41syl31anc 1219 . 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( A ^ N ) <_ ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) )
433recnd 7794 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) e. CC )
44 mulexp 10332 . . . . 5 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A - 1 ) e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
4521, 44mp3an1 1302 . . . 4 |- ( ( ( A - 1 ) e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
4643, 45sylan 281 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
47463adant3 1001 . 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
4842, 47breqtrd 3954 1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( A ^ N ) <_ ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   <_ cle 7801   - cmin 7933   2c2 8771   NN0cn0 8977   ^cexp 10292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219  df-exp 10293
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator