ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expubnd Unicode version
Theorem expubnd 10608
Description: An upper bound on A ^ N when 2 <_ A. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
expubnd |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( A ^ N ) <_ ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
Proof of Theorem expubnd
StepHypRef Expression
1 simp1 999 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> A e. RR )
2 2re 9019 . . . . 5 |- 2 e. RR
3 peano2rem 8254 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) e. RR )
4 remulcl 7969 . . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ ( A - 1 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( A - 1 ) ) e. RR )
52, 3, 4sylancr 414 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( 2 x. ( A - 1 ) ) e. RR )
653ad2ant1 1020 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( 2 x. ( A - 1 ) ) e. RR )
7 simp2 1000 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> N e. NN0 )
8 0le2 9039 . . . . . . 7 |- 0 <_ 2
9 0re 7987 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
10 letr 8070 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ 2 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ A ) -> 0 <_ A ) )
119, 2, 10mp3an12 1338 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ A ) -> 0 <_ A ) )
128, 11mpani 430 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( 2 <_ A -> 0 <_ A ) )
1312imp 124 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> 0 <_ A )
14 resubcl 8251 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( A - 2 ) e. RR )
152, 14mpan2 425 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( A - 2 ) e. RR )
16 leadd2 8418 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ A e. RR /\ ( A - 2 ) e. RR ) -> ( 2 <_ A <-> ( ( A - 2 ) + 2 ) <_ ( ( A - 2 ) + A ) ) )
172, 16mp3an1 1335 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ ( A - 2 ) e. RR ) -> ( 2 <_ A <-> ( ( A - 2 ) + 2 ) <_ ( ( A - 2 ) + A ) ) )
1815, 17mpdan 421 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( 2 <_ A <-> ( ( A - 2 ) + 2 ) <_ ( ( A - 2 ) + A ) ) )
1918biimpa 296 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> ( ( A - 2 ) + 2 ) <_ ( ( A - 2 ) + A ) )
20 recn 7974 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A e. CC )
21 2cn 9020 . . . . . . . 8 |- 2 e. CC
22 npcan 8196 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( A - 2 ) + 2 ) = A )
2320, 21, 22sylancl 413 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( A - 2 ) + 2 ) = A )
2423adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> ( ( A - 2 ) + 2 ) = A )
25 ax-1cn 7934 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
26 subdi 8372 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( 2 x. ( A - 1 ) ) = ( ( 2 x. A ) - ( 2 x. 1 ) ) )
2721, 25, 26mp3an13 1339 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( A - 1 ) ) = ( ( 2 x. A ) - ( 2 x. 1 ) ) )
28 2times 9077 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )
29 2t1e2 9102 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 1 ) = 2
3029a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( 2 x. 1 ) = 2 )
3128, 30oveq12d 5914 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. A ) - ( 2 x. 1 ) ) = ( ( A + A ) - 2 ) )
32 addsub 8198 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( A + A ) - 2 ) = ( ( A - 2 ) + A ) )
3321, 32mp3an3 1337 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( A + A ) - 2 ) = ( ( A - 2 ) + A ) )
3433anidms 397 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( A + A ) - 2 ) = ( ( A - 2 ) + A ) )
3527, 31, 343eqtrrd 2227 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( A - 2 ) + A ) = ( 2 x. ( A - 1 ) ) )
3620, 35syl 14 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( A - 2 ) + A ) = ( 2 x. ( A - 1 ) ) )
3736adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> ( ( A - 2 ) + A ) = ( 2 x. ( A - 1 ) ) )
3819, 24, 373brtr3d 4049 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> A <_ ( 2 x. ( A - 1 ) ) )
3913, 38jca 306 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> ( 0 <_ A /\ A <_ ( 2 x. ( A - 1 ) ) ) )
40393adant2 1018 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( 0 <_ A /\ A <_ ( 2 x. ( A - 1 ) ) ) )
41 leexp1a 10606 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ ( 2 x. ( A - 1 ) ) e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ ( 2 x. ( A - 1 ) ) ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) )
421, 6, 7, 40, 41syl31anc 1252 . 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( A ^ N ) <_ ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) )
433recnd 8016 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) e. CC )
44 mulexp 10590 . . . . 5 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A - 1 ) e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
4521, 44mp3an1 1335 . . . 4 |- ( ( ( A - 1 ) e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
4643, 45sylan 283 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
47463adant3 1019 . 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
4842, 47breqtrd 4044 1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( A ^ N ) <_ ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896   CCcc 7839   RRcr 7840   0cc0 7841   1c1 7842   + caddc 7844   x. cmul 7846   <_ cle 8023   - cmin 8158   2c2 9000   NN0cn0 9206   ^cexp 10550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-seqfrec 10477  df-exp 10551
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator