ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expubnd Unicode version

Theorem expubnd 10127
Description: An upper bound on  A ^ N when  2  <_  A. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
expubnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  2  <_  A )  ->  ( A ^ N )  <_ 
( ( 2 ^ N )  x.  (
( A  -  1 ) ^ N ) ) )

Proof of Theorem expubnd
StepHypRef Expression
1 simp1 946 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  2  <_  A )  ->  A  e.  RR )
2 2re 8590 . . . . 5  |-  2  e.  RR
3 peano2rem 7846 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
4 remulcl 7567 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( A  -  1
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( A  -  1 ) )  e.  RR )
52, 3, 4sylancr 406 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  x.  ( A  -  1 ) )  e.  RR )
653ad2ant1 967 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  2  <_  A )  ->  (
2  x.  ( A  -  1 ) )  e.  RR )
7 simp2 947 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  2  <_  A )  ->  N  e.  NN0 )
8 0le2 8610 . . . . . . 7  |-  0  <_  2
9 0re 7585 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
10 letr 7665 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  2  /\  2  <_  A )  ->  0  <_  A
) )
119, 2, 10mp3an12 1270 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <_  2  /\  2  <_  A )  ->  0  <_  A
) )
128, 11mpani 422 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  <_  A  ->  0  <_  A ) )
1312imp 123 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
0  <_  A )
14 resubcl 7843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( A  -  2 )  e.  RR )
152, 14mpan2 417 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  2 )  e.  RR )
16 leadd2 8006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( A  -  2 )  e.  RR )  -> 
( 2  <_  A  <->  ( ( A  -  2 )  +  2 )  <_  ( ( A  -  2 )  +  A ) ) )
172, 16mp3an1 1267 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( A  -  2
)  e.  RR )  ->  ( 2  <_  A 
<->  ( ( A  - 
2 )  +  2 )  <_  ( ( A  -  2 )  +  A ) ) )
1815, 17mpdan 413 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  <_  A  <->  ( ( A  -  2 )  +  2 )  <_ 
( ( A  - 
2 )  +  A
) ) )
1918biimpa 291 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
( ( A  - 
2 )  +  2 )  <_  ( ( A  -  2 )  +  A ) )
20 recn 7572 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
21 2cn 8591 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
22 npcan 7788 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( A  - 
2 )  +  2 )  =  A )
2320, 21, 22sylancl 405 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  2 )  +  2 )  =  A )
2423adantr 271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
( ( A  - 
2 )  +  2 )  =  A )
25 ax-1cn 7535 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
26 subdi 7960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( A  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  A )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
2721, 25, 26mp3an13 1271 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( A  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  A )  -  ( 2  x.  1 ) ) )
28 2times 8642 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
29 2t1e2 8667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
3029a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
3128, 30oveq12d 5708 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  -  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( A  +  A )  - 
2 ) )
32 addsub 7790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( A  +  A
)  -  2 )  =  ( ( A  -  2 )  +  A ) )
3321, 32mp3an3 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( A  +  A )  -  2 )  =  ( ( A  -  2 )  +  A ) )
3433anidms 390 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  A
)  -  2 )  =  ( ( A  -  2 )  +  A ) )
3527, 31, 343eqtrrd 2132 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  -  2 )  +  A )  =  ( 2  x.  ( A  -  1 ) ) )
3620, 35syl 14 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  2 )  +  A )  =  ( 2  x.  ( A  -  1 ) ) )
3736adantr 271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
( ( A  - 
2 )  +  A
)  =  ( 2  x.  ( A  - 
1 ) ) )
3819, 24, 373brtr3d 3896 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  ->  A  <_  ( 2  x.  ( A  -  1 ) ) )
3913, 38jca 301 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  ( A  - 
1 ) ) ) )
40393adant2 965 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  2  <_  A )  ->  (
0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  ( A  -  1 ) ) ) )
41 leexp1a 10125 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  ( 2  x.  ( A  -  1 ) )  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  ( 2  x.  ( A  - 
1 ) ) ) )  ->  ( A ^ N )  <_  (
( 2  x.  ( A  -  1 ) ) ^ N ) )
421, 6, 7, 40, 41syl31anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  2  <_  A )  ->  ( A ^ N )  <_ 
( ( 2  x.  ( A  -  1 ) ) ^ N
) )
433recnd 7613 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
44 mulexp 10109 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A  -  1
)  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  ( A  -  1 ) ) ^ N
)  =  ( ( 2 ^ N )  x.  ( ( A  -  1 ) ^ N ) ) )
4521, 44mp3an1 1267 . . . 4  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  ( A  -  1 ) ) ^ N
)  =  ( ( 2 ^ N )  x.  ( ( A  -  1 ) ^ N ) ) )
4643, 45sylan 278 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  ( A  -  1 ) ) ^ N
)  =  ( ( 2 ^ N )  x.  ( ( A  -  1 ) ^ N ) ) )
47463adant3 966 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  2  <_  A )  ->  (
( 2  x.  ( A  -  1 ) ) ^ N )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  ( ( A  - 
1 ) ^ N
) ) )
4842, 47breqtrd 3891 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  2  <_  A )  ->  ( A ^ N )  <_ 
( ( 2 ^ N )  x.  (
( A  -  1 ) ^ N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 927    = wceq 1296    e. wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   CCcc 7445   RRcr 7446   0cc0 7447   1c1 7448    + caddc 7450    x. cmul 7452    <_ cle 7620    - cmin 7750   2c2 8571   NN0cn0 8771   ^cexp 10069
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-seqfrec 10001  df-exp 10070
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator