ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expubnd Unicode version
Theorem expubnd 10512
Description: An upper bound on A ^ N when 2 <_ A. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
expubnd |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( A ^ N ) <_ ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
Proof of Theorem expubnd
StepHypRef Expression
1 simp1 987 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> A e. RR )
2 2re 8927 . . . . 5 |- 2 e. RR
3 peano2rem 8165 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) e. RR )
4 remulcl 7881 . . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ ( A - 1 ) e. RR ) -> ( 2 x. ( A - 1 ) ) e. RR )
52, 3, 4sylancr 411 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( 2 x. ( A - 1 ) ) e. RR )
653ad2ant1 1008 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( 2 x. ( A - 1 ) ) e. RR )
7 simp2 988 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> N e. NN0 )
8 0le2 8947 . . . . . . 7 |- 0 <_ 2
9 0re 7899 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
10 letr 7981 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ 2 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ A ) -> 0 <_ A ) )
119, 2, 10mp3an12 1317 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( 0 <_ 2 /\ 2 <_ A ) -> 0 <_ A ) )
128, 11mpani 427 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( 2 <_ A -> 0 <_ A ) )
1312imp 123 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> 0 <_ A )
14 resubcl 8162 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( A - 2 ) e. RR )
152, 14mpan2 422 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( A - 2 ) e. RR )
16 leadd2 8329 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ A e. RR /\ ( A - 2 ) e. RR ) -> ( 2 <_ A <-> ( ( A - 2 ) + 2 ) <_ ( ( A - 2 ) + A ) ) )
172, 16mp3an1 1314 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ ( A - 2 ) e. RR ) -> ( 2 <_ A <-> ( ( A - 2 ) + 2 ) <_ ( ( A - 2 ) + A ) ) )
1815, 17mpdan 418 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( 2 <_ A <-> ( ( A - 2 ) + 2 ) <_ ( ( A - 2 ) + A ) ) )
1918biimpa 294 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> ( ( A - 2 ) + 2 ) <_ ( ( A - 2 ) + A ) )
20 recn 7886 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A e. CC )
21 2cn 8928 . . . . . . . 8 |- 2 e. CC
22 npcan 8107 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( A - 2 ) + 2 ) = A )
2320, 21, 22sylancl 410 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( A - 2 ) + 2 ) = A )
2423adantr 274 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> ( ( A - 2 ) + 2 ) = A )
25 ax-1cn 7846 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
26 subdi 8283 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( 2 x. ( A - 1 ) ) = ( ( 2 x. A ) - ( 2 x. 1 ) ) )
2721, 25, 26mp3an13 1318 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( A - 1 ) ) = ( ( 2 x. A ) - ( 2 x. 1 ) ) )
28 2times 8985 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) = ( A + A ) )
29 2t1e2 9010 . . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. 1 ) = 2
3029a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( 2 x. 1 ) = 2 )
3128, 30oveq12d 5860 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. A ) - ( 2 x. 1 ) ) = ( ( A + A ) - 2 ) )
32 addsub 8109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( A + A ) - 2 ) = ( ( A - 2 ) + A ) )
3321, 32mp3an3 1316 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( A + A ) - 2 ) = ( ( A - 2 ) + A ) )
3433anidms 395 . . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( ( A + A ) - 2 ) = ( ( A - 2 ) + A ) )
3527, 31, 343eqtrrd 2203 . . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( ( A - 2 ) + A ) = ( 2 x. ( A - 1 ) ) )
3620, 35syl 14 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( A - 2 ) + A ) = ( 2 x. ( A - 1 ) ) )
3736adantr 274 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> ( ( A - 2 ) + A ) = ( 2 x. ( A - 1 ) ) )
3819, 24, 373brtr3d 4013 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> A <_ ( 2 x. ( A - 1 ) ) )
3913, 38jca 304 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 2 <_ A ) -> ( 0 <_ A /\ A <_ ( 2 x. ( A - 1 ) ) ) )
40393adant2 1006 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( 0 <_ A /\ A <_ ( 2 x. ( A - 1 ) ) ) )
41 leexp1a 10510 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ ( 2 x. ( A - 1 ) ) e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ ( 2 x. ( A - 1 ) ) ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) )
421, 6, 7, 40, 41syl31anc 1231 . 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( A ^ N ) <_ ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) )
433recnd 7927 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) e. CC )
44 mulexp 10494 . . . . 5 |- ( ( 2 e. CC /\ ( A - 1 ) e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
4521, 44mp3an1 1314 . . . 4 |- ( ( ( A - 1 ) e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
4643, 45sylan 281 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
47463adant3 1007 . 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( ( 2 x. ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
4842, 47breqtrd 4008 1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 2 <_ A ) -> ( A ^ N ) <_ ( ( 2 ^ N ) x. ( ( A - 1 ) ^ N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   <_ cle 7934   - cmin 8069   2c2 8908   NN0cn0 9114   ^cexp 10454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381  df-exp 10455
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator